ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 257

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 21.76–21.79 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 21.76

Подібні трикутники і площі

Пряма, паралельна основі трикутника (довжина якої $x$ ), ділить його на дві частини з відношенням площ $S_{1} : S_{2} = 1 : 3$ . Довжина основи трикутника дорівнює $6 см$ . Знайти $x$ .

Розв’язання

Нехай $S_{мал}$ — площа меншого трикутника, а $S_{велик}$ — площа більшої частини (трапеції). За умовою $\frac{S _{мал}}{S _{велик}} = \frac{1}{3}$ .
Тоді відношення площ малого трикутника до площі всього трикутника дорівнює: $\frac{S _{мал}}{S _{мал} + S _{велик}} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ .
Коефіцієнт подібності $k$ (відношення відповідних сторін) дорівнює квадратному кореню з відношення площ: $k = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо шуканий відрізок $x$ , використовуючи відношення до основи трикутника ( $6 см$ ): $x = 6 \cdot k = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ .

Відповідь:

$3 см$ .

Завдання 21.77

Площа трикутника в квадраті

Квадрат $A B C D$ , точка $M$ на стороні $B C$ така, що $B M : M C = 1 : 2$ . Діагональ $B D$ і відрізок $A M$ перетинаються в точці $P$ . Площа $△ A P D = 27 см^{2}$ . Знайти площу $△ B P M$ .

Розв’язання

Нехай сторона квадрата дорівнює $a$ . Тоді $A D = a$ , а $B M = \frac{1}{3} B C = \frac{1}{3} a$ .
Розглянемо трикутники $△ B P M$ і $△ D P A$ . Кут $∠ B P D$ спільний, а кути при основі рівні (оскільки $A D ∥ B C$ ), отже трикутники подібні. Коефіцієнт подібності $k = \frac{B M}{A D} = \frac{\frac{1}{3} a}{a} = \frac{1}{3}$ .
Площа $△ B P M$ дорівнює площі $△ A P D$ , помноженій на квадрат коефіцієнта подібності: $S_{△ B P M} = S_{△ A P D} \cdot k^{2} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^{2}$ .
Обчислимо: $27 \cdot \frac{1}{9} = 3$ .

Відповідь:

$3 см^{2}$ .

Завдання 21.78

Площа трапеції за властивістю подібності трикутників

Бічні сторони трапеції $A B C D$ продовжуються і перетинаються в точці $M$ . Відомо відношення сторін $A B : B M = 5 : 3$ , що $A D > B C$ , а площа трикутника $A M D$ дорівнює $32 см^{2}$ .

Розв’язання

Оскільки точки $A, B, M$ лежать на одній прямій, знайдемо довжину відрізка $M A$ . За умовою $A B : B M = 5 : 3$ , тоді $A M = A B + B M$ . Нехай $B M = 3 x$ , тоді $A B = 5 x$ і $A M = 8 x$ .
Коефіцієнт подібності трикутників $M B C$ та $M A D$ дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін: $k = \frac{M B}{M A} = \frac{3 x}{8 x} = \frac{3}{8}$ .
Площа трикутника $M B C$ знайдемо через площу подібного йому трикутника $M A D$ : $S_{M B C} = S_{M A D} \cdot k^{2} = 32 \cdot (\frac{3}{8})^{2} = 32 \cdot \frac{9}{64} = \frac{288}{64} = 4, 5 см^{2}$ .
Площа трапеції $A B C D$ дорівнює різниці площ трикутників $M A D$ і $M B C$ : $S_{A B C D} = S_{M A D} - S_{M B C} = 32 - 4, 5 = 27, 5 см^{2}$ .

Відповідь:

$27, 5 см^{2}$

Завдання 21.79

Площа трикутника, утвореного дотичною до вписаного кола

У рівнобедреному трикутнику $A B C$ ( $A B = B C = 13 см$ , $A C = 10 см$ ) проведено дотичну до вписаного кола, паралельну основі $A C$ . Ця дотична перетинає бічні сторони у точках $M$ і $K$ . Знайти площу трикутника $M B K$ .

Розв’язання

Нехай $O$ — центр вписаного кола, $r$ — його радіус. Розглянемо висоту $B H$ , опущену з вершини $B$ на основу $A C$ . Оскільки трикутник рівнобедрений, $A H = H C = 5 см$ . За теоремою Піфагора: $B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 см$ .
Площа трикутника $A B C$ дорівнює $\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 см^{2}$ . Периметр $P = 13 + 13 + 10 = 36 см$ . Радіус вписаного кола $r = \frac{S}{P /2} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} см$ .
Дотична $M K$ паралельна основі, тому вона дотикається до вписаного кола зверху (найвищої точці). Відстань від вершини $B$ до цієї дотичної дорівнює висоті трикутника мінус радіус вписаного кола: $h^{'} = B H - r = 12 - \frac{10}{3} = \frac{36 - 10}{3} = \frac{26}{3} см$ .
Коефіцієнт подібності трикутників $M B K$ і $A B C$ дорівнює відношенню висот: $k = \frac{h ^{'}}{B H} = \frac{26/3}{12} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ .
Площа трикутника $M B K$ дорівнює $S_{M B K} = k^{2} \cdot S_{A B C} = (\frac{13}{18})^{2} \cdot 60 = \frac{169}{324} \cdot 60 = \frac{169}{54} \cdot 10 = \frac{1690}{54} = \frac{845}{27} см^{2}$ .

Відповідь:

$\frac{845}{27} см^{2}$ (або приблизно $31, 3 см^{2}$ ).