ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 234

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 20.9–20.19 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 20.9

Площа подібних многокутників

Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як $2 : 7$ . Площа першого з них дорівнює $12 см^{2}$ . Знайдіть площу другого многокутника.

Розв’язання

Коефіцієнт подібності $k = \frac{2}{7}$ . Відношення площ дорівнює $(\frac{2}{7})^{2} = \frac{4}{49}$ .
Нехай $S_{1} = 12 см^{2}$ і $S_{2}$ — шукана площа другого многокутника. Записуємо пропорцію: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{4}{49}$ .
Підставляємо значення $S_{1}$ : $\frac{12}{S _{2}} = \frac{4}{49}$ . Знаходимо $S_{2} = 12 \cdot \frac{49}{4} = 3 \cdot 49 = 147$ .

Відповідь:

$147 см^{2}$ .

Завдання 20.10

Сторона подібних трикутників за площами

Площі двох подібних трикутників дорівнюють $28 см^{2}$ і $63 см^{2}$ . Одна зі сторін першого трикутника дорівнює $8 см$ . Знайдіть сторону другого трикутника, яка відповідає даній стороні першого.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ . Відношення площ $\frac{28}{63} = \frac{4}{9}$ . Тоді $k = \frac{4}{9} = \frac{2}{3}$ . Це означає, що сторони другого трикутника у $\frac{3}{2}$ рази більші за відповідні сторони першого (оскільки площа більша).
Відношення сторін $a : b = 2 : 3$ , де $a = 8 см$ . Знайдемо $b$ : $\frac{8}{b} = \frac{2}{3}$ .
Розв'язуємо рівняння: $2 b = 8 \cdot 3 \Rightarrow 2 b = 24 \Rightarrow b = 12$ .

Відповідь:

$12 см$ .

Завдання 20.11

Площа трикутника за сторонами

Відповідні сторони двох подібних трикутників дорівнюють $30 см$ і $24 см$ . Площа трикутника зі стороною $30 см$ дорівнює $45 см^{2}$ . Знайдіть площу другого трикутника.

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт подібності за сторонами: $\frac{30}{24} = \frac{5}{4}$ .
Відношення площ дорівнює квадрату цього коефіцієнта: $(\frac{5}{4})^{2} = \frac{25}{16}$ .
Записуємо пропорцію для площ: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{25}{16}$ . Підставляємо $S_{1} = 45$ : $\frac{45}{S _{2}} = \frac{25}{16}$ .
Знаходимо $S_{2}$ : $S_{2} = 45 \cdot \frac{16}{25} = \frac{9}{5} \cdot 16 = \frac{144}{5} = 28, 8$ .

Відповідь:

$28, 8 см^{2}$ .

Завдання 20.12

Площа трикутника при відтинанні середньою лінією

Площа трикутника дорівнює $S$ . Знайти площу меншого трикутника, утвореного середньою лінією.

Розв’язання

Оскільки середня лінія з'єднує середини двох сторін, вона дорівнює половині третьої сторони (основи). Отже, коефіцієнт подібності $k = \frac{1}{2}$ .
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S _{мал}}{S} = k^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .
Площа меншого трикутника $S_{мал} = S \cdot \frac{1}{4} = \frac{S}{4}$ .

Відповідь:

$\frac{S}{4}$

Завдання 20.13

Площа трикутника середин середніх ліній

Площа початкового трикутника дорівнює $S$ . Знайти площу трикутника, вершинами якого є перетини середніх ліній (точок подвійного перетину).

Розв’язання

Трикутник, утворений точками перетину медіан (або серединними трисекторами), є образом початкового при зменшенні в 2 рази ( $k = \frac{1}{2}$ ).
Площа подібних фігур відноситься як квадрат коефіцієнта подібності: $\frac{S _{нов}}{S} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .
Отже, площа нового трикутника $S_{нов} = \frac{S}{4}$ .

Відповідь:

$\frac{S}{4}$

Завдання 20.14

Сторони та периметр подібного п'ятикутника

Сторони п'ятикутника відносяться як $3 : 4 : 5 : 6 : 7$ .
1) Найменша сторона подібного п'ятикутника дорівнює $9$ см. Знайти найбільшу сторону.
2) Сума найбільшої та найменшої сторін подібного п'ятикутника дорівнює $20$ см. Знайти периметр.

