Сторінка 37

Розв’язання

1. Якщо $\sin A=1$, то кут $A$ дорівнює $90^{\circ }$.

2. Тоді сторона $BC$ стає гіпотенузою, а $AB$ — одним з катетів.

3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет.

4. Однак у умові $BC=5\text{см}$, а $AB=7\text{см}$. Отже, $BC<AB$, що неможливо для прямокутного трикутника з прямим кутом при вершині $A$.

Розв’язання

1. Знайдемо кут $B$: $\angle B=180^{\circ }-(\alpha +\gamma )$.

2. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони $AB$ (протилежна до кута $C$): $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{a\cdot \sin \gamma }{\sin \alpha }$.

3. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони $AC$ (протилежна до кута $B$): $AC=\frac{BC\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{a\cdot \sin (180^{\circ }-(\alpha +\gamma ))}{\sin \alpha }$.

4. Використовуючи властивість синуса ($\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$), запишемо остаточний вираз для $AC$: $AC=\frac{a\cdot \sin (\alpha +\gamma )}{\sin \alpha }$.

Розв’язання

1. Позначимо сторони паралелограма як $AB=x$ і $BC=y$. Діагональ $AC=d$.

2. У трикутнику $ABC$ сума кутів дорівнює $180^{\circ }$, тому $\angle B=180^{\circ }-(\alpha +\beta )$.

3. Застосуємо теорему синусів: $\frac{x}{\sin \beta }=\frac{y}{\sin \alpha }=\frac{d}{\sin (180^{\circ }-(\alpha +\beta ))}$.

4. Знайдемо $x$: $x=\frac{d\cdot \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$.

5. Знайдемо $y$: $y=\frac{d\cdot \sin \alpha }{\sin (\alpha +\beta )}$.

Розв’язання

1. Позначимо сторони так: $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. За теоремою косинусів: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ або краще знайти $c$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$.
   Для пункту 1: $A{C}^2=B{C}^2+A{B}^2-2\cdot BC\cdot AB\cdot \cos 135^{\circ }$.
   $(\sqrt{2}{)}^2=1^2+c^2-2\cdot 1\cdot c\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$.
   $2=1+c^2+c\sqrt{2}\Rightarrow c^2+c\sqrt{2}-1=0$.
   Корені: $c=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2+4}}{2}=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{6}}{2}$. Оскільки сторона додатна, $c=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
   Тепер знайдемо $\sin A$ за теоремою синусів: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
   $\sin A=\frac{a\cdot \sin B}{b}=\frac{1\cdot \sin 135^{\circ }}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.
   Кут $A$ може бути $30^{\circ }$ або $150^{\circ }$. Перевіримо суму кутів: якщо $\angle A=150^{\circ }$, то $\angle C=180^{\circ }-(135^{\circ }+150^{\circ })<0$, що неможливо. Отже, $\angle A=30^{\circ }$.
   Для пункту 2: $A{C}^2=B{C}^2+A{B}^2-2\cdot BC\cdot AB\cdot \cos 45^{\circ }$.
   $(\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+c^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot c\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   $2=3+c^2-\sqrt{6}c\Rightarrow c^2-\sqrt{6}c+1=0$.
   Дискримінант: $D=6-4=2$. Корені: $c=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2}$. Обидва корені додатні.
   Знайдемо $\sin A$: $\sin A=\frac{a\cdot \sin B}{b}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Кут $A$ може бути $60^{\circ }$ або $120^{\circ }$.
   Якщо $\angle A=60^{\circ }$, то $\angle C=180^{\circ }-(45^{\circ }+60^{\circ })=75^{\circ }>0$.
   Якщо $\angle A=120^{\circ }$, то $\angle C=180^{\circ }-(45^{\circ }+120^{\circ })=15^{\circ }>0$.

Розв’язання

1. Позначимо сторони: $a=BC=6$, $b=AC=18$. Кут $A$ протилежний стороні $a$.

