Сторінка 35

Розв’язання

1. Запишемо формулу теореми синусів для сторін $AC$ та $AB$: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$.

2. Підставимо відомі значення у рівність: $\frac{AC}{0,4}=\frac{9}{0,6}$.

3. Знайдемо $AC$, помноживши обидві частини на $0,4$: $AC=9\cdot \frac{0,4}{0,6}=9\cdot \frac{2}{3}=6$.

Розв’язання

1. Знайдемо третій кут $\angle B$: $\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)=180^{\circ }-(120^{\circ }+45^{\circ })=180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$.

2. Запишемо теорему синусів для сторін $BC$ і $AB$: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$.

3. Виразимо $BC$: $BC=AB\cdot \frac{\sin A}{\sin C}=\sqrt{24}\cdot \frac{\sin 120^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$.

4. Підставимо значення: $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тоді $BC=\sqrt{24}\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{24}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

5. Спростимо вираз: $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$, отже $BC=2\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\cdot \sqrt{\frac{18}{2}}=2\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$.

Розв’язання

1. Запишемо рівність за теоремою синусів для сторони $AC$: $\frac{AC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ }}$.

2. Підставимо значення тригонометричних функцій: $\sin 30^{\circ }=0,5$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Рівність набуває вигляду $\frac{AC}{0,5}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

3. Обчислимо праву частину: $\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=12$. Тепер знайдемо $AC$: $AC=12\cdot 0,5=6$.

Розв’язання

1. Записуємо співвідношення за теоремою синусів: $\frac{EF}{\sin \angle D}=\frac{DE}{\sin \angle F}$.

2. Підставляємо відомі значення ($DE=16$, $\angle D=38^{\circ }$, $\angle F=50^{\circ }$) і виражаємо $EF$: $EF=\frac{16\cdot \sin 38^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}$.

Розв’язання

1. Записуємо формулу теореми синусів для сторін $KP$ та $MP$: $\frac{MP}{\sin 106^{\circ }}=\frac{8}{\sin 32^{\circ }}$.

2. Знаходимо $MP$: $MP=\frac{8\cdot \sin 106^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}$.

Розв’язання

1. Для пункту 1): Записуємо рівність за теоремою синусів: $\frac{BC}{\sin C}=\frac{AB}{\sin A}$. Підставляємо дані: $\frac{3\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6}{\sin A}$. Знаходимо $\sin A=\frac{6\cdot \sin 45^{\circ }}{3\sqrt{6}}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Знаходимо кут: $\sin A=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$, що відповідає гострому куту $A\approx 35,26^{\circ }$ (або $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$).

2. Для пункту 2): Записуємо рівність: $\frac{BC}{\sin C}=\frac{AC}{\sin A}$. Підставляємо дані: $\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{3}{\sin A}$. Знаходимо $\sin A=\frac{3\cdot \sin 120^{\circ }}{\sqrt{6}}=\frac{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$. Знаходимо кут: $\sin A=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,612$, що відповідає гострому куту $A\approx 37,76^{\circ }$ (або $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$).

Розв’язання

1. Запишемо рівність за теоремою синусів для сторін $BC$ та $AB$: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$.

2. Підставимо відомі значення: $\frac{15}{\sin 60^{\circ }}=\frac{5\sqrt{3}}{\sin C}$.

3. Знайдемо значення синуса кута $A$: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Рівність набуває вигляду: $\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sin C}$.

4. Спростимо ліве дріб: $15:\frac{\sqrt{3}}{2}=15\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}$.

5. Отримаємо рівняння: $10\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{\sin C}$.

6. Знайдемо $\sin C$: $\sin C=\frac{5\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=0,5$.

7. Знайдемо кут $C$, знаючи його синус: $\angle C=30^{\circ }$ (оскільки шукують гострий кут).