ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 235

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 20.20–20.26 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 20.20

Площа трапеції через подібність

Продовження бічних сторін $A B$ і $C D$ трапеції $A B C D$ перетинаються в точці $E$ . Відомо, що $B C : A D = 3 : 5$ , а площа трикутника $A E D$ дорівнює $175 см^{2}$ .

Розв’язання

Оскільки $B C ∥ A D$ , трикутники $△ E B C$ і $△ E A D$ подібні. Коефіцієнт подібності $k = \frac{B C}{A D} = \frac{3}{5}$ .
Відношення площ цих трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S _{E B C}}{S _{A E D}} = k^{2} = (\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$ .
Знайдемо площу трикутника $E B C$ : $S_{E B C} = S_{A E D} \cdot \frac{9}{25} = 175 \cdot \frac{9}{25} = 7 \cdot 9 = 63 см^{2}$ .
Площа трапеції $A B C D$ дорівнює різниці площ великого і малого трикутника: $S_{трап} = S_{A E D} - S_{E B C} = 175 - 63 = 112 см^{2}$ .

Відповідь:

$112 см^{2}$

Завдання 20.21

Знаходження відрізка середньої лінії

Пряма, паралельна стороні $A C$ трикутника $A B C$ , перетинає сторону $A B$ у точці $D$ , сторону $B C$ — у точці $E$ . Ця пряма розбиває трикутник на два рівновеликих многокутники. Відомо, що $A C = 2 см$ .

Розв’язання

Оскільки многокутники рівновеликі, площа трикутника $D B E$ дорівнює половині площі трикутника $A B C$ : $\frac{S _{D B E}}{S _{A B C}} = \frac{1}{2}$ .
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $(\frac{D E}{A C})^{2} = \frac{1}{2}$ .
Знайдемо коефіцієнт подібності: $\frac{D E}{A C} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .
Обчислимо довжину відрізка $D E$ : $D E = A C \cdot \frac{2}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2 см$ .

Відповідь:

$2 см$

Завдання 20.22

Відношення площ при проведенні прямої через центроід

Через точку перетину медіан трикутника проведено пряму, яка паралельна одній із його сторін. Потрібно знайти відношення площ утвореного трикутника і чотирикутника.

Розв’язання

Точка перетину медіан ділить висоту трикутника у співвідношенні $2 : 3$ (від вершини до основи). Оскільки пряма паралельна основі, відповідний трикутник подібний до початкового з коефіцієнтом $k = \frac{2}{3}$ .
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S _{△}}{S _{заг}} = k^{2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ .
Площа чотирикутника дорівнює різниці між площею великого трикутника і площею малого: $S_{чот} = S_{заг} - S_{△} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ (у частках від загальної площі).
Відношення площ трикутника до чотирикутника: $\frac{S _{△}}{S _{чот}} = \frac{4/9}{5/9} = \frac{4}{5}$ .

Відповідь:

$4 : 5$

Завдання 20.23

Відношення площ трикутника і чотирикутника

У $△ A B C$ відомо, що $A B = 8 см$ , $A C = 12 см$ . $A M$ — бісектриса. Через точку $M$ проведено пряму, паралельну $A C$ , яка перетинає $A B$ у точці $K$ . Знайти відношення площі $△ K B M$ до площі чотирикутника $A K M C$ .

Розв’язання

Оскільки $K M ∥ A C$ , то $△ K B M \sim △ A B C$ . Коефіцієнт подібності $k = \frac{K B}{A B}$ .
Точка $M$ лежить на бісектрисі кута $C$ , тому за властивістю бісектриси $\frac{B M}{M C} = \frac{A B}{A C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
Оскільки пряма $K M$ паралельна $A C$ , то $△ K B M \sim △ A B C$ . Відношення відповідних сторін дорівнює відношенню ділянок на стороні $A B$ , але простіше скористатися тим, що $K$ лежить на $A B$ . За властивістю паралельного перетинання: $\frac{K B}{K A} = \frac{B M}{M C} = \frac{2}{3}$ .
Звідси $K B : A B = 2 : (2 + 3) = 2 : 5$ . Коефіцієнт подібності трикутників $k = \frac{2}{5}$ .
Відношення площ $△ K B M$ і $△ A B C$ дорівнює $k^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ . Нехай площа $△ A B C$ дорівнює $S$ , тоді площа $△ K B M = \frac{4}{25} S$ .
Площа чотирикутника $A K M C$ дорівнює різниці площ: $S - \frac{4}{25} S = \frac{21}{25} S$ .
Знайдемо шукане відношення: $\frac{Площа K B M}{Площа A K M C} = \frac{\frac{4}{25} S}{\frac{21}{25} S} = \frac{4}{21}$ .

Відповідь:

$\frac{4}{21}$

Завдання 20.24

Площа школи за планом

План школи зображено на клітинковому папері (Рис. 20.10). Масштаб $1 : 2000$ . Сторона клітинки — $0, 5 см$ . Потрібно знайти реальну площу школи.

Розв’язання

На малюнку видно, що фігура складається з $8$ повних рядів клітинок по висоті та має загальну ширину $9$ клітинок (відлічимо від лівого до правого краю). Фігура виглядає як великий прямокутник із вирізом у центрі.
Загальна ширина фігури: $9$ клітинок. Висота: $8$ клітинок.
Площа прямокутника, що обмежує фігуру: $9 \times 8 = 72$ клітинки.
Виріз у центрі має розміри $3$ клітинки (ширина) на $3$ клітинки (висота). Площа вирізу: $3 \times 3 = 9$ клітинок.
Кількість клітинок, що входять у школу: $72 - 9 = 63$ клітинки.
Масштаб $1 : 2000$ . Реальна довжина сторони клітинки: $0, 5 см \times 2000 = 1000 см = 10 м$ .
Площа однієї клітинки на місцевості: $10 м \times 10 м = 100 м^{2}$ .
Загальна площа школи: $63 \times 100 м^{2} = 6300 м^{2}$ .

Відповідь:

$6300 м^{2}$

Завдання 20.25

Масштаб карти

Відстань між двома містами на місцевості — $150 км$ , а на карті — $3 см$ . Знайти масштаб карти.

Розв’язання

Переведемо $150 км$ у сантиметри: $150 км = 150000 м = 15000000 см$ .
Знайдемо масштаб: $\frac{довжина на карті}{відстань на місцевості} = \frac{3}{15 000 000}$ .
Скоротимо дріб на $3$ : $\frac{1}{5 000 000}$ .
Масштаб записується як $1 : 5000000$ .

Відповідь:

$1 : 5000000$

Завдання 20.26

Масштаб, площа та насіння

На плані земельної ділянки (масштаб $1 : 500$ ) зображено прямокутник зі сторонами $4 см$ і $6 см$ . Потрібно знайти масу насіння трави ( $9 г$ на $1 м^{2}$ ), необхідну для засіву цієї ділянки.

Розв’язання

Знайдемо справжні довжини сторін прямокутника: $4 см \cdot 500 = 2000 см$ , що дорівнює $20 м$ ; $6 см \cdot 500 = 3000 см$ , що дорівнює $30 м$ .
Обчислимо площу ділянки: $S = 20 м \cdot 30 м = 600 м^{2}$ .
Знайдемо масу насіння: $600 м^{2} \cdot 9 г / м^{2} = 5400 г$ . Переведемо в кілограми: $5400 г = 5, 4 кг$ .

Відповідь:

$5, 4 кг$