2. За теоремою синусів: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$.
   Звідси $\sin B=\frac{AC\cdot \sin A}{BC}=\frac{18\cdot 0,4}{6}=\frac{7,2}{6}=1,2$.

3. Оскільки синус кута не може перевищувати $1$ ($\sin B\le 1$), а отримане значення $1,2>1$, такий трикутник побудувати неможливо.

Розв’язання

1. Кут $\angle ABC=60^{\circ }$ є зовнішнім кутом трикутника $ACD$ при вершині $C$ (точніше, це кут між стороною $AD$ і продовженням $AB$, але тут $D$ на продовженні $AB$, отже $\angle ABC$ — це кут при вершині $B$ у трикутнику $ABC$, а в трикутнику $ACD$ цей кут є зовнішнім до кута $C$? Ні, точка $D$ на продовженні $AB$. Тоді $\angle ABC$ і $\angle CBD$ — протилежні кути при вершині $B$ (якщо $A,B,D$ лежать на одній прямій).
   Правильніше: $A,B,D$ лежать на одній прямій. Тоді $\angle ABC$ і $\angle CBD$ — протилежні кути? Ні, це один кут, якщо розглядати промінь $BC$. Але в умові сказано "на продовженні сторони AB за точку B позначили точку D". Отже, порядок точок на прямій: $A-B-D$.
   Тоді $\angle ABC$ і $\angle CBD$ — це протилежні кути? Ні, вони сумуються до $180^{\circ }$, якщо $C$ не лежить на прямій. Кут $\angle ABC=60^{\circ }$. Тоді кут $\angle CBD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
   Але в умові сказано про трикутник $ACD$. У ньому кути: $\angle ADC=45^{\circ }$, $\angle CAD$ (це той самий кут, що і $\angle CAB$), $\angle ACD$.
   Нам потрібен радіус для $△ACD$. Для цього знадобиться сторона та протилежний кут. Сторона $AD=AB+BD$. Ми не знаємо довжини.
   Перечитаємо умову уважно: "Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ACD... а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см."
   Формула радіуса: $R=\frac{AC}{2\sin (\angle ADC)}$. Нам потрібна сторона $AC$.
   У $△ABC$: $R_1=4$, $\angle B=60^{\circ }$. Сторона $AC$ протилежна куту $B$.
   За теоремою синусів для $△ABC$: $\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R_1$.
   $AC=2\cdot 4\cdot \sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ см.
   Тепер розглядаємо $△ACD$. Сторона $AC$ є спільною. Кут $\angle ADC=45^{\circ }$.
   Радіус $R_2=\frac{AC}{2\sin \angle ADC}=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \sin 45^{\circ }}=\frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$ см.

Розв’язання

1. Оскільки $O$ — точка перетину бісектрис, то коло, описане навколо $△AOC$, має центр у вершині $B$ (оскільки $BA=BO=BC=R$). Отже, шуканий радіус дорівнює відстані $BA$.

2. Нехай $R_{ABC}=6\text{см}$ — радіус кола навколо $△ABC$. За теоремою синусів: $\frac{AC}{\sin B}=2R_{ABC}$. Але нам потрібна сторона $AB$.

3. Розглянемо трикутник $ABC$. Нехай $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. За теоремою синусів для $△ABC$: $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=2R_{ABC}=12$.

4. Щоб знайти конкретне значення радіуса, нам потрібно знати кути або сторони. Однак умову можна інтерпретувати так: шуканий радіус — це відстань $BA$ (бо центр кола навколо $AOC$ лежить у $B$, і $BA$ є радіусом). Але без додаткових даних про кути $A$ чи $C$ точне числове значення неможливо знайти безпосередньо, якщо не використати властивість бісектриси.

5. Перепишемо умову: $O$ — центр кола навколо $△AOC$. Тоді $BA=BO=BC=R_{AOC}$. У трикутнику $ABC$ відома сторона $AC$ (якщо вона відомо) або кути. Оскільки в умові не задано довжину сторін $AB$ чи $BC$, а лише радіус $R=6$, то шуканий радіус дорівнює $BA$.