ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 38

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 3.23–3.32 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 3.23

Знаходження кута за стороною та радіусом описаного кола

Сторона трикутника $a = 24 см$ , радіус описаного кола $R = 83 см$ . Потрібно знайти кут $α$ , протилежний стороні $a$ . Обговорити кількість розв'язків.

Розв’язання

Запишемо співвідношення з теореми синусів: $\frac{24}{sin α} = 2 \cdot 83$ .
Спростимо рівняння: $24 = 163 sin α$ , звідки $sin α = \frac{24}{16 3} = \frac{3}{2 3} = \frac{3}{2}$ .
Знайдемо кути, синус яких дорівнює $\frac{3}{2}$ : це $6 0^{\circ}$ та $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Кут дорівнює $6 0^{\circ}$ або $12 0^{\circ}$ . Задача має два розв'язки.

Завдання 3.24

Знаходження відрізка AD за допомогою теореми синусів

На рисунку 3.9 $△ A B C$ — прямокутний ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ). Точка $D$ лежить на катеті $A C$ . Відомо: $C D = a$ , $∠ B A C = γ$ , $∠ D B A = β$ . Знайти $A D$ .

Розв’язання

У прямокутному $△ A B C$ знайдемо гіпотенузу $A B$ : $sin γ = \frac{B C}{A B} \Rightarrow A B = \frac{B C}{sin γ}$ . Але нам потрібна зв'язок з $A D$ . Розглянемо $△ A B D$ .
Кут $∠ A D B$ є зовнішнім для $△ B C D$ , тому $∠ A D B = ∠ C + ∠ C B D = 9 0^{\circ} + (9 0^{\circ} - γ - β) = 18 0^{\circ} - (γ + β)$ ? Ні, простіше: у $△ A B C$ кут $B = 9 0^{\circ} - γ$ . У $△ A B D$ сума кутів $18 0^{\circ}$ . Кут $A B D = ∠ A B C - β = (9 0^{\circ} - γ) - β$ .
Застосуємо теорему синусів до $△ A B D$ : $\frac{A D}{sin ( ∠ A B D )} = \frac{A B}{sin ( ∠ A D B )}$ . Це складно через $A B$ . Спробуємо інший шлях: виразимо $B C$ з $△ B C D$ ( $B C = a \cdot tan (∠ C B D)$ ) і $A C$ з $△ A B C$ .
Простіше: у $△ A B C$ маємо $A C = B C / tan γ$ . У $△ B C D$ маємо $B C = a / cos (∠ C B D)$ . Кут $∠ C B D = 9 0^{\circ} - ∠ A D B$ . Це замкнене коло.
Давайте використаємо координати або просто тригонометрію. Нехай $B C = h$ . Тоді $A C = h / tan γ$ , а $A D = A C - C D = h / tan γ - a$ . Потрібно виразити $h$ через $β$ . У $△ B C D$ : $tan (∠ C B D) = a / h \Rightarrow ∠ C B D = arctan (a / h)$ . Але в умові кут $∠ D B A = β$ , а не $∠ C B D$ .
Правильний шлях: Розглянемо $△ A B D$ . Кут $D A B = γ$ . Кут $A B D = (9 0^{\circ} - γ) - β$ . Кут $A D B = 18 0^{\circ} - γ - (9 0^{\circ} - γ - β) = 9 0^{\circ} + β$ .
Застосуємо теорему синусів до $△ A B D$ : $\frac{A D}{sin ( 9 0 ^{\circ} - γ - β )} = \frac{A B}{sin ( 9 0 ^{\circ} + β )}$ . Це все ще залежить від $A B$ .
Спробуємо інший підхід: $A D = A C - a$ . У $△ A B C$ : $A C = B C cot γ$ . У $△ B C D$ : $B C = a / tan (∠ C B D)$ . Але ми не знаємо $∠ C B D$ . Ми знаємо $∠ D B A = β$ . Тоді $∠ A B C = ∠ A B D + ∠ D B C = β + ∠ D B C$ . Також $∠ A B C = 9 0^{\circ} - γ$ . Отже, $∠ D B C = 9 0^{\circ} - γ - β$ .
Тепер у $△ B C D$ : $B C = a / tan (9 0^{\circ} - γ - β) = a / cot (9 0^{\circ} - (γ + β)) = a \cdot tan (γ + β)$ ? Ні, $∠ D B C = 9 0^{\circ} - (γ + β)$ . Тоді $B C = a / tan (9 0^{\circ} - (γ + β)) = a / cot (γ + β) = a \cdot tan (γ + β)$ .
Підставимо в вираз для $A C$ : $A C = (a \cdot tan (γ + β)) \cdot cot γ$ .
Отже, $A D = A C - C D = a \cdot \frac{tan ( γ + β )}{tan γ} - a = a (\frac{tan ( γ + β ) - tan γ}{tan γ})$ .

