ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 256

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 21.63–21.75 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 21.63

Паралельне перенесення точок

Побудувати образи точок $A (1; - 3)$ , $B (0; - 5)$ і $C (2; 1)$ при паралельному перенесенні на вектор $a (- 2; 1)$ . Записати координати побудованих точок.

Розв’язання

Для точки $A (1; - 3)$ : $x_{A}^{'} = 1 + (- 2) = - 1$ , $y_{A}^{'} = - 3 + 1 = - 2$ . Отже, $A^{'} (- 1; - 2)$ .
Для точки $B (0; - 5)$ : $x_{B}^{'} = 0 + (- 2) = - 2$ , $y_{B}^{'} = - 5 + 1 = - 4$ . Отже, $B^{'} (- 2; - 4)$ .
Для точки $C (2; 1)$ : $x_{C}^{'} = 2 + (- 2) = 0$ , $y_{C}^{'} = 1 + 1 = 2$ . Отже, $C^{'} (0; 2)$ .

Відповідь:

$A^{'} (- 1; - 2)$ , $B^{'} (- 2; - 4)$ , $C^{'} (0; 2)$ .

Завдання 21.64

Знаходження образів точок відрізка

Дано точки $C (7; - 4)$ і $D (- 1; 8)$ . При паралельному перенесенні образом середини відрізка $C D$ є точка $P (- 1; - 3)$ . Знайти координати точок, які є образами точок $C$ і $D$ .

Розв’язання

Нехай образ точки $C$ — це $C^{'} (x_{C}^{'}; y_{C}^{'})$ , а образ точки $D$ — $D^{'} (x_{D}^{'}; y_{D}^{'})$ . Середина відрізка $C^{'} D^{'}$ має координати $P (- 1; - 3)$ .
Знайдемо зміщення координат ( $Δ x, Δ y$ ). Оскільки $P$ — середина, то $\frac{x _{C}^{'} + x _{D}^{'}}{2} = - 1$ і $\frac{y _{C}^{'} + y _{D}^{'}}{2} = - 3$ .
Скористаємося властивістю перенесення: координати образів $C^{'}, D^{'}$ отримуються з початкових $C, D$ додаванням вектора $(Δ x; Δ y)$ . Але простіше знайти зміщення через відстань до середини.
Відстань між $C (7; - 4)$ і $D (- 1; 8)$ : $Δ x_{C D} = - 1 - 7 = - 8$ , $Δ y_{C D} = 8 - (- 4) = 12$ .
Оскільки $P$ — середина, то координати $C^{'}$ та $D^{'}$ симетричні відносно $P (- 1; - 3)$ з відстанню, що дорівнює половині довжини відрізка $C D$ .
Нехай вектор перенесення $v = (u; v)$ . Тоді $C^{'} = C + v$ , $D^{'} = D + v$ . Середина $P^{'} = P_{n e w} = (- 1; - 3)$ .
Знайдемо координати $C^{'}$ та $D^{'}$ , знаючи, що $P$ — середина.
$x_{C}^{'} = 2 \cdot x_{P} - x_{D}^{'}$ . Це складно без вектора перенесення.
Давайте знайдемо зміщення іншим шляхом. Нехай вектор перенесення $a = (u; v)$ .
Тоді $C^{'} (7 + u; - 4 + v)$ , $D^{'} (- 1 + u; 8 + v)$ .
Середина відрізка $C^{'} D^{'}$ : $x_{mi d} = \frac{( 7 + u ) + ( - 1 + u )}{2} = \frac{6 + 2 u}{2} = 3 + u$ .
$y_{mi d} = \frac{( - 4 + v ) + ( 8 + v )}{2} = \frac{4 + 2 v}{2} = 2 + v$ .
За умовою, середина є $P (- 1; - 3)$ .
Отже: $3 + u = - 1 \Rightarrow u = - 4$ .
$2 + v = - 3 \Rightarrow v = - 5$ .
Вектор перенесення $a (- 4; - 5)$ .
Знайдемо координати образів:
Для $C$ : $x_{C}^{'} = 7 + (- 4) = 3$ , $y_{C}^{'} = - 4 + (- 5) = - 9$ . Точка $C^{'} (3; - 9)$ .
Для $D$ : $x_{D}^{'} = - 1 + (- 4) = - 5$ , $y_{D}^{'} = 8 + (- 5) = 3$ . Точка $D^{'} (- 5; 3)$ .

