ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 253

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 21.27–21.39 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 21.27

Дуга описаного кола квадрата

Сторона квадрата дорівнює $22$ см. Знайти довжину дуги описаного кола, кінцями якої є дві сусідні вершини квадрата.

Розв’язання

Знайдемо діагональ квадрата, яка є діаметром описаного кола: $D = 22 \cdot 2 = 4$ см.
Знайдемо радіус описаного кола: $R = \frac{4}{2} = 2$ см.
Обчислимо довжину дуги для кута $α = 9 0^{\circ}$ : $l = \frac{9 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \cdot 2 π \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 4 π = π$ см.

Відповідь:

$π$ см

Завдання 21.28

Градусна міра дуги сектора

Площа кругового сектора дорівнює $2, 4 π$ см $^{2}$ , а радіус кола — $4$ см. Знайти градусну міру дуги цього сектора.

Розв’язання

Запишемо формулу площі сектора: $S = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot π R^{2}$ .
Підставимо числові значення: $2, 4 π = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot π \cdot 4^{2}$ .
Скоротимо на $π$ і розв'яжемо рівняння: $2, 4 = \frac{α}{36 0 ^{\circ}} \cdot 16$ , звідки $α = \frac{2 , 4 \cdot 36 0 ^{\circ}}{16} = 5 4^{\circ}$ .

Відповідь:

$5 4^{\circ}$

Завдання 21.29

Швидкість метрополітену

Діаметр колеса вагона метро дорівнює $78$ см. За $2, 5$ хв колесо робить $1000$ обертів. Знайти швидкість поїзда в км/год (округлити до десятих).

Розв’язання

Знайдемо довжину одного оберту (шлях): $l = π \cdot 78$ см.
Обчислимо загальний шлях за $1000$ обертів: $S_{t o t a l} = 1000 \cdot 78 π = 78000 π$ см.
Переведемо шлях у кілометри ( $1$ км $= 100000$ см): $S_{k m} = \frac{78000 π}{100000} = 0, 78 π$ км.
Переведемо час у години ( $2, 5$ хв $= \frac{2 , 5}{60}$ год): $t = \frac{1}{24}$ год.
Знайдемо швидкість: $v = \frac{S _{k m}}{t} = 0, 78 π \cdot 24 \approx 59, 06$ км/год.

Відповідь:

$59, 1$ км/год

Завдання 21.30

Довжина кола в сегменті

Знайти довжину кола, яке вписане в сегмент. Довжина дуги цього кола дорівнює $m$ , а її градусна міра — $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Градусна міра дуги становить $12 0^{\circ}$ , що є $\frac{1}{3}$ від повного кола ( $36 0^{\circ}$ ).
Отже, довжина повного кола дорівнює $3 \cdot m = 3 m$ .

Відповідь:

$3 m$

Завдання 21.31

Площа сегмента кола

Радіус кола дорівнює $R$ . Проведено дві дотичні, кут між якими — $6 0^{\circ}$ . Знайти площу фігури, обмеженої цими дотичними та меншою дугою (сегмент).

Розв’язання

Кут між дотичними $6 0^{\circ}$ , тому кут при центрі (вписаний) — це $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ ? Ні, кут між радіусами до точок дотику дорівнює $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .
Площа чотирикутника (дві рівні трапеції або два трикутники) = $\frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot sin (12 0^{\circ}) \cdot 2$ ? Ні, площа чотирикутника = $R^{2} \cdot tan (3 0^{\circ})$ ? Краще: площа чотирикутника = $\frac{1}{2} \cdot (2 R \cdot tan (3 0^{\circ})) \cdot R$ ? Ні. Площа чотирикутника = $2 \cdot площа трикутника$ . Трикутник прямокутний, катети $R$ і $R \cdot tan (3 0^{\circ})$ . Площа = $\frac{1}{2} R^{2} tan (3 0^{\circ})$ . Дві такі: $R^{2} tan (3 0^{\circ}) = R^{2} \frac{3}{3}$ .
Площа сектора з кутом $12 0^{\circ}$ : $\frac{120}{360} \cdot π R^{2} = \frac{1}{3} π R^{2}$ .
Площа фігури = площа чотирикутника - площа сектора? Ні, фігура обмежена дотичними та дугою — це площа між дотичними та дугою. Це площа чотирикутника мінус площа сектора. Так.

Відповідь:

$R^{2} (\frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Завдання 21.32

Рівнобедрений трикутник за координатами

Вершини трикутника $A (- 4; 1)$ , $B (- 2; 4)$ , $C (0; 1)$ . Довести, що трикутник рівнобедрений, і знайти його площу.

