Сторінка 255

Розв’язання

1. Оскільки $AD:DB=1:2$, то $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\vec{b}+\frac{2}{1}\vec{b}=3\vec{b}$. Отже, $\overrightarrow{AB}=3\vec{b}$.

2. Оскільки $BE:EC=2:1$, то $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{a}=\frac{3}{2}\vec{a}$.

3. Знайдемо $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=3\vec{b}+\frac{3}{2}\vec{a}$.

4. Знайдемо $\overrightarrow{AE}$: $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=3\vec{b}+\vec{a}$.

5. Знайдемо $\overrightarrow{CD}$: спочатку знайдемо $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}=-\frac{2}{3}(3\vec{b})=-2\vec{b}$. Тоді $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}$ або простіше $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-(\frac{3}{2}\vec{a}+3\vec{b})+\vec{b}=-\frac{3}{2}\vec{a}-2\vec{b}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{MN}$: $x_{MN}=-6-4=-10$, $y_{MN}=5-(-1)=6$. Отже, $\overrightarrow{MN}(-10;6)$.

2. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{KP}$: $x_{KP}=2-7=-5$, $y_{KP}=1-(-2)=3$. Отже, $\overrightarrow{KP}(-5;3)$.

3. Порівнюємо координати: $\frac{-10}{-5}=2$ і $\frac{6}{3}=2$. Оскільки співвідношення однакове ($2=2$), вектори колінеарні.

Розв’язання

1. Запишемо умову колінеарності у вигляді пропорції: $\frac{k}{6}=\{-2\}/3$.

2. Помножимо хрест-навхрест або спростимо дріб з правої частини: $k=6\cdot \left(\frac{-2}{3}\right)$.

3. Обчислимо значення: $k=2\cdot (-2)=-4$.

Розв’язання

1. Записуємо вираз для скалярного добутку: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot x+(-2)\cdot 4$.

2. Спрощуємо вираз: $3x-8$.

3. Ставимо рівність з умовою задачі: $3x-8=1$.

4. Розв'язуємо рівняння: $3x=9$, звідки $x=3$.

Розв’язання

1. Знаходимо координати векторів сторін: $\overrightarrow{AB}(5;1)$, $\overrightarrow{BC}(1;8)$, $\overrightarrow{CA}(-6;-9)$.

2. Обчислюємо довжини сторін: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{26}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{65}$, $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{117}$.

3. Знаходимо скалярні добутки сусідніх векторів для знаходження косинусів:
   - $\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}$, де $\overrightarrow{AC}(-6;-9)$. Добуток $=-30+(-9)=-39$.
   - $\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}$, де $\overrightarrow{BA}(-5;-1)$. Добуток $=25+(-8)=17$.
   - $\cos C=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}$, де $\overrightarrow{CB}(-1;-8)$. Добуток $=6+(-72)=-66$.

4. Обчислюємо значення косинусів:
   - $\cos A=\frac{-39}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{117}}=\frac{-39}{\sqrt{3042}}\approx -0,71$.
   - $\cos B=\frac{17}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{65}}=\frac{17}{\sqrt{1690}}\approx 0,41$.
   - $\cos C=\frac{-66}{\sqrt{117}\cdot \sqrt{65}}=\frac{-66}{\sqrt{7605}}\approx -0,76$.

5. Оскільки один з косинусів від'ємний (кут тупий), а інший додатний, трикутник непрямокутний. Перевірка за теоремою Піфагора: $26+65=91\ne 117$. Отже, це загальний (непрямокутний) трикутник.

Розв’язання

1. Знаходимо координати суми векторів: $\vec{a}+m\vec{b}=(2;-1)+m(1;-2)=(2+m;-1-2m)$.

2. Записуємо умову перпендикулярності через скалярний добуток: $(\vec{a}+m\vec{b})\cdot \vec{b}=0$.

3. Обчислюємо добуток координат: $(2+m)\cdot 1+(-1-2m)\cdot (-2)=0$.

4. Спрощуємо рівняння: $2+m+2+4m=0$, отже $5m+4=0$.

5. Знаходимо $m$: $5m=-4$, звідки $m=-0,8$.

Розв’язання

1. Обчислимо скалярний добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}$:
   $\vec{a}\cdot \vec{b}=(3\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-2\vec{n})=3{\vec{m}}^2-6\vec{m}\vec{n}+\vec{n}\vec{m}-2{\vec{n}}^2$.
   Оскільки $\vec{m}\perp \vec{n}$, то $\vec{m}\vec{n}=0$. Також $|\vec{m}|=1,|\vec{n}|=1$, отже ${\vec{m}}^2=1,{\vec{n}}^2=1$.
   $\vec{a}\cdot \vec{b}=3(1)-0+0-2(1)=1$.

2. Знайдемо модуль вектора $\vec{a}$:
   $|\vec{a}{|}^2=(3\vec{m}+\vec{n}{)}^2=9{\vec{m}}^2+6\vec{m}\vec{n}+{\vec{n}}^2=9(1)+0+1=10$.
   $|\vec{a}|=\sqrt{10}$.

3. Знайдемо модуль вектора $\vec{b}$:
   $|\vec{b}{|}^2=(\vec{m}-2\vec{n}{)}^2={\vec{m}}^2-4\vec{m}\vec{n}+4{\vec{n}}^2=1-0+4(1)=5$.
   $|\vec{b}|=\sqrt{5}$.

4. Обчислимо косинус кута:
   $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора ${\vec{c}}_1=\vec{a}-\vec{b}$:
   $x_1=2-(-1)=3$, $y_1=-4-1=-5$.
   ${\vec{c}}_1(3;-5)$.
   $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$.

2. Знайдемо координати вектора ${\vec{c}}_2=2\vec{a}+\vec{b}$:
   $2\vec{a}(4;-8)$. Додаємо до $\vec{b}(-1;1)$:
   $x_2=4+(-1)=3$, $y_2=-8+1=-7$.
   ${\vec{c}}_2(3;-7)$.
   $|2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3^2+(-7{)}^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$.

Розв’язання

1. Знайдемо кутовий коефіцієнт радіуса $k_{MA}$, що проходить через точки $M(0;-4)$ і $A(5;-3)$:
   $k_{MA}=\frac{y_A-y_M}{x_A-x_M}=\frac{-3-(-4)}{5-0}=\frac{1}{5}$.

2. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, кутовий коефіцієнт дотичної $k$ дорівнює відомому із значення $-1$:
   $k=-\frac{1}{k_{MA}}=-\frac{1}{1/5}=-5$.

3. Складемо рівняння прямої через точку $A(5;-3)$ з кутовим коефіцієнтом $-5$:
   $y-y_A=k(x-x_A)\Rightarrow y-(-3)=-5(x-5)$.
   $y+3=-5x+25$.
   $5x+y-22=0$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора перенесення $\vec{a}$, використовуючи точки $A(3;-2)$ і $B(5;-3)$. Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінцевої та початкової точок: $x_0=5-3=2$, $y_0=-3-(-2)=-1$. Отже, $\vec{a}=(2;-1)$.

2. Знайдемо координати образу точки $C(-3;4)$, додавши до її координат компоненти вектора перенесення: $x^{\prime }=-3+2=-1$, $y^{\prime }=4+(-1)=3$.