Відповідь:

Образ точки $C$ — $(3; - 9)$ , образ точки $D$ — $(- 5; 3)$ .

Завдання 21.65

Доведення симетрії точок

На рисунку 21.4 дано $C B = C D$ , $∠ A C B = ∠ A C D$ . Довести, що точки $B$ і $D$ симетричні відносно прямої $A C$ .

Розв’язання

Проведемо висоту $C H$ з точки $C$ до прямої $A B$ (або продовження сторони $A B$ ), але краще розглянути трикутники, утворені відкиданням перпендикулярів з точок $B$ і $D$ на пряму $A C$ . Нехай $B H ⊥ A C$ і $D K ⊥ A C$ .
Розглянемо прямокутні трикутники $△ B H C$ і $△ D K C$ .
У них спільний катет $C H = C K$ ? Ні, це не так.
Давайте розглянемо трикутники $△ A B C$ і $△ A D C$ .
За умовою: $C B = C D$ , $∠ A C B = ∠ A C D$ , спільна сторона $A C$ .
За ознакою рівності трикутників за двома сторонами та кутом між ними ( $S A S$ ), $△ A B C = △ A D C$ .
З рівності трикутників випливає, що висоти, опущені з точок $B$ і $D$ на пряму $A C$ , рівні за довжиною ( $B H = D K$ ). Також кут між бічною стороною та основою є рівним, отже, точки $B$ і $D$ лежать по різні боки від прямої $A C$ (що видно з рисунка).
Оскільки трикутники рівні, то $∠ B A C = ∠ D A C$ . Прямі $A B$ і $A D$ симетричні відносно $A C$ .
Точніше, для симетрії точок $B$ і $D$ відносно прямої $A C$ потрібно, щоб пряма $A C$ була серединним перпендикуляром до відрізка $B D$ .
Оскільки $△ A B C = △ A D C$ , то висоти з вершини $C$ на сторону $A B$ і $A D$ не підходять.
Розглянемо трикутники, утворені відкиданням перпендикулярів з точок $B$ і $D$ на пряму $A C$ . Нехай ці перпендикуляри перетинають $A C$ в точках $H$ і $K$ .
У прямокутних трикутниках $△ B H C$ і $△ D K C$ :
Гіпотенузи $C B = C D$ (за умовою).
Кут $∠ B C H = ∠ D C K$ (бо $∠ A C B = ∠ A C D$ , а точки $H, K$ лежать на променях $C A$ ).
Отже, $△ B H C = △ D K C$ за ознакою $G K$ (гіпотенуза і гострий кут).
Звідси випливає, що $C H = C K$ (тобто $H$ і $K$ збігаються, якщо $B$ і $D$ по різні боки) і $B H = D K$ .
Оскільки точки $B$ і $D$ лежать по різні боки від прямої $A C$ (з рисунка), а їх відстані до прямої рівні ( $B H = D K$ ) і проекції на пряму збігаються ( $H = K$ ), то відрізок $B D$ перпендикулярний до $A C$ і ділиться навпіл точкою перетину.

Відповідь:

Точки $B$ і $D$ симетричні відносно прямої $A C$ , оскільки трикутники, утворені відкиданням перпендикулярів з цих точок на пряму $A C$ , рівні, що означає рівність відстаней до прямої та співпадіння проекцій.

Завдання 21.66

Симетричні точки до K(4; -2)

Знайти координати точок, симетричних точці $K (4; - 2)$ відносно осей координат і початку координат.

Розв’язання

Сімметрична відносно осі $O x$ : $y$ змінює знак $\to (4; 2)$ .
Сімметрична відносно осі $O y$ : $x$ змінює знак $\to (- 4; - 2)$ .
Сімметрична відносно початку координат: обидві координати змінюють знаки $\to (- 4; 2)$ .

Відповідь:

$(4; 2)$ , $(- 4; - 2)$ , $(- 4; 2)$ .