Розв’язання

Довжина $A C$ : точки $A (- 4; 1)$ і $C (0; 1)$ лежать на одній горизонтальній прямій ( $y = 1$ ), тому довжина $A C = ∣0 - (- 4) ∣ = 4$ .
Довжина $B C$ : $(0 - (- 2))^{2} + (1 - 4)^{2} = 2^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 9 = 13$ .
Довжина $A B$ : $(- 2 - (- 4))^{2} + (4 - 1)^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .
Оскільки $A B = B C = 13$ , трикутник рівнобедрений з основою $A C$ .
Висота до основи $A C$ — це відстань від точки $B (- 2; 4)$ до прямої $y = 1$ , тобто $h = ∣4 - 1∣ = 3$ .
Площа: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .

Відповідь:

Трикутник рівнобедрений, площа дорівнює $6$ .

Завдання 21.33

Перетин серединного перпендикуляра з віссю абсцис

Дано точки $A (5; - 3)$ та $B (4; 6)$ . Потрібно знайти координати точки перетину серединного перпендикуляра до відрізка $A B$ з віссю $O x$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини відрізка $A B$ : $x_{M} = \frac{5 + 4}{2} = 4, 5$ , $y_{M} = \frac{- 3 + 6}{2} = 1, 5$ . Середина $M (4, 5; 1, 5)$ .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $A B$ : $k_{A B} = \frac{6 - ( - 3 )}{4 - 5} = \frac{9}{- 1} = - 9$ . Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює $k_{⊥} = - \frac{1}{k _{A B}} = \frac{1}{9}$ .
Складемо рівняння серединного перпендикуляра: $y - 1, 5 = \frac{1}{9} (x - 4, 5)$ . Знайдемо точку перетину з віссю абсцис ( $y = 0$ ): $- 1, 5 = \frac{1}{9} (x - 4, 5) \Rightarrow - 13, 5 = x - 4, 5 \Rightarrow x = - 9$ .

Відповідь:

Точка перетину має координати $(- 9; 0)$ .

Завдання 21.34

Перетин серединного перпендикуляра з віссю ординат

Дано точки $C (2; 1)$ та $D (4; - 3)$ . Потрібно знайти координати точки перетину серединного перпендикуляра до відрізка $C D$ з віссю $O y$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини відрізка $C D$ : $x_{M} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ , $y_{M} = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ . Середина $M (3; - 1)$ .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $C D$ : $k_{C D} = \frac{- 3 - 1}{4 - 2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ . Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює $k_{⊥} = - \frac{1}{- 2} = 0, 5$ .
Складемо рівняння серединного перпендикуляра: $y - (- 1) = 0, 5 (x - 3) \Rightarrow y + 1 = 0, 5 x - 1, 5 \Rightarrow y = 0, 5 x - 2, 5$ . Знайдемо точку перетину з віссю ординат ( $x = 0$ ): $y = 0, 5 \cdot 0 - 2, 5 = - 2, 5$ .

Відповідь:

Точка перетину має координати $(0; - 2, 5)$ .

Завдання 21.35

Доведення квадрата за координатами вершин

Чотирикутник $A B C D$ з вершинами $A (- 12; 6)$ , $B (0; 11)$ , $C (5; - 1)$ та $D (- 7; - 6)$ . Потрібно довести, що це квадрат.

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін:
$A B = (0 - (- 12))^{2} + (11 - 6)^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ .
$B C = (5 - 0)^{2} + (- 1 - 11)^{2} = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
$C D = (- 7 - 5)^{2} + (- 6 - (- 1))^{2} = (- 12)^{2} + (- 5)^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ .
$D A = (- 12 - (- 7))^{2} + (6 - (- 6))^{2} = (- 5)^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
Оскільки всі сторони рівні ( $A B = B C = C D = D A = 13$ ), чотирикутник є ромбом.
Перевіримо діагоналі:
$A C = (5 - (- 12))^{2} + (- 1 - 6)^{2} = 1 7^{2} + (- 7)^{2} = 289 + 49 = 338$ .
$B D = (- 7 - 0)^{2} + (- 6 - 11)^{2} = (- 7)^{2} + (- 17)^{2} = 49 + 289 = 338$ .
Оскільки діагоналі рівні ( $A C = B D$ ), ромб є квадратом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є квадратом, оскільки всі його сторони рівні між собою і діагоналі також рівні.

Завдання 21.36

Координати кінця діаметра

Точка $M (5; - 2)$ — кінець діаметра, точка $N (2; 0)$ — центр кола. Знайти координати другого кінця діаметра.