Розв’язання

Випадок 1: Коефіцієнт подібності $k = \frac{9}{3} = 3$ . Найбільша сторона дорівнює $7 \cdot k = 7 \cdot 3 = 21$ см.
Випадок 2: Нехай коефіцієнт подібності $k$ . Тоді сума найбільшої та найменшої сторін: $(3 + 7) \cdot k = 20$ , звідки $10 k = 20$ , отже $k = 2$ .
Знайдемо всі сторони подібного п'ятикутника, помноживши числа пропорції на $k = 2$ : $3 \cdot 2 = 6$ , $4 \cdot 2 = 8$ , $5 \cdot 2 = 10$ , $6 \cdot 2 = 12$ , $7 \cdot 2 = 14$ .
Периметр дорівнює сумі цих сторін: $6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50$ см.

Відповідь:

1) $21$ см; 2) $50$ см

Завдання 20.15

Сторони чотирикутника за відношенням

Сторони чотирикутника відносяться як $2 : 3 : 4 : 5$ . Знайдіть сторони подібного йому чотирикутника, якщо:
1) найбільша його сторона на $12 см$ більша за його найменшу сторону;
2) його периметр дорівнює $42 см$ .

Розв’язання

Позначимо довжини сторін подібного чотирикутника як $2 x$ , $3 x$ , $4 x$ та $5 x$ , де $x$ — коефіцієнт пропорційності. Найменша сторона $2 x$ , найбільша $5 x$ .
Для пункту 1: складемо рівняння $5 x - 2 x = 12$ , звідки $3 x = 12$ , отже $x = 4$ . Сторони дорівнюють $8 см$ , $12 см$ , $16 см$ та $20 см$ .
Для пункту 2: складемо рівняння для периметру $2 x + 3 x + 4 x + 5 x = 42$ , звідки $14 x = 42$ , отже $x = 3$ . Сторони дорівнюють $6 см$ , $9 см$ , $12 см$ та $15 см$ .

Відповідь:

1) $8 см, 12 см, 16 см, 20 см$ ; 2) $6 см, 9 см, 12 см, 15 см$ .

Завдання 20.16

Площі подібних многокутників за відношенням сторін

Площа одного з двох подібних многокутників на $64 см^{2}$ менша від площі другого. Відповідні сторони відносяться як $3 : 5$ . Знайдіть площу кожного з многокутників.

Розв’язання

Нехай площа меншого многокутника дорівнює $9 y$ , а більшого — $25 y$ . Різниця між ними становить $25 y - 9 y = 16 y$ .
За умовою різниця площ дорівнює $64 см^{2}$ , отже $16 y = 64$ , звідки $y = 4$ .
Знаходимо площі: менший $S_{1} = 9 \cdot 4 = 36 см^{2}$ , більший $S_{2} = 25 \cdot 4 = 100 см^{2}$ .

Відповідь:

Площі дорівнюють $36 см^{2}$ та $100 см^{2}$ .

Завдання 20.17

Площі подібних многокутників за відношення периметрів

Периметри двох подібних многокутників відносяться як $2 : 7$ . Сума їхніх площ дорівнює $212 см^{2}$ . Знайдіть площу кожного з многокутників.

Розв’язання

Відношення площ дорівнює $\frac{4}{49}$ . Нехай площа першого многокутника $S_{1} = 4 x$ , а другого $S_{2} = 49 x$ .
Сума площ: $4 x + 49 x = 53 x = 212 см^{2}$ . Знаходимо $x$ : $x = \frac{212}{53} = 4$ .
Обчислюємо площі: $S_{1} = 4 \cdot 4 = 16 см^{2}$ , $S_{2} = 49 \cdot 4 = 196 см^{2}$ .

Відповідь:

Площі дорівнюють $16 см^{2}$ та $196 см^{2}$ .

Завдання 20.18

Площа трикутника за площею трапеції

Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію, площа якої дорівнює $21 см^{2}$ . Знайдіть площу даного трикутника.

Розв’язання

Оскільки середня лінія з'єднує середини сторін, відповідні сторони малого трикутника і великого дорівнюють $\frac{1}{2}$ від сторін великого трикутника. Отже, коефіцієнт подібності $k = \frac{1}{2}$ .
Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S _{малого}}{S _{великого}} = k^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Це означає, що площа малого трикутника становить $\frac{1}{4}$ від площі великого.
Площа трапеції дорівнює різниці між площею великого та малого трикутників: $S_{трапеції} = S_{великого} - \frac{1}{4} S_{великого} = \frac{3}{4} S_{великого}$ .
Підставимо відому площу трапеції: $\frac{3}{4} S_{великого} = 21 см^{2}$ . Знайдемо $S_{великого}$ : $S_{великого} = 21 \cdot \frac{4}{3} = 28 см^{2}$ .