Завдання 21.67

Знаходження невідомих координат за умовою симетрії

Точки $A (x; - 2)$ і $B (3; y)$ симетричні відносно осі абсцис. Знайти $x$ і $y$ .

Розв’язання

Оскільки точки симетричні відносно осі $O x$ , їхні абсциси рівні: $x = 3$ .
Ордината точки $A$ дорівнює мінус ординаті точки $B$ : $- 2 = - y \Rightarrow y = 2$ .

Відповідь:

$x = 3$ , $y = 2$ .

Завдання 21.68

Побудова променя, симетричного відносно точки

Дано промінь $O A$ і точку $B$ , що не належить йому. Побудувати промінь, симетричний даному відносно точки $B$ .

Розв’язання

З'єднайте точку $O$ з точкою $B$ .
Продовжте відрізок $O B$ за точку $B$ на відстань, рівну довжині $O B$ , і позначьте цю точку як $O^{'}$ (або продовжуйте промінь $O A$ до перетину з образом).
Промінь, що починається в точці $B$ і проходить через $O^{'}$ , є шуканим образом.

Відповідь:

Побудовано промінь $B O^{'}$ .

Завдання 21.69

Перевірка симетрії точок відносно точки

Чи симетричні точки $M (- 3; 10)$ і $N (- 1; 6)$ відносно точки $K (1; 4)$ ?

Розв’язання

Знайдемо абсцису середини відрізка $M N$ : $\frac{- 3 + ( - 1 )}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ .
Знайдемо ординату середини відрізка $M N$ : $\frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ .
Отримуємо координати середини: $(- 2; 8)$ . Оскільки ці координати не дорівнюють координатам точки $K (1; 4)$ , точка $K$ не є серединою відрізка $M N$ .

Відповідь:

Точки $M$ і $N$ не симетричні відносно точки $K$ .

Завдання 21.70

Рівняння кола після симетрії

Записати рівняння кола, яке симетричне колу $(x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 11$ відносно: 1) початку координат; 2) точки $M (- 3; 3)$ .

Розв’язання

Початкове коло має центр $O (- 4; 5)$ і радіус $R = 11$ .
Відносно початку координат $(0; 0)$ : новий центр буде протилежним до початкового, тобто $(4; - 5)$ . Рівняння: $(x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 11$ .
Відносно точки $M (- 3; 3)$ : знайдемо нові координати центру $O^{'} (x^{'}; y^{'})$ , вважаючи $M$ серединою відрізка $O O^{'}$ . Маємо $\frac{- 4 + x ^{'}}{2} = - 3 \Rightarrow x^{'} = 2$ і $\frac{5 + y ^{'}}{2} = 3 \Rightarrow y^{'} = 1$ . Новий центр $(2; 1)$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 11$ .

Відповідь:

1) $(x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 11$ ; 2) $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 11$ .

Завдання 21.71

Побудова точки при повороті навколо початку

Дано точки $K$ і $O$ . Побудувати точку $K_{1}$ , яка є образом точки $K$ при повороті навколо точки $O$ : 1) на кут $13 0^{\circ}$ проти годинникової стрілки; 2) на кут $4 0^{\circ}$ за годинниковою стрілкою.

Розв’язання

Проведіть коло з центром у точці $O$ .
З'єднайте точки $O$ і $K$ відрізком (це радіус).
Для пункту 1): відкладіть кут $13 0^{\circ}$ проти годинникової стрілки від відрізка $O K$ на колі. Точка перетину з колом і буде точкою $K_{1}$ .
Для пункту 2): відкладіть кут $4 0^{\circ}$ за годинниковою стрілкою від відрізка $O K$ на колі. Точка перетину з колом і буде точкою $K_{1}$ .

Відповідь:

1) Точка $K_{1}$ знаходиться на колі навколо $O$ , кут між $O K$ і $O K_{1}$ дорівнює $13 0^{\circ}$ проти ходу стрілки. 2) Точка $K_{1}$ знаходиться на колі навколо $O$ , кут між $O K$ і $O K_{1}$ дорівнює $4 0^{\circ}$ за ходом стрілки. (Без конкретних координат точок $K$ і $O$ числові відповіді неможливо дати).

