Сторінка 39

Розв’язання

1. Нехай у трикутнику $ABC$ проведено бісектрису $BD$. Позначимо $\angle ABD=\angle CBD=\beta$, а кути при основі — $\angle A={\alpha }_1$, $\angle C={\alpha }_2$.

2. У трикутнику $ABD$ за теоремою синусів: $\frac{AD}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin ({\alpha }_1+\beta )}$, звідки $AD=\frac{c\cdot \sin \beta }{\sin ({\alpha }_1+\beta )}$.

3. У трикутнику $CBD$ за теоремою синусів: $\frac{DC}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin ({\alpha }_2+\beta )}$, звідки $DC=\frac{a\cdot \sin \beta }{\sin ({\alpha }_2+\beta )}$.

4. Оскільки сума кутів трикутника $ABC$ дорівнює $180^{\circ }$, то $\angle ABC=180^{\circ }-({\alpha }_1+{\alpha }_2)$. У трикутнику $ABD$ кут при вершині $B$ дорівнює $\beta$, а зовнішній кут при $D$ дорівнює сумі внутрішніх протилежних, але простіше скористатися властивістю: $\sin ({\alpha }_1+\beta )=\sin (180^{\circ }-({\alpha }_2+\beta ))=\sin ({\alpha }_2+\beta )$.

5. Отже, знаменники у виразах для $AD$ та $DC$ однакові. Тоді відношення $\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}$, що й треба було довести.

Розв’язання

1. Нехай основи $AD=21\text{см}$, $BC=9\text{см}$. Проведемо висоти з вершин $B$ і $C$ до основи $AD$, отримавши прямокутні трикутники.

2. Довжина проекції бічної сторони на основу дорівнює $\frac{21-9}{2}=6\text{см}$.

3. Знайдемо синус кута при основі: $\sin \alpha =\frac{\text{висота}}{\text{бічна сторона}}$. Спочатку знайдемо бічну сторону $AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{см}$.

4. Тоді $\sin \alpha =\frac{8}{10}=0,8$.

5. У рівнобічній трапеції кути при основі $AD$ дорівнюють $\alpha$, а кути при основі $BC$ — $180^{\circ }-\alpha$. За теоремою синусів для описаного кола радіус $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\dots$.

6. Беремо найменшу сторону $BC=9$ і протилежний їй кут $\alpha$: $R=\frac{9}{2\cdot 0,8}=\frac{9}{1,6}=5,625\text{см}$.

Розв’язання

1. Позначимо сторони $AB=c$ та $AC=b$. Площу трикутника $ABM$ можна знайти як $\frac{1}{2}\cdot c\cdot m\cdot \sin \alpha$, а площу трикутника $ACM$ — як $\frac{1}{2}\cdot b\cdot m\cdot \sin \beta$.

2. Оскільки медіана ділить трикутник на дві рівновисотні частини, їх площі дорівнюють: $S_{ABM}=S_{ACM}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$.

3. Прирівняємо вирази для площ: $\frac{1}{2}cm\sin \alpha =\frac{1}{2}bm\sin \beta$. Скорочуючи на спільні множники, отримуємо співвідношення $c\sin \alpha =b\sin \beta$, звідки знаходимо відношення сторін: $\frac{b}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$.

4. Тепер розглянемо трикутник $ABC$ як ціле і застосуємо до нього теорему синусів, де кут при вершині $A$ дорівнює $\angle BAC=\alpha +\beta$. Маємо: $\frac{b}{\sin (\alpha +\beta )}=\frac{c}{\sin (180^{\circ }-(\alpha +\beta ))}=\frac{m_{BC}}{\sin A}$, але простіше використати співвідношення $b=k\sin \alpha$ і $c=k\sin \beta$, де $k$ — діаметр описаного кола.

