Сторінка 254

Розв’язання

1. Позначимо центр кола як $O(0;y_0)$. Рівняння кола має вигляд: $x^2+(y-y_0{)}^2=R^2$. Оскільки точка лежить на колі, відстань від центра до будь-якої точки дорівнює радіусу. Тобто $1^2+(2-y_0{)}^2=3^2+(6-y_0{)}^2$.

2. Розкриємо дужки та розв'яжемо рівняння відносно $y_0$: $1+4-4y_0+y_0^2=9+36-12y_0+y_0^2$. Спростимо: $5-4y_0=45-12y_0\Rightarrow 8y_0=40\Rightarrow y_0=5$.

3. Знайдемо радіус $R$, підставивши $y_0=5$ у вираз для відстані до точки $A$: $R^2=1^2+(2-5{)}^2=1+(-3{)}^2=10$. Рівняння кола: $x^2+(y-5{)}^2=10$.

4. Перевіримо точку $C(-3;4)$: підставимо $x=-3,y=4$ у рівняння: $(-3{)}^2+(4-5{)}^2=9+(-1{)}^2=9+1=10$. Оскільки $10=10$, точка задовольняє рівнянню.

Розв’язання

1. Центр $M(-5;3)$. Відстань від центра до осі ординат дорівнює модулю абсциси: $R=|-5|=5$.

2. Рівняння кола: $(x-(-5){)}^2+(y-3{)}^2=5^2$, тобто $(x+5{)}^2+(y-3{)}^2=25$.

3. Точки перетину з віссю абсцис знаходимо, прирівнявши $y$ до 0: $(x+5{)}^2+(0-3{)}^2=25\Rightarrow (x+5{)}^2+9=25$.

4. Розв'яжемо рівняння: $(x+5{)}^2=16\Rightarrow x+5=\pm 4$. Отримуємо два варіанти: $x_1=-5+4=-1$ та $x_2=-5-4=-9$.

Розв’язання

1. Групуємо змінні та доповнюємо до повних квадратів: $(x^2-2x)+(y^2+4y)=20$.

2. Додаємо обидві частини рівняння числа, які перетворять дужки на квадрати: $1$ для $x$ і $4$ для $y$: $(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=20+1+4$.

3. Отримуємо канонічне рівняння: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$. Порівнюючи з $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$, бачимо, що $R^2=25$, отже $R=5$.

4. Обчислюємо довжину кола: $L=2\pi R=2\pi \cdot 5=10\pi$.

Розв’язання

1. Запишемо загальний вигляд рівняння прямої, підставивши відомий кутовий коефіцієнт: $y=6x+b$.

2. Підставимо координати точки $P(-3;5)$ у отримане рівняння: $5=6\cdot (-3)+b$.

3. Розв'яжемо відносно $b$: $5=-18+b\Rightarrow b=23$.

4. Запишемо остаточне рівняння, підставивши знайдене значення $b$: $y=6x+23$.

Розв’язання

1. Знайдемо кутовий коефіцієнт: $k=\tan 135^{\circ }=-1$.

2. Запишемо часткове рівняння прямої: $y=-x+b$.

3. Підставимо координати точки $S(-1;4)$: $4=-(-1)+b\Rightarrow 4=1+b$.

4. Знайдемо $b$: $b=3$. Запишемо остаточне рівняння: $y=-x+3$ (або $x+y-3=0$).

Розв’язання

1. Перетворимо рівняння заданої прямої на вигляд $y=kx+b$: $3y=-5x+6\Rightarrow y=-\frac{5}{3}x+2$. Кутовий коефіцієнт $k=-\frac{5}{3}$.

2. Запишемо рівняння шуканої прямої з цим коефіцієнтом: $y=-\frac{5}{3}x+b$.

3. Підставимо координати точки $A(-3;1)$: $1=-\frac{5}{3}\cdot (-3)+b$.

4. Розв'яжемо рівняння відносно $b$: $1=5+b\Rightarrow b=-4$. Запишемо остаточне рівняння: $y=-\frac{5}{3}x-4$ (або у загальному вигляді $5x+3y+12=0$).

Розв’язання

1. Знайдемо координати середини відрізка $AB$: $x_M=\frac{-3+2}{2}=-0,5$, $y_M=\frac{-2+5}{2}=1,5$. Середина $M(-0,5;1,5)$.

2. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $AB$: $k_{AB}=\frac{5-(-2)}{2-(-3)}=\frac{7}{5}$. Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює $-\frac{1}{k_{AB}}=-\frac{5}{7}$.

3. Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $M(-0,5;1,5)$ з кутовим коефіцієнтом $-\frac{5}{7}$: $y-1,5=-\frac{5}{7}(x+0,5)$.

4. Перетворимо рівняння до загального вигляду: $7(y-\frac{3}{2})=-5(x+\frac{1}{2})\Rightarrow 7y-\frac{21}{2}=-5x-\frac{5}{2}\Rightarrow 5x+7y-\frac{16}{2}=0\Rightarrow 5x+7y-8=0$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину сторони $AB$: $|2-(-4)|=6$. Оскільки $ABCD$ — прямокутник, діагоналі рівні, отже $AC=BD=10$.