Відповідь:

$A D = a (\frac{tan ( γ + β ) - tan γ}{tan γ})$ або у зручнішому вигляді через синуси та косинуси.

Завдання 3.25

Знаходження відрізка AC за допомогою теореми синусів

На рисунку 3.10 $△ A C D$ — прямокутний ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ). Точка $B$ лежить на катеті $A C$ . Відомо: $B D = m$ , $∠ A B C = α$ , $∠ A D C = β$ . Знайти $A C$ .

Розв’язання

У прямокутному $△ A C D$ маємо: $sin β = \frac{A C}{A D} \Rightarrow A D = \frac{A C}{sin β}$ , $cos β = \frac{C D}{A D}$ . Також $A C = C D \cdot tan β$ .
Розглянемо кут при вершині $B$ : $∠ A B C = α$ . У прямокутному $△ B C D$ маємо $∠ C B D = 9 0^{\circ} - ∠ C D B = 9 0^{\circ} - β$ .
Кут $∠ A B D = ∠ A B C - ∠ D B C = α - (9 0^{\circ} - β) = α + β - 9 0^{\circ}$ . Це може бути від'ємним, якщо $α < 90 - β$ . Перевіримо рисунок: $B$ лежить на $A C$ , отже $∠ A B C$ — це кут при вершині $B$ у трикутнику $A B C$ , але рисунок показує, що $C, B, D$ лежать на одній прямій? Ні, на рисунку 3.10 точка $B$ лежить на стороні $C D$ (основі), а не на $A C$ . Перечитаємо умову: "На стороні AB трикутника ABC..." — ні, це завдання 3.26. У 3.25: "Використовуючи дані рисунка 3.10". На Рис 3.10: $△ A C D$ прямокутний при $C$ . Точка $B$ лежить на катеті $C D$ . Відомо $B D = m$ , $∠ A B C = α$ , $∠ A D C = β$ . Знайти $A C$ .
У $△ A C D$ : $tan β = \frac{A C}{C D} \Rightarrow C D = A C cot β$ .
У $△ B C D$ (прямокутний при $C$ ): $tan (∠ C B D) = \frac{B C}{C D}$ . Але нам дано $∠ A B C = α$ . Кут $∠ A B C$ — це кут у трикутнику $A B C$ , але $B$ на $C D$ . Тоді $∠ A B C$ — це кут між $A B$ і $B C$ . У прямокутному $△ A B C$ (якщо $C = 9 0^{\circ}$ ): $tan α = \frac{A C}{B C} \Rightarrow B C = A C cot α$ .
Ми маємо $C D = C B + B D$ . Тобто $A C cot β = A C cot α + m$ .
Виразимо $A C$ : $A C (cot β - cot α) = m$ .
Отже, $A C = \frac{m}{cot β - cot α}$ .

Відповідь:

$A C = \frac{m}{cot β - cot α}$ .

Завдання 3.26

Знаходження відрізка CM

На стороні $A B$ трикутника $A B C$ позначили точку $M$ так, що $∠ A M C = φ$ . Знайти відрізок $C M$ , якщо $A B = c$ , $∠ A = α$ , $∠ A C B = γ$ .

