ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 227

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.25–19.30 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.25

Координати симетричних точок

Точки $A (x; - 2)$ і $B (1; y)$ симетричні відносно: 1) початку координат; 2) точки $M (- 1; 3)$ . Знайдіть $x$ і $y$ .

Розв’язання

Для пункту 1 (центр симетрії — початок координат $O (0; 0)$ ):
$x = 2 \cdot 0 - 1 = - 1$ .
$- 2 = 2 \cdot 0 - y \Rightarrow y = 2$ .
Отже, $A (- 1; 2)$ .
Для пункту 2 (центр симетрії — точка $M (- 1; 3)$ ):
$x = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$ .
$- 2 = 2 \cdot 3 - y \Rightarrow y = 8$ .
Отже, $A (- 3; 8)$ .

Відповідь:

1) $x = - 1, y = 2$ ; 2) $x = - 3, y = 8$ .

Завдання 19.26

Поворот рівностороннього трикутника

Вершина $A$ рівностороннього трикутника $A B C$ є центром повороту на кут $12 0^{\circ}$ . Знайдіть відрізок $B C_{1}$ , де $C_{1}$ — образ точки $C$ , якщо $A B = 1 см$ . Обговоріть кількість розв'язків.

Розв’язання

Оскільки $A B C$ рівносторонній і $A B = 1 см$ , то $A C = 1 см$ .
При повороті навколо $A$ точка $C$ переходить у точку $C_{1}$ , причому $A C_{1} = A C = 1 см$ і $∠ C A C_{1} = 12 0^{\circ}$ .
У трикутнику $A B C_{1}$ знаємо дві сторони ( $A B = 1, A C_{1} = 1$ ) і кут між ними ( $∠ B A C_{1} = 12 0^{\circ}$ ). Знайдемо сторону $B C_{1}$ за теоремою косинусів:
$B C_{1}^{2} = A B^{2} + A C_{1}^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C_{1} \cdot cos (12 0^{\circ})$ .
$B C_{1}^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (- 0, 5) = 1 + 1 + 1 = 3$ .
$B C_{1} = 3 см$ .
Щодо двох розв'язків: поворот можна виконати проти або за годинниковою стрілкою, тому точка $C_{1}$ може знаходитися зліва або справа від відрізка $A B$ , що дає два різні положення точки $C_{1}$ .

Відповідь:

$B C_{1} = 3 см$ . Два розв'язки виникають через дві можливі напрямки повороту (за та проти годинникової стрілки). Щоб мати єдиний розв'язок, треба вказати напрямок повороту.

Завдання 19.27

Поворот квадрата навколо вершини

Вершина $A$ квадрата $A B C D$ є центром повороту проти годинникової стрілки на кут $9 0^{\circ}$ . Знайдіть відрізок $C C_{1}$ , де $C_{1}$ — образ точки $C$ , якщо $A B = 1 см$ .

Розв’язання

У квадраті $A B C D$ зі стороною $1 см$ знайдемо діагональ $A C$ :
$A C = A B \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 см$ .
При повороті навколо $A$ точка $C$ переходить у точку $C_{1}$ , причому $A C_{1} = A C = 2 см$ і $∠ C A C_{1} = 9 0^{\circ}$ .
Трикутник $A C C_{1}$ — рівнобедрений прямокутний ( $∠ C A C_{1} = 9 0^{\circ}$ , катети $A C = A C_{1}$ ).
Знайдемо гіпотенузу $C C_{1}$ :
$C C_{1}^{2} = A C^{2} + A C_{1}^{2} = (2)^{2} + (2)^{2} = 2 + 2 = 4$ .
$C C_{1} = 4 = 2 см$ .

Відповідь:

$C C_{1} = 2 см$ .

Завдання 19.28

Побудова паралелограма за кутом

Точки $A$ і $C$ знаходяться всередині гострого кута, але не на його сторонах. Потрібно побудувати паралелограм $A B C D$ , де вершина $B$ лежить на одній стороні кута, а вершина $D$ — на іншій.

