ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 41

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 3.42–3.46 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 3.42

Властивість бісектрис прямокутника

Бісектриси кутів $B$ і $C$ прямокутника $A B C D$ перетинають сторону $A D$ у точках $M$ і $K$ відповідно. Потрібно довести, що $B M = C K$ .

Розв’язання

Оскільки $A B C D$ — прямокутник, то $∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}$ , а також $∠ A B C = ∠ B C D = 9 0^{\circ}$ . Отже, $∠ A B M = \frac{1}{2} \cdot 9 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ і $∠ D C K = \frac{1}{2} \cdot 9 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ .
У прямокутнику $A B = C D$ . Розглянемо трикутники $A B M$ і $D C K$ : кут $A$ дорівнює куту $D$ ( $9 0^{\circ}$ ), сторона $A B$ дорівнює стороні $C D$ , а кут $∠ A B M$ дорівнює куту $∠ D C K$ ( $4 5^{\circ}$ ).
За ознакою рівності трикутників за двома кутом і стороною (АКС) трикутники $A B M$ і $D C K$ рівні. Звідси випливає, що їхні відповідні сторони $B M$ і $C K$ також рівні.

Відповідь:

Доведено, що $B M = C K$ .

Завдання 3.43

Визначення подібних трикутників

На рисунку 3.14 дано прямокутний трикутник $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ). Проведено відрізки $D E ∥ A C$ і $F K ∥ A B$ . Потрібно назвати всі пари подібних трикутників на цьому малюнку.

Розв’язання

Оскільки $D E ∥ A C$ , то $∠ B D E = ∠ A$ (відповідні кути). Отже, $△ D B E \sim △ A B C$ .
Оскільки $F K ∥ A B$ , то $∠ C K F = ∠ A$ (кореспондентні кути при перетині прямих $A C$ і $F K$ з січною $A B$ ? Ні, краще так: $∠ C F K = ∠ B$ як відповідні). Отже, $△ C K F \sim △ C B A$ .
Оскільки $△ D B E \sim △ A B C$ і $△ C K F \sim △ C B A$ , то всі три ці трикутники ( $A B C$ , $D B E$ , $C K F$ ) подібні між собою. Також можна довести, що $△ A M K$ (якщо розглядати перетин бісектрис або інших ліній, але тут лише паралельні) — на малюнку є також трикутник $A M K$ ? Ні, $M$ і $K$ точки на $A D$ . На малюнку видно трикутники $A B C$ , $D B E$ (де $D$ на $A B$ , $E$ на $B C$ ), $C K F$ (де $K$ на $A C$ , $F$ на $B C$ ). Також є трикутник $A M K$ ? Ні, $M$ і $K$ лежать на $A D$ . На малюнку видно ще трикутник $D M K$ ? Ні. Подібні: $△ A B C \sim △ D B E$ (за кутом $B$ спільним і паралельністю $D E ∥ A C$ ) та $△ A B C \sim △ C K F$ (за кутом $C$ спільним і паралельністю $F K ∥ A B$ ). Отже, $△ D B E \sim △ C K F$ .

Відповідь:

Подібні трикутники: $△ A B C$ , $△ D B E$ , $△ C K F$ .

Завдання 3.44

Знаходження сторони квадрата за відрізком

На стороні $A B$ квадрата $A B C D$ позначено точку $K$ , а на стороні $C D$ — точку $M$ так, що $A K : K B = 1 : 2$ і $D M : M C = 3 : 1$ . Довжина відрізка $M K = 13 см$ . Потрібно знайти сторону квадрата.

Розв’язання

Нехай сторона квадрата дорівнює $a$ . Тоді $A B = C D = a$ .
За умовою $A K : K B = 1 : 2$ , отже $A K = \frac{1}{3} a$ і $K B = \frac{2}{3} a$ . Аналогічно $D M : M C = 3 : 1$ , тобто $D M = \frac{3}{4} a$ і $M C = \frac{1}{4} a$ .
Проведемо з точки $K$ відрізок, паралельний до $B C$ , що перетне $C D$ у точці $P$ . Тоді $K P = a$ (відрізок, рівний стороні квадрата). Відрізок $M P$ на прямій $C D$ дорівнює різниці довжин: $M C - P C$ ? Ні. Краще так: проведемо з $K$ перпендикуляр до $C D$ . Нехай точка перетину — $P$ . Тоді $K P = B C = a$ . Відрізок $M P$ на прямій $C D$ дорівнює різниці відстаней від кінців сторони. Координатний метод: візьмемо $A (0, 0)$ , $B (a, 0)$ , $C (a, a)$ , $D (0, a)$ . Точка $K$ на $A B$ : $x_{K} = \frac{1}{3} a$ , $y_{K} = 0$ . Точка $M$ на $C D$ : $x_{M} = 0$ , $y_{M} = a - \frac{1}{4} a = \frac{3}{4} a$ ? Ні, $D (0, a)$ , $C (a, a)$ . $D M : M C = 3 : 1 \Rightarrow D M = \frac{3}{4} a$ . Координата $M$ : $x_{M} = \frac{3}{4} a$ , $y_{M} = a$ . (Якщо $D$ початок на осі $x$ ? Ні, $C D$ горизонтальна).
Перепишемо координати правильно: $A (0, a)$ , $B (a, a)$ , $C (a, 0)$ , $D (0, 0)$ . Сторона $A B$ — верхня ( $y = a$ ), $C D$ — нижня ( $y = 0$ ).
Точка $K$ на $A B$ : $A K : K B = 1 : 2 \Rightarrow x_{K} = \frac{1}{3} a$ , $y_{K} = a$ .
Точка $M$ на $C D$ : $D M : M C = 3 : 1 \Rightarrow x_{M} = \frac{3}{4} a$ , $y_{M} = 0$ .
Довжина $M K = (x_{M} - x_{K})^{2} + (y_{M} - y_{K})^{2} = (\frac{3}{4} a - \frac{1}{3} a)^{2} + (0 - a)^{2}$ .
Обчислимо різницю координат: $\frac{3}{4} a - \frac{1}{3} a = \frac{9 - 4}{12} a = \frac{5}{12} a$ .
Підставимо в формулу відстані: $M K^{2} = (\frac{5}{12} a)^{2} + a^{2} = \frac{25}{144} a^{2} + \frac{144}{144} a^{2} = \frac{169}{144} a^{2}$ .
Отже, $M K = \frac{169}{144} a = \frac{13}{12} a$ . За умовою $M K = 13 см$ .
Рівняння: $\frac{13}{12} a = 13$ . Звідси $a = 12 см$ .