Розв’язання

Запишемо формули для координат середини відрізка з кінцями $(5; - 2)$ і $(x; y)$ : $x_{N} = \frac{5 + x}{2}$ , $y_{N} = \frac{- 2 + y}{2}$ .
Підставимо відомі координати центру $N (2; 0)$ у формули: $2 = \frac{5 + x}{2}$ і $0 = \frac{- 2 + y}{2}$ .
Розв'яжемо рівняння першого степеня для $x$ : $4 = 5 + x \Rightarrow x = - 1$ .
Розв'яжемо рівняння другого степеня для $y$ : $0 = - 2 + y \Rightarrow y = 2$ .

Відповідь:

Координати другого кінця діаметра $(- 1; 2)$ .

Завдання 21.37

Колінеарність трьох точок

Точки $A (- 4; - 3)$ , $B (26; 7)$ і $C (2; - 1)$ . Потрібно перевірити, чи лежать вони на одній прямій, і визначити порядок їх розташування.

Розв’язання

Знайдемо кут нахилу прямої $A B$ : $k_{A B} = \frac{7 - ( - 3 )}{26 - ( - 4 )} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ .
Знайдемо кут нахилу прямої $B C$ : $k_{B C} = \frac{- 1 - 7}{2 - 26} = \frac{- 8}{- 24} = \frac{1}{3}$ .
Оскільки $k_{A B} = k_{B C}$ , точки лежать на одній прямій.
Порівняємо координати для визначення порядку: абсциса точки $C$ ( $x = 2$ ) менша за абсцису $B$ ( $x = 26$ ), але більша за абсцису $A$ ( $x = - 4$ ). Отже, точка $C$ лежить між точками $A$ і $B$ .

Відповідь:

Так, точки лежать на одній прямій. Точка $C$ лежить між точками $A$ і $B$ .

Завдання 21.38

Прямокутний трикутник та коло

Трикутник з вершинами $A (5; 1)$ , $B (9; - 2)$ і $C (7; 2)$ . Потрібно довести, що він прямокутний, і знайти рівняння описаного кола.

Розв’язання

Знайдемо квадрати довжин сторін: $A B^{2} = (9 - 5)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 4^{2} + (- 3)^{2} = 16 + 9 = 25$ .
Знайдемо квадрати довжин сторін: $B C^{2} = (7 - 9)^{2} + (2 - (- 2))^{2} = (- 2)^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ .
Знайдемо квадрати довжин сторін: $A C^{2} = (7 - 5)^{2} + (2 - 1)^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ .
Перевіряємо теорему Піфагора: $B C^{2} + A C^{2} = 20 + 5 = 25 = A B^{2}$ . Отже, трикутник прямокутний з прямим кутом при вершині $C$ , гіпотенуза — $A B$ .
Центр описаного кола — середина гіпотенузи $A B$ : $x_{0} = \frac{5 + 9}{2} = 7$ , $y_{0} = \frac{1 + ( - 2 )}{2} = - 0, 5$ . Центр $(7; - 0, 5)$ .
Радіус кола дорівнює половині гіпотенузи: $R = \frac{25}{2} = 2, 5$ .
Складаємо рівняння кола: $(x - 7)^{2} + (y + 0, 5)^{2} = 2, 5^{2}$ , тобто $(x - 7)^{2} + (y + 0, 5)^{2} = 6, 25$ .

Відповідь:

Трикутник прямокутний. Рівняння кола: $(x - 7)^{2} + (y + 0, 5)^{2} = 6, 25$ .

Завдання 21.39

Перевірка діаметра кола за рівнянням і точками

Дано коло з рівнянням $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 52$ . Точки $C (- 8; 7)$ та $D (4; - 1)$ . Потрібно перевірити, чи є відрізок $C D$ діаметром цього кола.

Розв’язання

Запишемо центр та радіус кола за рівнянням $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 52$ . Центр $O (- 2; 3)$ , радіус $R = 52 = 213$ .
Перевіримо належність точок колу:
Для точки $C (- 8; 7)$ : $(- 8 + 2)^{2} + (7 - 3)^{2} = (- 6)^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52$ . Точка $C$ на колі.
Для точки $D (4; - 1)$ : $(4 + 2)^{2} + (- 1 - 3)^{2} = 6^{2} + (- 4)^{2} = 36 + 16 = 52$ . Точка $D$ на колі.
Знайдемо координати середини відрізка $C D$ : $x_{M} = \frac{- 8 + 4}{2} = - 2$ , $y_{M} = \frac{7 + ( - 1 )}{2} = 3$ . Середина $M (- 2; 3)$ .
Порівнюємо координати середини відрізка $C D$ з координатами центру кола: $- 2 = - 2$ і $3 = 3$ . Збігаються.

Відповідь:

Так, відрізок $C D$ є діаметром кола.