Розв’язання

Проведіть пряму через точки $A$ і $C$ . Знайдіть її середину — це точка $O$ , яка буде центром симетрії майбутнього паралелограма.
Відобразіть точку $A$ відносно точки $O$ (або поверніть відрізок $O A$ навколо $O$ на 180°). Отримана точка лежить на одній із сторін кута — це вершина $B$ . Перевірте, чи вона дійсно на стороні.
Відобразіть точку $C$ відносно точки $O$ . Отримана точка лежить на іншій стороні кута — це вершина $D$ .
З'єднайте точки $A, B, C, D$ . Оскільки $O$ є серединою діагоналей $A C$ і $B D$ , чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

Відповідь:

Паралелограм побудовано так, що його вершини $B$ і $D$ лежать на сторонах кута.

Завдання 19.29

Побудова рівнобедреного прямокутного трикутника

Точка $M$ знаходиться всередині кута $A B C$ . Потрібно побудувати рівнобедрений прямокутний трикутник, де вершина прямого кута — точка $M$ , а дві інші вершини лежать на сторонах кута.

Розв’язання

Проведіть бісектрису кута $A B C$ (прямий, що ділить його навпіл). Нехай вона перетинає сторони кута в точках $X$ і $Y$ .
Побудуйте коло з центром у точці $M$ радіусом, таким щоб воно перетинало сторони кута. Але це не завжди дасть рівнобедрений трикутник.
Правильний підхід: візьміть довільну точку на одній стороні кута (наприклад, $P$ ). Побудуйте образ точки $P$ при повороті навколо $M$ проти годинникової стрілки на 90°. Позначте його $Q$ .
Перевірте, чи лежать $P$ і $Q$ на сторонах кута. Якщо ні, змініть положення $P$ так, щоб $Q$ потрапив на іншу сторону. Це можна зробити методом проб і помилок або побудовою кола.

Відповідь:

Трикутник побудовано за допомогою повороту точки однієї сторони кута навколо вершини прямого кута $M$ на 90°.

Завдання 19.30

Властивість повороту рівносторонніх трикутників

На стороні $B C$ рівностороннього трикутника $A B C$ взято точку $D$ . Поза трикутником взято точку $E$ так, що $△ D E C$ — рівносторонній. $M$ і $K$ — середини відрізків $B E$ і $A D$ відповідно.

Розв’язання

Розглянемо поворот навколо точки $C$ проти годинникової стрілки на кут $6 0^{\circ}$ . Оскільки $△ A B C$ рівносторонній, точка $B$ перейде в точку $A$ .
Оскільки $△ D E C$ теж рівносторонній, точка $D$ перейде в точку $E$ . Точка $C$ залишається на місці.
Отже, відрізок $A D$ переходить у відрізок $A E$ . Середина $K$ відрізка $A D$ перейде в середину $M$ відрізка $A E$ .
При цьому сам поворот переводить трикутник $C K D$ у трикутник $C M E$ , тому $△ C K D ≅ △ C M E$ . Це означає, що $C D = C E$ (що відомо), а також $K D = M E$ .
Оскільки $K$ і $M$ — середини відповідних відрізків, то $K M$ є серединою образу відрізка $A D$ , отже $C M$ дорівнює половині $A E$ (або скористаємося властивістю повороту прямої).
Простішим шляхом: розглянемо трикутник $K M C$ . Оскільки $C$ — центр повороту, що переводить $D$ у $E$ , а $A$ у $B$ , то відрізок $A D$ переходить у відрізок $B E$ . Середина $K$ ( $A D$ ) переходить у середину $M$ ( $B E$ ). Тому трикутник $C K D$ переходить у трикутник $C M E$ . Це означає, що $C K = C M$ , а кут $∠ K C M$ дорівнює куту повороту $6 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Трикутник $K M C$ — рівносторонній ( $K M = M C = C K$ і кути між ними $6 0^{\circ}$ ). Точка $C$ і середини $M, K$ утворюють вершини рівностороннього трикутника.