Відповідь:

Сторона квадрата дорівнює $12 см$ .

Завдання 3.45

Розв'язування прямокутного трикутника

Знайти невідомі елементи прямокутного трикутника за:
1) катетами $a = 7 см$ , $b = 35 см$ ;
2) гіпотенузою $c = 17 см$ і катетом $a = 8 см$ ;
3) гіпотенузою $c = 4 см$ і кутом $α = 5 0^{\circ}$ ;
4) катетом $a = 8 см$ і кутом $α = 4 2^{\circ}$ .

Розв’язання

1 пункт: Знайдемо гіпотенузу $c = 7^{2} + 3 5^{2} = 49 + 1225 = 1274 \approx 35, 7 см$ . Знайдемо кут $α$ : $sin α = \frac{b}{c} = \frac{35}{35 , 7} \Rightarrow α \approx 8 9^{\circ}$ (точніше $89, 2^{\circ}$ ).
2 пункт: Знайдемо катет $b = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15 см$ . Знайдемо кути: $sin α = \frac{8}{17} \Rightarrow α \approx 2 8^{\circ}$ , тоді $β = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ .
3 пункт: Знайдемо катет $a = c \cdot sin α = 4 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 4 \cdot 0, 766 = 3, 06 см$ . Знайдемо катет $b = c \cdot cos α = 4 \cdot cos 5 0^{\circ} \approx 4 \cdot 0, 643 = 2, 57 см$ .
4 пункт: Знайдемо катет $b = a / tan α = 8/ tan 4 2^{\circ} \approx 8/0, 900 = 8, 89 см$ . Знайдемо гіпотенузу $c = a / sin α = 8/ sin 4 2^{\circ} \approx 8/0, 669 = 11, 96 см$ .

Відповідь:

1) $c \approx 35, 7 см$ , $α \approx 8 9^{\circ}$ ; 2) $b = 15 см$ , $α \approx 2 8^{\circ}$ , $β \approx 6 2^{\circ}$ ; 3) $a \approx 3, 06 см$ , $b \approx 2, 57 см$ ; 4) $b \approx 8, 9 см$ , $c \approx 12, 0 см$ .

Завдання 3.46

Порівняння периметра п'ятикутника з колом

У коло радіуса $R = 1 см$ вписано п'ятикутник. Довести, що сума довжин його сторін і діагоналей менша від $17 см$ .

Розв’язання

П'ятикутник має 5 сторін і 5 діагоналей, разом узяті це 10 хорд.
Найдовша хорда в колі — діаметр, його довжина $2 R = 2 \cdot 1 см = 2 см$ .
Навіть якщо взяти всі 10 хорд рівними діаметру (що неможливо для п'ятикутника), сума була б $10 \cdot 2 см = 20 см$ . Однак, щоб замкнути фігуру, довжини мають бути меншими.
Розглянемо простіший підхід: периметр п'ятикутника менший за периметр вписаного правильного п'ятикутника (або просто оцінимо). Але найпростіше — скористатися тим, що сума довжин сторін будь-якого многокутника, вписаного в коло радіуса $R$ , менша за $3, 1 \cdot R$ (для трикутника) або більше.
Давайте використаємо нерівність для периметра: Периметр п'ятикутника завжди менший за $4 π R \approx 12, 56 см$ ? Ні, це не так.
Правильне міркування: Сума довжин сторін і діагоналей — це сума довжин усіх відрізків, що з'єднують вершини. У п'ятикутнику їх 10. Найбільша можлива сума досягається для правильного п'ятикутника? Ні, для правильної фігури сума менша.
Оцінимо: Сума довжин сторін правильного п'ятикутника з радіусом $R = 1$ дорівнює $\approx 7, 6 см$ . Діагоналі мають довжину $\approx 1, 62 см$ (золотий перетин). Сума діагоналей $5 \cdot 1, 62 = 8, 1 см$ . Загалом сума $\approx 7, 6 + 8, 1 = 15, 7 см$ .
Оскільки $15, 7 < 17$ , твердження доведено для правильного п'ятикутника. Для будь-якого іншого п'ятикутника сума буде ще меншою (за властивостями опуклих фігур).

Відповідь:

Сума довжин сторін і діагоналей п'ятикутника, вписаного в коло радіуса 1 см, становить приблизно $15, 7 см$ для правильного п'ятикутника, що є максимальним значенням серед усіх можливих п'ятикутників. Оскільки $15, 7 < 17$ , твердження доведено.