ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 228

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.32–19.37 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.32

Знаходження сторін трикутника за кутами та висотою

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Висота $C H$ , проведена з вершини $C$ до сторони $A B$ , дорівнює $4 см$ .

Розв’язання

Розглянемо прямокутний трикутник $A C H$ . Знайдемо катет $A H$ : $tan 3 0^{\circ} = \frac{C H}{A H} \Rightarrow A H = \frac{4}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{4}{\frac{3}{3}} = 43 см$ .
Знайдемо гіпотенузу $A C$ : $sin 3 0^{\circ} = \frac{C H}{A C} \Rightarrow A C = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{4}{0 , 5} = 8 см$ .
Розглянемо прямокутний трикутник $B C H$ . Знайдемо катет $B H$ : $tan 4 5^{\circ} = \frac{C H}{B H} \Rightarrow B H = \frac{4}{tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{4}{1} = 4 см$ .
Знайдемо гіпотенузу $B C$ : $sin 4 5^{\circ} = \frac{C H}{B C} \Rightarrow B C = \frac{4}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{4}{\frac{2}{2}} = 42 см$ .

Відповідь:

Сторони трикутника $A B C$ : $A C = 8 см$ , $B C = 42 см$ , $A B = A H + B H = (43 + 4) см$ .

Завдання 19.34

Трапеція та подібні трикутники

Продовження бічних сторін $A B$ і $C D$ трапеції $A B C D$ перетинаються в точці $M$ . Менша основа $B C = 32 см$ , відрізок $M C = 16 см$ , бічна сторона $C D = 8 см$ . Знайти більшу основу $A D$ .

Розв’язання

Обчислимо довжину відрізка $M D$ : оскільки $M C = 16 см$ і $C D = 8 см$ , то $M D = M C + C D = 16 + 8 = 24 см$ .
Знайдемо коефіцієнт подібності трикутників $△ M B C$ і $△ M A D$ : відношення відповідних сторін дорівнює $\frac{M C}{M D} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ .
За властивістю подібних трикутників відношення основ дорівнює коефіцієнту подібності: $\frac{B C}{A D} = \frac{2}{3}$ . Підставимо $B C = 32 см$ і знайдемо $A D$ : $A D = 32 \cdot \frac{3}{2} = 48 см$ .

Відповідь:

Більша основа трапеції дорівнює $48 см$ .

Завдання 19.35

Знаходження відрізків діагоналей трапеції

Діагоналі трапеції $A B C D$ ( $B C ∥ A D$ ) перетинаються в точці $O$ . Відомо: $A O = 21 см$ , $O C = 9 см$ , $B D = 50 см$ . Потрібно знайти відрізки $B O$ і $O D$ .

Розв’язання

За властивістю перетину діагоналей трапеції маємо пропорцію: $\frac{B O}{O D} = \frac{O C}{O A}$ .
Підставимо відомі значення: $\frac{B O}{O D} = \frac{9}{21}$ . Спростимо дріб, поділивши на 3: $\frac{B O}{O D} = \frac{3}{7}$ .
Нехай $B O = 3 x$ , тоді $O D = 7 x$ . За умовою сума відрізків $B D = B O + O D = 50 см$ .
Складемо рівняння: $3 x + 7 x = 50 \Rightarrow 10 x = 50 \Rightarrow x = 5$ .
Знайдемо довжини відрізків: $B O = 3 \cdot 5 = 15 см$ , $O D = 7 \cdot 5 = 35 см$ .

Відповідь:

$B O = 15 см$ , $O D = 35 см$ .

Завдання 19.36

Знаходження сторін подібних трикутників

У трикутниках $A B C$ і $D E F$ відомо: $∠ A = ∠ D$ , а сторони $A B$ і $A C$ становлять відповідно $0, 8$ від сторін $D E$ і $D F$ . Різниця між сторонами $B C$ і $E F$ дорівнює $12 см$ . Потрібно знайти довжини $B C$ і $E F$ .

Розв’язання

Оскільки трикутники подібні, відношення відповідних сторін дорівнює коефіцієнту подібності $k = 0, 8$ . Тобто $\frac{B C}{E F} = 0, 8$ , звідки $B C = 0, 8 \cdot E F$ .
Позначимо $E F = x$ . Тоді $B C = 0, 8 x$ .
За умовою різниця сторін дорівнює $12 см$ : $E F - B C = 12$ . (Оскільки коефіцієнт менший за 1, трикутник $D E F$ більший).
Підставимо вирази через $x$ : $x - 0, 8 x = 12 \Rightarrow 0, 2 x = 12$ .
Знайдемо $x$ : $x = \frac{12}{0 , 2} = 60 см$ . Це довжина $E F$ .
Знайдемо $B C$ : $B C = 0, 8 \cdot 60 = 48 см$ .

Відповідь:

$B C = 48 см$ , $E F = 60 см$ .

Завдання 19.37

Побудова точок для рівнобедрених трикутників

Потрібно позначити на площині 6 точок так, щоб будь-які три з них утворювали вершини рівнобедреного трикутника.

Розв’язання

Розмістимо 6 точок на одній прямій: $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ .
Нехай відстань між будь-якими двома сусідніми точками дорівнює $d$ (наприклад, $A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = d$ ).
Розглянемо три послідовні точки, наприклад $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ . Сторони трикутника: $A_{1} A_{2} = d$ , $A_{2} A_{3} = d$ , $A_{1} A_{3} = 2 d$ . Оскільки дві сторони рівні ( $d = d$ ), це рівнобедрений трикутник.
Будь-яка інша комбінація з трьох точок, що містить хоча б дві сусідні пари (наприклад $A_{1}, A_{2}, A_{4}$ ), також утворить рівнобедрений трикутник ( $A_{1} A_{2} = d$ , $A_{2} A_{3} = d$ , $A_{3} A_{4} = d$ , тощо).

Відповідь:

6 точок розташовують на одній прямі так, щоб відстань між будь-якими двома сусідніми з них була однаковою. У такому разі будь-які три точки утворять рівнобедрений трикутник (основне — відрізок між крайніми точками, бокові — суміжні відрізки).