ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 233

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 20.2–20.8 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 20.2

Побудова подібного чотирикутника

За клітинками накреслити прямокутний чотирикутник $A B C D$ (ширина 1 клітина, висота 2 клітини). Побудувати зображення цього чотирикутника $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , яке є подібним до першого з коефіцієнтом подібності $k = 3$ .

Розв’язання

Визначаємо розміри прямокутника $A B C D$ : ширина дорівнює 1 клітинці, висота — 2 клітинки.
Обчислюємо розміри зображення: нова ширина $1 \cdot 3 = 3$ клітинки, нова висота $2 \cdot 3 = 6$ клітин.
На сітці відкладаємо відрізок довжиною 3 клітинки і будуємо прямокутник висотою 6 клітинок.

Відповідь:

Побудовано прямокутник $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ розмірами $3 \times 6$ клітинки.

Завдання 20.3

Знаходження образу при подібності за двома точками

На рисунку 20.8 зображено прямокутник $A B C D$ та точки $A_{1}$ і $D_{1}$ , які є образами відповідно точок $A$ і $D$ при перетворенні подібності. Потрібно побудувати образ прямокутника $A B C D$ .

Розв’язання

Вимірюємо довжину сторони $A D$ (він займає 2 клітинки) та діагональ $A_{1} D_{1}$ (вона займає $3^{2} + 4^{2} = 5$ клітинок, якщо розглядати координатну сітку, або просто відношення візуально: $A D = 2$ , $A_{1} D_{1} = 5$ ).
Знаходимо коефіцієнт подібності $k = \frac{A _{1} D _{1}}{A D} = \frac{5}{2} = 2, 5$ .
Будуємо новий прямокутник, довжина якого в 2,5 рази більша за довжину $A B$ , а ширина — у 2,5 рази більша за ширину $A D$ .

Відповідь:

Побудовано образ прямокутника. Задача має нескінченно багато розв'язків, оскільки точок $A_{1}$ і $D_{1}$ можна обрано на будь-якій відстані від початкового прямокутника (тобто змінюючи масштаб), але при фіксованих точках на малюнку розв'язок єдиний.

Завдання 20.4

Побудова образу за двома протилежними вершинами

На рисунку 20.9 зображено прямокутник $A B C D$ та точки $A_{1}$ і $C_{1}$ , які є образами відповідно точок $A$ і $C$ (діагоналей) при перетворенні подібності. Потрібно побудувати образ прямокутника $A B C D$ .

Розв’язання

Вимірюємо діагональ $A C$ : вона проходить через 4 клітинки по діагоналі (або за теоремою Піфагора $3^{2} + 4^{2} = 5$ ).
Вимірюємо відстань між точками $A_{1}$ і $C_{1}$ : це відрізок довжиною 4 клітинки по горизонталі (або просто відношення координат). На малюнку видно, що $A C = 5$ одиниць, а $A_{1} C_{1} = 2, 5$ одиниці (або навпаки, залежно від масштабу сітки на рисунку).
Будуємо прямокутник, діагональ якого дорівнює $A_{1} C_{1}$ , зберігаючи пропорції сторін початкового прямокутника ( $3 : 4$ ).

Відповідь:

Побудовано образ прямокутника. Задача має нескінченно багато розв'язків, оскільки відстань між $A_{1}$ і $C_{1}$ може бути будь-якою (залежно від масштабу перетворення), але при фіксованих точках на малюнку розв'язок єдиний.

Завдання 20.5

Перевірка тверджень про подібність фігур

Оцінити правильність чотирьох тверджень: 1) будь-яких два кола подібні; 2) будь-яких два ромби подібні; 3) будь-які дві рівнобічні трапеції подібні; 4) будь-яких два правильних n-кутників подібні.

Розв’язання

Коло 1 і коло 2 подібні, якщо відношення їхніх радіусів $R_{1} / R_{2}$ є деяким числом $k$ . Оскільки для будь-яких двох кіл можна знайти таке відношення, а кути (якщо розглядати як замкнуті лінії) збігаються, твердження 1 — правильне.
Ромби мають рівні сторони, але кут між ними може бути різним. Якщо кути не рівні, ромби не подібні. Отже, твердження 2 — неправильне (ромби подібні лише якщо вони є квадратами або мають однакові гострі кути).
Рівнобічні трапеції мають попарно рівні бічні сторони та основи, але кут при основі може відрізнятися. Тому твердження 3 — неправильне (рівнобічні трапеції подібні лише якщо їхні кути збігаються).
Правильний n-кутник має всі кути рівними і всі сторони рівними. Оскільки кількість вершин $n$ однакова, то й кути та сторони будуть відповідати. Твердження 4 — правильне.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні (лише якщо ромби є квадратами або мають однакові гострі кути); 3) Ні (лише якщо трапеції мають однакові кути); 4) Так.

Завдання 20.6

Відношення площ при коефіцієнті подібності 7

Коефіцієнт подібності двох многокутників $k = 7$ . Знайти відношення їхніх площ.

Розв’язання

Запишемо формулу зв'язку між коефіцієнтом подібності $k$ і відношенням площ: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ .
Підставимо значення коефіцієнта $k = 7$ у формулу: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = 7^{2}$ .
Обчислимо квадрат числа 7: $7 \cdot 7 = 49$ .

Відповідь:

Відношення площ дорівнює 49.

Завдання 20.7

Знаходження коефіцієнта подібності за відношенням площ

Відношення площ двох подібних многокутників дорівнює $0, 25$ . Знайти коефіцієнт подібності $k$ .

Розв’язання

Запишемо зв'язок між відношенням площ і коефіцієнтом подібності: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = k^{2}$ .
Підставимо відоме значення відношення площ: $k^{2} = 0, 25$ .
Знайдемо $k$ , взявши квадратний корінь з обох частин рівності: $k = 0, 25$ .
Обчислимо корінь: $0, 25 = 0, 5$ .

Відповідь:

Коефіцієнт подібності дорівнює $0, 5$ .

Завдання 20.8

Знаходження відповідної сторони за відношенням площ

Площі двох подібних многокутників відносяться як $25 : 36$ . Одна зі сторін першого многокутника дорівнює $20 см$ . Знайти довжину відповідної їй сторони другого многокутника.

Розв’язання

Запишемо відношення площ: $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{36}{25}$ .
Знайдемо коефіцієнт подібності $k$ (відношення відповідних сторін): $k = \frac{36}{25} = \frac{6}{5}$ . Це означає, що сторона другого многокутника більша на $\frac{6}{5}$ відповідної сторони першого.
Знайдемо шукану сторону $x$ : $x = 20 см \cdot \frac{6}{5} = 24 см$ .

Відповідь:

$24 см$