Розв’язання

Позначимо $∠ M A C = α$ . У трикутнику $A M C$ сума кутів дорівнює $18 0^{\circ}$ , тому $∠ A C M = 18 0^{\circ} - (α + φ)$ .
Застосуємо теорему синусів до трикутника $A M C$ : $\frac{C M}{sin α} = \frac{A M}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + φ ))} = \frac{A C}{sin φ}$ .
Щоб знайти $C M$ , потрібно спочатку виразити $A M$ або $A C$ через відомі величини трикутника $A B C$ . За теоремою синусів для $△ A B C$ : $\frac{c}{sin γ} = \frac{A C}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + γ ))} = \frac{A C}{sin ( α + γ )}$ . Звідси $A C = \frac{c sin ( α + γ )}{sin γ}$ .
Тепер повернемося до трикутника $A M C$ . Ми маємо $\frac{C M}{sin α} = \frac{A C}{sin φ}$ . Підставимо вираз для $A C$ : $C M = A C \cdot \frac{sin α}{sin φ} = \frac{c sin ( α + γ ) sin α}{sin γ sin φ}$ .

Відповідь:

$C M = \frac{c sin ( α + γ ) sin α}{sin γ sin φ}$

Завдання 3.27

Знаходження сторони BC

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ A = α$ , $∠ B = β$ . На стороні $B C$ позначили точку $D$ так, що $∠ A D B = φ$ , $A D = m$ . Знайти сторону $B C$ .

Розв’язання

Розглянемо трикутник $A B D$ . Сума кутів дорівнює $18 0^{\circ}$ , тому $∠ B A D = 18 0^{\circ} - (α + φ)$ . Застосуємо теорему синусів: $\frac{B D}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + φ ))} = \frac{m}{sin β}$ . Отримуємо $B D = \frac{m sin ( α + φ )}{sin β}$ .
Розглянемо трикутник $A D C$ . Кут $∠ A D C$ є сумою кутів при вершині $D$ , але простіше знайти його як $18 0^{\circ} - φ$ (якщо $A, D, C$ не лежать на одній прямій, що суперечить умові "на стороні BC"). Насправді, $∠ A D C = 18 0^{\circ} - φ$ . Кут $∠ D A C = 18 0^{\circ} - (γ + φ)$ , де $γ = 18 0^{\circ} - (α + β)$ . Точніше, знайдемо кут $∠ C$ у трикутнику $A B C$ : $∠ C = 18 0^{\circ} - (α + β)$ . У трикутнику $A D C$ : $∠ D A C = 18 0^{\circ} - (φ + ∠ C) = 18 0^{\circ} - φ - (18 0^{\circ} - α - β) = α + β - φ$ .
Застосуємо теорему синусів до трикутника $A D C$ : $\frac{D C}{sin ( α + β - φ )} = \frac{m}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + β ))} = \frac{m}{sin ( α + β )}$ . Отримуємо $D C = \frac{m sin ( α + β - φ )}{sin ( α + β )}$ .
Сума $B C = B D + D C = \frac{m sin ( α + φ )}{sin β} + \frac{m sin ( α + β - φ )}{sin ( α + β )}$ .

Відповідь:

$B C = m (\frac{sin ( α + φ )}{sin β} + \frac{sin ( α + β - φ )}{sin ( α + β )})$

