ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 36

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 3.10–3.15 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 3.10

Знаходження радіуса кола за теоремою синусів

Для трикутників (рис. 3.8, а), б), в) відомі дві сторони та кут між ними або одна сторона і два кути; потрібно знайти радіус описаного кола $R$ .

Розв’язання

Варіант а): У трикутнику кут $4 5^{\circ}$ спирається на дугу, до якої належить хорда з довжиною $2$ . Оскільки трикутник вписаний у коло, сторона, протилежна куту $4 5^{\circ}$ , має довжину $2$ . Застосуємо формулу: $R = \frac{2}{2 sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{2}{2 \cdot \frac{2}{2}} = 1$ .
Варіант б): У трикутнику кути $7 5^{\circ}$ та $6 0^{\circ}$ відомі, отже третій кут дорівнює $18 0^{\circ} - (7 5^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 4 5^{\circ}$ . Сторона $50$ лежить проти кута $4 5^{\circ}$ . Знайдемо радіус: $R = \frac{50}{2 sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{5 2}{2 \cdot \frac{2}{2}} = 5$ .
Варіант в): У трикутнику кут $4 0^{\circ}$ спирається на хорду з довжиною $3$ . Радіус обчислюємо як: $R = \frac{3}{2 sin 4 0 ^{\circ}}$ . (Оскільки точне значення синуса $4 0^{\circ}$ не є раціональним, відповідь залишається у вигляді виразу або округлюється).

Відповідь:

а) $R = 1$ см; б) $R = 5$ см; в) $R \approx 2, 38$ см (або $\frac{3}{2 sin 4 0 ^{\circ}}$ см).

Завдання 3.11

Знаходження сторони трикутника за радіусом описаного кола та синусом кута

Радіус кола, описаного навколо $△ M K P$ , дорівнює $5 см$ , $sin M = 0, 7$ . Знайдіть сторону $K P$ .

Розв’язання

Позначимо шукану сторону $K P$ як $m$ , а протилежний їй кут при вершині $M$ — як $∠ M$ . Радіус описаного кола позначимо через $R = 5 см$ .
Запишемо формулу теореми синусів для цього трикутника: $\frac{K P}{sin M} = 2 R$ .
Підставимо відомі значення в рівність: $\frac{m}{0 , 7} = 2 \cdot 5$ .
Розв'яжемо рівняння щодо $m$ : $m = 2 \cdot 5 \cdot 0, 7 = 10 \cdot 0, 7 = 7$ .

Відповідь:

Сторона $K P$ дорівнює $7 см$ .

Завдання 3.12

Знаходження радіуса описаного кола

У трикутнику $D E F$ відомо, що сторона $D E = 8 см$ , а синус кута $F$ дорівнює $0, 16$ . Потрібно знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

Запишемо формулу теореми синусів для сторони $D E$ і протилежного їй кута $F$ : $\frac{D E}{sin F} = 2 R$ .
Підставимо відомі значення у рівняння: $\frac{8}{0 , 16} = 2 R$ .
Обчислимо діаметр кола: $8 : 0, 16 = 50$ (см). Знайдемо радіус $R$ : $R = \frac{50}{2} = 25 (см)$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $25 см$ .

Завдання 3.13

Гіпотенуза прямокутного трикутника

Навколо прямокутного трикутника описано коло діаметром $14 см$ . Знайдіть гіпотенузу цього трикутника. Обговоріть доцільність використання лем про хорду.

Розв’язання

За умовою діаметр кола $d = 14 см$ .
Оскільки коло описано навколо прямокутного трикутника, його діаметр дорівнює гіпотенузі.
Отже, гіпотенуза $c = d = 14 см$ .

Відповідь:

Гіпотенуза дорівнює $14 см$ . Лему про хорду застосовувати доцільно, оскільки вона дозволяє одразу визначити гіпотенузу як діаметр кола.

Завдання 3.14

Радіус кола навколо трапеції

Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює $15, 5 м$ , а один із її кутів — $15 0^{\circ}$ . Знайдіть радіус кола, описаного навколо даної трапеції.

Розв’язання

У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює діаметру описаного кола ( $d = 15, 5 м$ ).
Радіус $R$ дорівнює половині діаметра: $R = \frac{15 , 5}{2}$ .
Обчислюємо: $R = 7, 75 м$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $7, 75 м$ .

Завдання 3.15

Помилка у міркуванні Василя

Василь стверджує, що існують кути $A$ і $B$ трикутника $A B C$ , такі що $∠ A \neq = ∠ B$ , але $sin A = sin B$ . Він застосовує теорему синусів ( $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ ), отримуючи $a = b$ , і висновує, що трикутник рівнобедрений. Обговоріть помилку.

Розв’язання

За теоремою синусів $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ . Якщо $sin A = sin B$ , то $a = b$ або $A + B = 18 0^{\circ}$ .
У трикутнику сума кутів дорівнює $18 0^{\circ}$ , тому неможливо мати два різні кути, які разом дають $18 0^{\circ}$ (бо третій кут був би $0^{\circ}$ ).
Отже, єдиний варіант: $∠ A = ∠ B$ . Трикутник обов'язково рівнобедрений.

Відповідь:

Василь помилився, вважаючи, що існують різні кути з однаковими синусами в межах одного трикутника. У трикутнику неможливо мати два різні кути $A \neq = B$ при $sin A = sin B$ , оскільки це призвело б до суперечності зі сумою кутів. Тому трикутник має бути рівнобедреним з рівними кутами при основі.