Розв’язання

1. Позначимо кути трикутника $ABC$ як $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Оскільки $BH$ і $CH$ — висоти, то в прямокутних трикутниках $ABH$ та $ACH$ кут при вершині $H$ дорівнює: $\angle AHB=180^{\circ }-(\angle ABH+\angle BAH)=180^{\circ }-(90^{\circ }-\angle C+90^{\circ }-\angle B)$ — це не зручно. Спробуємо інше: $\angle AHB=180^{\circ }-(\angle HAB+\angle HBA)$. Оскільки $BH\perp AC$ і $CH\perp AB$, то в чотирикутнику $ABHC$ сума протилежних кутів $\angle BAC$ та $\angle BHC$ не обов'язково $180^{\circ }$. Перевіримо чотирикутник $ABHC$: $\angle A+\angle BHC=\angle A+(360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-(\angle HBC+\angle HCB))=\angle A+(180^{\circ }-(90^{\circ }-\angle A)-(90^{\circ }-\angle A))$ — ні.
   Правильний шлях: Розглянемо чотирикутник $ABHC$. Кут $\angle BHC=360^{\circ }-\angle AHB-\angle AHC-\angle A$. Нехай висоти перетинаються в $H$. Тоді $\angle ABH=90^{\circ }-\angle C$ і $\angle ACH=90^{\circ }-\angle B$. У чотирикутнику $ABHC$ сума кутів при вершинах $A$ і $H$: $\angle BAC+\angle BHC=\angle A+(360^{\circ }-\angle AHB-\angle AHC)$ — це не те.
   Давайте візьмемо чотирикутник $ABHC$. Сума кутів при вершинах $A$ і $H$: $\angle A+\angle BHC=\angle A+(180^{\circ }-(\angle HBC+\angle HCB))=\angle A+180^{\circ }-(90^{\circ }-\angle A)-(90^{\circ }-\angle A)$ — ні.
   Спробуємо так: $\angle BHC=180^{\circ }-(\angle HBC+\angle HCB)$. Оскільки $BH$ і $CH$ висоти, то $\angle HBC=90^{\circ }-\angle C$ (якщо розглядати прямокутний трикутник $BHC$, де гострий кут при $C$ — це сам кут $C$? Ні. Висота $BH$ падає на $AC$. Тоді в $△BHC$ гострі кути $\angle C$ і $\angle HBC$. Тоді $\angle HBC=90^{\circ }-\angle C$. Аналогічно $\angle HCB=90^{\circ }-\angle B$.
   Тоді $\angle BHC=180^{\circ }-(90^{\circ }-\angle C)-(90^{\circ }-\angle B)=\angle B+\angle C$.
   Отже, у чотирикутнику $ABHC$ сума протилежних кутів $\angle A$ і $\angle BHC$: $\angle A+(\angle B+\angle C)=180^{\circ }$, оскільки сума кутів трикутника $ABC$ дорівнює $180^{\circ }$.

2. Аналогічно розглянемо чотирикутник $ABHC$ — ні, чотирикутники: $AHB$, $AHC$, $BHC$. Треба перевірити вписуваність у коло для кожного з них разом із $ABC$.
   Для трикутника $ABC$: радіус $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}$.
   Розглянемо чотирикутник $ABHC$. Оскільки $\angle A+\angle BHC=180^{\circ }$, то чотирикутник $ABHC$ вписаний у коло. Але нам потрібні радіуси навколо трикутників $AHB$, $BHC$, $AHC$.
   Перевіримо чотирикутник $ACBH$ (вершини $A,C,B,H$). Протилежні кути $\angle A$ і $\angle BHC$ сумуються до $180^{\circ }$. Значить, чотирикутник $ACBH$ вписаний у коло. Отже, точки $A,C,B,H$ лежать на одному колі.

3. Це означає, що трикутники $AHB$, $AHC$, $BHC$ мають спільну описану коло з трикутником $ABC$. Тому їх радіуси рівні.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $\angle ABC$: $180^{\circ }-42^{\circ }-64^{\circ }=74^{\circ }$.

2. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони $AB$: $\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$.

3. Підставимо значення: $\frac{AB}{\sin 64^{\circ }}=\frac{20}{\sin 74^{\circ }}$.

4. Обчислимо $AB$: $AB=\frac{20\cdot \sin 64^{\circ }}{\sin 74^{\circ }}\approx \frac{20\cdot 0,8988}{0,9613}\approx 18,7\text{м}$.