Завдання 3.28

Властивість бісектриси трикутника

Довести, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

Розв’язання

Нехай $B D$ — бісектриса кута $∠ B$ , тоді $∠ A B D = ∠ C B D = \frac{β}{2}$ . Позначимо $∠ A = α$ , $∠ C = γ$ .
У трикутнику $A B D$ за теоремою синусів: $\frac{A D}{sin ( β /2 )} = \frac{c}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + β /2 ))} = \frac{c}{sin ( α + β /2 )}$ . Звідси $A D = \frac{c sin ( β /2 )}{sin ( α + β /2 )}$ .
У трикутнику $C B D$ за теоремою синусів: $\frac{C D}{sin ( β /2 )} = \frac{a}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( γ + β /2 ))} = \frac{a}{sin ( γ + β /2 )}$ . Звідси $C D = \frac{a sin ( β /2 )}{sin ( γ + β /2 )}$ .
Знайдемо відношення $\frac{A D}{C D}$ : $\frac{A D}{C D} = \frac{c sin ( α + β /2 )}{a sin ( γ + β /2 )}$ . За теоремою синусів для великого трикутника $A B C$ : $\frac{c}{sin γ} = \frac{a}{sin α}$ , отже $\frac{c}{a} = \frac{sin γ}{sin α}$ . Підставимо це у вираз для відношення: $\frac{A D}{C D} = \frac{sin γ}{sin α} \cdot \frac{sin ( α + β /2 )}{sin ( γ + β /2 )}$ .
Оскільки сума кутів трикутника $18 0^{\circ}$ , то $α + β /2 = 18 0^{\circ} - (γ + β /2)$ , тому синуси цих кутів рівні: $sin (α + β /2) = sin (γ + β /2)$ . Ці множники скорочуються.
Отримуємо $\frac{A D}{C D} = \frac{sin γ}{sin α}$ . Це означає, що $A D \cdot sin α = C D \cdot sin γ$ , або $\frac{A D}{sin γ} = \frac{C D}{sin α}$ , що й треба було довести (довжини відрізків обернено пропорційні синусам прилеглих кутів).

Відповідь:

Доведено, що $\frac{A D}{C D} = \frac{sin γ}{sin α}$

Завдання 3.29

Радіус описаного кола за двома сторонами та висотою

Дві сторони трикутника дорівнюють $6 см$ і $12 см$ , а висота, проведена до третьої сторони, — $4 см$ . Знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

Позначимо сторони $a = 6$ , $b = 12$ і невідому сторону $c$ . Висота до цієї сторони $h_{c} = 4$ . Площа трикутника $S = \frac{1}{2} c h_{c} = 2 c$ .
Розглянемо прямокутні трикутники, утворені висотою. Нехай катети на основі $c$ — це $x$ і $y$ , де $x + y = c$ (або $∣ x - y ∣ = c$ ). За теоремою Піфагора: $6^{2} - x^{2} = 1 2^{2} - y^{2} = 4^{2}$ .
Знайдемо координати кінців висоти на основі. $x = 36 - 16 = 20$ , $y = 144 - 16 = 128$ . Третя сторона $c$ дорівнює сумі або різниці цих відрізків: $c_{1} = 20 + 128$ , $c_{2} = ∣ 128 - 20 ∣$ .
Обчислимо площу для кожного випадку та знайдемо $R$ за формулою $R = \frac{ab c}{4 S}$ . Для першого випадку ( $c_{1}$ ): $S_{1} = 2 (20 + 128)$ , $R_{1} = \frac{6 \cdot 12 \cdot ( 20 + 128 )}{4 \cdot 2 ( 20 + 128 )} = \frac{72}{8} = 9$ . Для другого випадку ( $c_{2}$ ): $S_{2} = 2∣ 128 - 20 ∣$ , $R_{2} = \frac{6 \cdot 12 \cdot ∣ 128 - 20 ∣}{4 \cdot 2∣ 128 - 20 ∣} = 9$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $9 см$ (в обох випадках).

Завдання 3.30

Радіус описаного кола рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник з основою $16 см$ і бічною стороною $10 см$ . Знайти радіус описаного кола.

Розв’язання

Позначимо сторони: основа $a = 16$ , бічні сторони $b = c = 10$ . Висота до основи $h$ ділить її навпіл, отже катет прямокутного трикутника дорівнює $8$ .
Знайдемо висоту: $h = 1 0^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 = 6 см$ .
Обчислимо площу трикутника: $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48 см^{2}$ .
Застосуємо формулу радіуса описаного кола: $R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 16}{4 \cdot 48} = \frac{1600}{192}$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $\frac{25}{3} см$ (або $8 \frac{1}{3} см$ ).

