ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 226

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.17–19.24 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.17

Поворот правильного шестикутника

Точка $O$ — центр правильного шестикутника $A B C D E F$ . Знайти образи сторони $A F$ , діагоналі $B F$ , діагоналі $A D$ та самого шестикутника при повороті навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою на кути: 1) $6 0^{\circ}$ ; 2) $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Розглянемо поворот на $6 0^{\circ}$ . Вершина $A$ перейде у вершину $F$ , $B$ — у $A$ , $C$ — у $B$ тощо (за годинниковою стрілкою). Сторона $A F$ займе положення сторони $F B$ . Діагональ $B F$ займе положення діагоналі $A C$ . Діагональ $A D$ , яка проходить через центр, залишиться на місці. Весь шестикутник збігається сам із собою.
Розглянемо поворот на $12 0^{\circ}$ . Це два кроки по $6 0^{\circ}$ . Вершина $A$ перейде у вершину $E$ , $B$ — у $D$ , $C$ — у $B$ тощо. Сторона $A F$ займе положення сторони $E B$ . Діагональ $B F$ займе положення діагоналі $E D$ . Діагональ $A D$ перейде на місце діагоналі $B E$ . Шестикутник знову збігається сам із собою.

Відповідь:

1) Сторона $A F \to F B$ , діагональ $B F \to A C$ , діагональ $A D \to A D$ (залишається), шестикутник $\to$ той самий; 2) Сторона $A F \to E B$ , діагональ $B F \to E D$ , діагональ $A D \to B E$ , шестикутник $\to$ той самий.

Завдання 19.18

Поворот квадрата навколо центру

Діагоналі квадрата $A B C D$ перетинаються в точці $O$ . Знайти образи точки $A$ , точки $O$ , точки $C$ , сторони $A D$ та діагоналі $B D$ при повороті навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою на кут $9 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Точка $O$ є центром повороту, тому вона залишається на місці: образ точки $O$ — це сама точка $O$ .
Вершина $A$ при повороті на $9 0^{\circ}$ за годинниковою стрілкою переходить у вершину $B$ . Отже, образом точки $A$ є точка $B$ . Точка $C$ перейде у точку $D$ , тому образом точки $C$ є точка $D$ .
Сторона $A D$ при повороті займе положення сторони $A B$ . Діагональ $B D$ займе положення діагоналі $A C$ .

Відповідь:

Образ точки $A$ — точка $B$ ; образ точки $O$ — точка $O$ ; образ точки $C$ — точка $D$ ; образ сторони $A D$ — сторона $A B$ ; образ діагоналі $B D$ — діагональ $A C$ .

Завдання 19.19

Поворот прямої на себе

Точка $O$ лежить на прямій $m$ . Потрібно визначити кут повороту навколо точки $O$ , після якого пряма $m$ збігається сама з собою.

Розв’язання

Пряма $m$ проходить через точку $O$ . Будь-яка пряма має центр симетрії в будь-якій своїй точці.
При повороті на кут менший за $18 0^{\circ}$ , пряма займе інше положення (перпендикулярне або під кутом).
Тільки при повороті на $18 0^{\circ}$ кожна точка прямої перейде в іншу точку тієї ж прямої, і вся фігура збіжеться сама з собою.

Відповідь:

На кут $18 0^{\circ}$ .

Завдання 19.20

Центр симетрії паралелограма

Довести, що точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії. Поміркувати про справедливість оберненого твердження.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — паралелограм, а $O$ — точка перетину діагоналей $A C$ і $B D$ . За означенням паралелограма $A O = O C$ і $B O = O D$ .
Розглянемо довільну точку $P$ на площині. Її образом при симетрії відносно точки $O$ буде точка $P_{1}$ , така що $O$ є серединою відрізка $P P_{1}$ .
Оскільки кожна вершина має образ, який є також вершиною паралелограма (наприклад, $A \to C$ , $C \to A$ ), і діагоналі діляться навпіл, то вся фігура збігається зі своєю образом при відображенні відносно точки $O$ .