Відповідь:

$28 см^{2}$

Завдання 20.19

Площа трикутника за умовою про паралельність та площі частин

Пряма, паралельна стороні $A C$ трикутника $A B C$ , перетинає його сторону $A B$ у точці $M$ , а сторону $B C$ — у точці $K$ . Відомо: $B M = 4 см$ , $A C = 8 см$ , $A M = M K$ , площа трикутника $M B K$ дорівнює $5 см^{2}$ . Знайдіть площу трикутника $A B C$ .

Розв’язання

Оскільки $M K ∥ A C$ , трикутники $M B K$ і $A B C$ подібні ( $△ M B K \sim △ A B C$ ). Коефіцієнт подібності $k = \frac{B M}{A B}$ .
Нам відомо, що $A M = M K$ . У трикутнику $M B K$ ми не знаємо довжини $M K$ , але в умові сказано про співвідношення сторін. Перевіримо умову: "AM = MK". Це означає, що $△ A M K$ рівнобедрений? Ні, це просто дані. Але в умові є $B M = 4$ . Якщо ми не знаємо $M K$ , то не можемо знайти $A B$ .
Переглянемо умову уважніше: "AM = MK". Це означає, що в трикутнику $M B K$ немає прямої залежності між $A M$ і $M K$ , оскільки $A$ не є вершиною $△ M B K$ . Можливо, мається на увазі, що $M$ — середина $A B$ ? Ні, сказано $B M = 4$ .
Альтернативне тлумачення: Можливо, в умові помилка у моєму розумінні. Давайте припустимо, що $M K ∥ A C$ , тоді $△ M B K \sim △ A B C$ . Тоді $\frac{M B}{A B} = \frac{M K}{A C} = \frac{B K}{B C}$ .
Нам відомо $B M = 4$ , $A C = 8$ , $S_{M B K} = 5$ . Нам треба знайти $S_{A B C}$ .
Відношення площ: $\frac{S _{M B K}}{S _{A B C}} = (\frac{B M}{A B})^{2}$ .
Щоб знайти відношення, потрібно знати $A B$ . Але ми не знаємо $A M$ чи $M K$ .
Перевірка умови: "AM = MK". Це означає, що $A M$ (відрізок на стороні $A B$ ) дорівнює $M K$ (відрізок на стороні $B C$ ? Ні, $K$ лежить на $B C$ , тому $M K$ — це відрізок, що з'єднує точки).
Якщо $A M = M K$ , то ми не можемо безпосередньо знайти $A B$ . Можливо, мається на увазі, що $△ A M K$ рівнобедрений? Це не допомагає.
Інша можливість: Можливо, в умові $B M = 4$ і $A M = M K$ — це просто дані, але нам невідомо $M K$ . Але є умова паралельності.
Давайте припустимо, що в умові мається на увазі, що $M$ — точка на $A B$ , а $K$ — точка на $B C$ . Якщо $A M = M K$ , це не дає відношення сторін трикутника $M B K$ і $A B C$ , оскільки $M K$ не є стороною $△ A B C$ .
Однак, якщо ми розглянемо подібність, то $\frac{B M}{A B} = \frac{M K}{A C}$ . Тоді $M K = A C \cdot \frac{B M}{A B} = 8 \cdot \frac{4}{A B} = \frac{32}{A B}$ .
З умови $A M = M K$ , тоді $A M = \frac{32}{A B}$ .
Оскільки $A B = A M + B M = A M + 4$ , підставимо: $A M = \frac{32}{A M + 4}$ .
Розв'яжемо рівняння: $A M (A M + 4) = 32 \Rightarrow A M^{2} + 4 A M - 32 = 0$ .
Дискримінант $D = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 32) = 16 + 128 = 144$ . $D = 12$ .
$A M = \frac{- 4 \pm 12}{2}$ . Оскільки довжина додатна, $A M = \frac{8}{2} = 4 см$ .
Тоді $A B = A M + B M = 4 + 4 = 8 см$ .
Тепер знайдемо коефіцієнт подібності: $k = \frac{B M}{A B} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
Відношення площ дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $\frac{S _{M B K}}{S _{A B C}} = k^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .
Знайдемо площу трикутника $A B C$ : $S_{A B C} = S_{M B K} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20 см^{2}$ .

Відповідь:

$20 см^{2}$