Завдання 21.72

Побудова образу відрізка при повороті

Дано відрізок $A B$ і точку $O$ , яка йому не належить. Потрібно побудувати відрізок $A_{1} B_{1}$ , який є образом відрізка $A B$ при повороті на кут $5 0^{\circ}$ навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою.

Розв’язання

Проведіть кола з центром у точці $O$ , радіус яких дорівнює відстаням $O A$ та $O B$ .
На цих колах знайдіть точки $A_{1}$ і $B_{1}$ так, щоб $∠ A O A_{1} = 5 0^{\circ}$ і $∠ B O B_{1} = 5 0^{\circ}$ , при цьому обидва кути відлічуються за годинниковою стрілкою.
З'єднайте точки $A_{1}$ і $B_{1}$ . Отриманий відрізок є шуканим образом.

Відповідь:

Побудовано відрізок $A_{1} B_{1}$ , який є образом відрізка $A B$ при повороті на $5 0^{\circ}$ навколо точки $O$ .

Завдання 21.73

Поворот прямокутника навколо центру симетрії

Прямокутник, відмінний від квадрата, повертають навколо його центра симетрії так, щоб його образом був цей самий прямокутник. Потрібно знайти кут повороту.

Розв’язання

Уявіть, що прямокутник повертається навколо центру перетину діагоналей.
Перший поворот на $18 0^{\circ}$ переводить кожен кут у протилежний, і вершини збігаються з початковими положеннями.
Наступні повні оберти ( $36 0^{\circ}$ , $54 0^{\circ}$ тощо) також дають той самий образ.

Відповідь:

Найменший кут повороту дорівнює $18 0^{\circ}$ .

Завдання 21.74

Відношення площ правильних трикутників

Сторони двох правильних трикутників дорівнюють $8 см$ і $28 см$ . Потрібно знайти відношення їхніх площ.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ : $k = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ .
Відношення площ дорівнює $k^{2}$ : $(\frac{2}{7})^{2} = \frac{4}{49}$ .

Відповідь:

Відношення площ дорівнює $\frac{4}{49}$ .

Завдання 21.75

Заповнення таблиці подібності фігур

Дано, що многокутник $F_{1}$ подібний многокутнику $F_{2}$ з коефіцієнтом подібності $k$ . Відомі периметри ( $P_{1}, P_{2}$ ) та площі ( $S_{1}, S_{2}$ ). Потрібно знайти пропущені значення в таблиці.

Розв’язання

Рядок 1: Знайдемо $k = \frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{64}{16} = 4 = 2$ . Перевіримо за периметрами: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k \Rightarrow P_{1} = 2 \cdot 19 = 38$ . Знайдемо $S_{2}$ : $S_{2} = \frac{S _{1}}{k ^{2}} = \frac{64}{4} = 16$ (вже дано).
Рядок 2: Знайдемо $k = \frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ . Перевіримо площі: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2} \Rightarrow \frac{7}{S _{2}} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9} \Rightarrow S_{2} = 63$ . Знайдемо $P_{2}$ : $P_{2} = 3 \cdot 12 = 36$ (вже дано).
Рядок 3: Знайдемо $k = \frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{35}{4}$ ? Ні, тут $S_{1} = 4, S_{2} = 100$ . Тоді $k = \frac{4}{100} = 0, 2$ . Перевіримо периметри: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k \Rightarrow P_{1} = 0, 2 \cdot 35 = 7$ . Знайдемо $S_{2}$ : вже дано.
Рядок 4: Знайдемо $k = \frac{P _{1}}{P _{2}} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$ ? Ні, тут $S_{1} = 36, k = 2$ . Тоді $\frac{S _{1}}{S _{2}} = 4 \Rightarrow S_{2} = \frac{36}{4} = 9$ . Перевіримо периметри: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k \Rightarrow P_{1} = 2 \cdot 21 = 42$ .

Відповідь:

Рядок 1: $P_{1} = 38, S_{2} = 16$ ; Рядок 2: $S_{2} = 63$ ; Рядок 3: $P_{1} = 7$ ; Рядок 4: $P_{1} = 42, S_{2} = 9$ .