Відповідь:

Точка перетину діагоналей є центром симетрії. Обернене твердження також є справедливим: якщо у чотирикутника є центр симетрії, то він обов'язково є паралелограмом (або ромбом, прямокутником, квадратом).

Завдання 19.21

Центр симетрії кола

Довести, що коло має центр симетрії.

Розв’язання

Нехай $O$ — центр кола з радіусом $R$ .
Візьмемо довільну точку $M$ на колі. Тоді відстань $O M = R$ .
При центральній симетрії відносно точки $O$ точка $M$ переходить у точку $M_{1}$ , для якої $O M_{1} = O M = R$ . Отже, точка $M_{1}$ також належить колу.

Відповідь:

Коло має центр симетрії, який збігається з його геометричним центром.

Завдання 19.22

Чотирикутник при симетрії

Точки $A_{1}$ і $B_{1}$ є образами відповідно точок $A$ і $B$ при симетрії відносно точки $O$ , яка не лежить на прямій $A B$ . Довести, що чотирикутник $A B A_{1} B_{1}$ — паралелограм.

Розв’язання

За означенням симетрії відносно точки $O$ : точка $A$ переходить у $A_{1}$ , отже $O A = O A_{1}$ . Аналогічно, точка $B$ переходить у $B_{1}$ , отже $O B = O B_{1}$ .
Розглянемо чотирикутник $A B A_{1} B_{1}$ . Його діагоналі — це відрізки $A A_{1}$ і $B B_{1}$ .
Оскільки точка $O$ є серединою обох діагоналей ( $O A = O A_{1}$ і $O B = O B_{1}$ ), то за ознакою паралелограма (діагоналі діляться навпіл) чотирикутник $A B A_{1} B_{1}$ є паралелограмом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B A_{1} B_{1}$ є паралелограмом.

Завдання 19.23

Образ прямої при центральній симетрії

Доведіть, що образом прямої, яка проходить через центр симетрії $O$ , є ця сама пряма.

Розв’язання

Нехай пряма $ℓ$ проходить через центр симетрії $O$ . Візьмемо довільну точку $A \in ℓ$ .
Знайдемо образ точки $A$ при центральній симетрії відносно $O$ . Це точка $A_{1}$ , така що $O A = O A_{1}$ і точки $A, O, A_{1}$ лежать на одній прямій.
Оскільки пряма $ℓ$ проходить через $O$ , то точки $A, O, A_{1}$ лежать на одній прямій (самій прямій $ℓ$ ). Отже, $A_{1} \in ℓ$ .
Це означає, що кожна точка прямої переходить у точку, яка також належить цій прямій.

Відповідь:

Образом прямої є сама ця пряма.

Завдання 19.24

Координати симетричних точок

Знайдіть координати точок, симетричних точкам $A (3; - 1)$ і $B (0; - 2)$ відносно:
1) початку координат;
2) точки $M (2; - 3)$ .

Розв’язання

Відносно початку координат $(0; 0)$ :
- Для точки $A (3; - 1)$ : $x_{1} = 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ , $y_{1} = 2 \cdot 0 - (- 1) = 1$ . Точка $(- 3; 1)$ .
- Для точки $B (0; - 2)$ : $x_{1} = 2 \cdot 0 - 0 = 0$ , $y_{1} = 2 \cdot 0 - (- 2) = 2$ . Точка $(0; 2)$ .
Відносно точки $M (2; - 3)$ :
- Для точки $A (3; - 1)$ : $x_{1} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ , $y_{1} = 2 \cdot (- 3) - (- 1) = - 5$ . Точка $(1; - 5)$ .
- Для точки $B (0; - 2)$ : $x_{1} = 2 \cdot 2 - 0 = 4$ , $y_{1} = 2 \cdot (- 3) - (- 2) = - 4$ . Точка $(4; - 4)$ .

Відповідь:

1) $(- 3; 1)$ і $(0; 2)$ ; 2) $(1; - 5)$ і $(4; - 4)$ .