2. Позначимо координати точки $D(x;2)$ (оскільки вона лежить на прямій $y=2$) і $C(x;-4)$. Тоді довжина сторони $AD$ дорівнює $|x-3|$.

3. У прямокутному трикутнику $ABD$ за теоремою Піфагора: $A{D}^2+A{B}^2=B{D}^2\Rightarrow (x-3{)}^2+6^2=10^2$.

4. Розв'яжемо рівняння: $(x-3{)}^2+36=100\Rightarrow (x-3{)}^2=64\Rightarrow x-3=\pm 8$. Отримуємо два варіанти для $x$: $x_1=11$ або $x_2=-5$.

Розв’язання

1. Оскільки $O$ — середина діагоналі $AC$, то $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}=-(-\vec{a})=\vec{a}$. Тоді $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=-\vec{a}+(-\vec{a})=-2\vec{a}$ (або простіше: $\overrightarrow{CO}=\vec{a}\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\vec{a}\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\vec{a}$, але нам потрібен вектор сторони).

2. Знайдемо $\overrightarrow{CD}$. Оскільки $ABCD$ — паралелограм, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Знайдемо $\overrightarrow{BA}$: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$. Ми знаємо $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, отже $\overrightarrow{BO}=-\vec{b}$. Також $\overrightarrow{OC}=\vec{a}\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\vec{a}$. Тоді $\overrightarrow{BA}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$. Отже, $\overrightarrow{CD}=\vec{a}-\vec{b}$.

3. Знайдемо $\overrightarrow{AD}$. Оскільки $ABCD$ — паралелограм, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Знайдемо $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$.

Розв’язання

1. Для пункту 1: Оскільки $\overline{CD}=\overline{BA}$ і $\overline{CB}=\overline{DA}$, підставимо в вираз: $\overline{BA}-\overline{BA}-\overline{DA}=\vec{0}-\overline{DA}=\overline{AD}$.

2. Для пункту 2: Замінимо $\overline{CD}$ на $\overline{BA}$, а $\overline{DA}$ на $\overline{CB}$: $\overline{AB}-\overline{CB}-\overline{BD}+\overline{BA}$. Оскільки $\overline{AB}=-\overline{BA}$, вираз перетворюється на $-\overline{BA}-\overline{CB}-\overline{BD}+\overline{BA}=-\overline{CB}-\overline{BD}$. Використовуючи правило трикутника $\overline{CB}+\overline{BD}=\overline{CD}$, отримаємо $-\overline{CD}=\overline{DC}=\overline{AB}$.

3. Для пункту 3: Запишемо $\overline{AD}-(\overline{BA}+\overline{AC})$. Оскільки $\overline{BA}+\overline{AC}=\overline{BC}$, то вираз стає $\overline{AD}-\overline{BC}$. Оскільки $\overline{AD}=\overline{BC}$, різниця дорівнює нульовому вектору.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора $3\vec{a}$: $3\cdot (1;-2)=(3;-6)$.

2. Знайдемо координати вектора $2\vec{b}$: $2\cdot (-1;3)=(-2;6)$.

3. Знайдемо координати вектора $\vec{n}=3\vec{a}-2\vec{b}$: $(3-(-2);-6-6)=(5;-12)$.

4. Обчислимо модуль: $|\vec{n}|=\sqrt{5^2+(-12{)}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

Розв’язання

1. Запишемо правило трикутника для точки $E$ (середина $AB$): $\overline{AE}=\frac{1}{2}\overline{AB}$.

2. Виразимо $\overline{EF}$ через вектори сторін паралелограма: $\overline{EF}=\overline{EA}+\overline{AD}+\overline{DF}$ (де $F$ середина $BC$, тоді $\overline{DF}$ складніше). Краще використати координатний метод або векторне додавання: $\overline{EF}=\overline{EB}+\overline{BF}$.

3. Оскільки $E$ — середина $AB$, $\overline{EB}=\frac{1}{2}\overline{AB}$. Оскільки $F$ — середина $BC$, $\overline{BF}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{1}{2}\vec{a}$.

4. У паралелограмі $\overline{AB}=\overline{DC}=-\overline{CD}=-\vec{b}$. Тоді $\overline{EB}=\frac{1}{2}(-\vec{b})=-\frac{1}{2}\vec{b}$.

5. Отже, $\overline{EF}=\overline{EB}+\overline{BF}=-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})$.

Розв’язання

1. Запишемо зв'язок між сторонами паралелограма: $\overline{BC}=\vec{b}$, $\overline{CD}=-\vec{a}$.

2. Виразимо вектори частин сторін: $\overline{BM}=\frac{1}{4}\overline{BC}=\frac{1}{4}\vec{b}$ і $\overline{CK}=\frac{2}{3}\overline{CD}=-\frac{2}{3}\vec{a}$.

3. Для вектора $\overline{AM}$ використаємо правило трикутника: $\overline{AM}=\overline{AB}+\overline{BM}=\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$.

4. Спочатку знайдемо діагональ $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{AD}=\vec{a}+\vec{b}$, потім додамо $\overline{CK}$: $\overline{AK}=\overline{AC}+\overline{CK}=(\vec{a}+\vec{b})-\frac{2}{3}\vec{a}$.

5. Спростимо вираз для $\overline{AK}$: $\overline{AK}=\frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b}$.