Завдання 3.31

Знаходження бісектриси трикутника за двома сторонами та кутом

У трикутнику $A B C$ відомо, що $A C = b$ , $∠ A = α$ , $∠ C = γ$ . Знайти бісектрису $B D$ (де $D$ — точка на стороні $A C$ ).

Розв’язання

Знайдемо кут $B$ : $∠ B = 18 0^{\circ} - (α + γ)$ . Бісектриса $B D$ ділить його навпіл, отже $∠ A B D = ∠ C B D = \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - α - γ) = 9 0^{\circ} - \frac{α + γ}{2}$ .
За теоремою синусів у трикутнику $A B C$ : $\frac{A C}{sin B} = \frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ . Звідси $B C = \frac{b sin α}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + γ ))} = \frac{b sin α}{sin ( α + γ )}$ , а $A B = \frac{b sin γ}{sin ( α + γ )}$ .
Розглянемо трикутник $A B D$ (або $C B D$ ). За теоремою синусів: $\frac{B D}{sin α} = \frac{A B}{sin ( 9 0 ^{\circ} - \frac{α + γ}{2} )}$ .
Підставимо вираз для $A B$ : $B D = \frac{A B sin α}{cos ( \frac{α + γ}{2} )} = \frac{b sin γ sin α}{sin ( α + γ ) cos ( \frac{α + γ}{2} )}$ .

Відповідь:

$B D = \frac{b sin α sin γ}{sin ( α + γ ) cos ( \frac{α + γ}{2} )}$ .

Завдання 3.32

Бісектриса рівнобедреного трикутника

Дано рівнобедрений трикутник з основою $a$ і кутом при основі $α$ . Потрібно знайти довжину бісектриси, проведеної з вершини кута при основі.

Розв’язання

Позначимо вершини так: основа $A C = a$ , кут при основі $∠ A = ∠ C = α$ . Бісектриса проведена з точки $B$ до сторони $A C$ у точці $D$ . Оскільки трикутник рівнобедрений, висота $B H$ , опущена з вершини $B$ на основу, є також медіаною. Тоді $A H = H C = \frac{a}{2}$ .
У прямокутному трикутнику $A B H$ кут $∠ A B H = 9 0^{\circ} - α$ . Бісектриса $B D$ ділить кут $B$ навпіл, але спочатку знайдемо довжину бісектриси за формулою або через трикутник. Простіше: у прямокутному трикутнику $A B H$ , $tan α = \frac{B H}{A H} = \frac{B H}{a /2}$ , звідки $B H = \frac{a}{2} tan α$ .
Знайдемо кут $∠ A B D$ . Кут при вершині $B$ дорівнює $18 0^{\circ} - 2 α$ , отже $∠ A B D = \frac{18 0 ^{\circ} - 2 α}{2} = 9 0^{\circ} - α$ . У прямокутному трикутнику $A B H$ кут при вершині $B$ теж дорівнює $9 0^{\circ} - α$ . Це означає, що бісектриса збігається з висотою? Ні, це не так. Перевіримо: $∠ A B H = 9 0^{\circ} - α$ . Бісектриса ділить кут $B$ навпіл, тобто $\frac{18 0 ^{\circ} - 2 α}{2} = 9 0^{\circ} - α$ . Отже, бісектриса збігається з висотою? Ні, висота йде до основи, а бісектриса ділить кут $B$ . У рівнобедреному трикутнику бісектриса до основи — це висота. Тому довжина бісектриси дорівнює висоті $h = \frac{a}{2} tan α$ ? Ні, висота йде з вершини $B$ , а бісектриса теж з вершини $B$ . Так, у рівнобедреному трикутнику бісектриса до основи є висотою.

Відповідь:

Довжина бісектриси дорівнює $\frac{a}{2} tan α$ .