ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 225

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.12–19.16 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.12

Центрально-симетричні елементи шестикутника

Точка $O$ — центр правильного шестикутника $A B C D E F$ . Знайти образи точок $A$ , $C$ , $F$ , сторони $D E$ , діагоналей $A E$ і $A D$ при симетрії відносно точки $O$ .

Розв’язання

Точка $A$ симетрична точці $D$ , оскільки $A D$ — діагональ, що проходить через центр $O$ . Отже, образом точки $A$ є точка $D$ .
Точка $C$ симетрична точці $F$ , оскільки $C F$ — діагональ, що проходить через центр $O$ . Отже, образом точки $C$ є точка $F$ .
Точка $F$ симетрична точці $C$ . Отже, образом точки $F$ є точка $C$ .
Сторона $D E$ при центральній симетрії переходить у сторону, що їй протилежна і паралельна. Це сторона $A B$ .
Діагональ $A E$ проходить через центр $O$ , тому вона сама в себе не переходить, а кожен її промінь переходить у протилежний промінь. Оскільки $A \to D$ і $E \to B$ , то образом відрізка $A E$ є відрізок $D B$ .
Діагональ $A D$ проходить через центр $O$ , тому вона сама в себе переходить (як множина точок).

Відповідь:

Образ точки $A$ — точка $D$ ; образ точки $C$ — точка $F$ ; образ точки $F$ — точка $C$ ; образ сторони $D E$ — сторона $A B$ ; образ діагоналі $A E$ — діагональ $D B$ ; образ діагоналі $A D$ — відрізок $A D$ (сам у себе).

Завдання 19.13

Поворот точок проти годинникової стрілки

На рисунку 19.27 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O D = ∠ D O E = ∠ E O F = ∠ F O A = 7 2^{\circ}$ , $O A = O B = O C = O D = O E = O F$ . Знайти образи точок $A$ , $C$ і $D$ при повороті навколо точки $O$ проти годинникової стрілки на кути: 1) $7 2^{\circ}$ ; 2) $14 4^{\circ}$ .

Розв’язання

Визначимо порядок вершин проти годинникової стрілки: $A, F, E, D, C, B$ .
При повороті на $7 2^{\circ}$ (один крок): точка $A$ переходить у точку $F$ , точка $C$ — у точку $B$ , точка $D$ — у точку $E$ .
При повороті на $14 4^{\circ}$ (два кроки): точка $A$ переходить у точку $E$ , точка $C$ переходить у точку $D$ , точка $D$ переходить у точку $C$ .

Відповідь:

1) Образ точки $A$ — точка $F$ , образ точки $C$ — точка $B$ , образ точки $D$ — точка $E$ . 2) Образ точки $A$ — точка $E$ , образ точки $C$ — точка $D$ , образ точки $D$ — точка $C$ .

Завдання 19.14

Поворот точок за годинниковою стрілкою

На рисунку 19.27 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O D = ∠ D O E = ∠ E O F = ∠ F O A = 7 2^{\circ}$ , $O A = O B = O C = O D = O E = O F$ . Знайти образи точок $A$ , $D$ і $E$ при повороті навколо точки $O$ за годинниковою стрілкою на кути: 1) $7 2^{\circ}$ ; 2) $14 4^{\circ}$ .

Розв’язання

Визначимо порядок вершин за годинниковою стрілкою: $A, B, C, D, E, F$ .
При повороті на $7 2^{\circ}$ (один крок): точка $A$ переходить у точку $B$ , точка $D$ — у точку $E$ , точка $E$ — у точку $F$ .
При повороті на $14 4^{\circ}$ (два кроки): точка $A$ переходить у точку $C$ , точка $D$ переходить у точку $F$ , точка $E$ переходить у точку $A$ .

Відповідь:

1) Образ точки $A$ — точка $B$ , образ точки $D$ — точка $E$ , образ точки $E$ — точка $F$ . 2) Образ точки $A$ — точка $C$ , образ точки $D$ — точка $F$ , образ точки $E$ — точка $A$ .

Завдання 19.15

Поворот фігур з півкругів

На рисунку 19.28 зображено фігури, складені з рівних півкругів. Потрібно визначити, які з них при повороті навколо точки $O$ на кут $α$ ( $0^{\circ} < α ⩽ 18 0^{\circ}$ ) збігаються зі своїми образами.

Розв’язання

Розглянемо фігуру $a$ : складається з двох півкругів, розташованих симетрично відносно точки $O$ . Кут між віссями цих півкругів дорівнює $18 0^{\circ}$ . При повороті на будь-який кут $α \neq = 18 0^{\circ}$ вона не збігатиметься.
Розглянемо фігуру $b$ : складається з трьох півкругів, розташованих рівномірно навколо точки $O$ . Кут між сусідніми частинами дорівнює $12 0^{\circ}$ ( $36 0^{\circ} /3$ ). При повороті на $12 0^{\circ}$ або $24 0^{\circ}$ (але в умові до $18 0^{\circ}$ , тому лише $12 0^{\circ}$ ) вона збігатиметься.
Розглянемо фігуру $v$ : складається з чотирьох півкругів, розташованих рівномірно. Кут між частинами дорівнює $9 0^{\circ}$ . При повороті на $9 0^{\circ}$ або $18 0^{\circ}$ вона збігатиметься.
Розглянемо фігуру $e$ : складається з двох півкругів, розташованих симетрично (як у $a$ , але інший орієнтація). При повороті на $18 0^{\circ}$ вона збігатиметься.
Розглянемо фігуру $r$ : складається з трьох півкругів, розташованих рівномірно (як у $b$ , але інший орієнтація). При повороті на $12 0^{\circ}$ вона збігатиметься.
Розглянемо фігуру $d$ : складається з трьох півкругів, розташованих рівномірно (як у $b$ , але інший орієнтація). При повороті на $12 0^{\circ}$ вона збігатиметься.

Відповідь:

Збігаються зі своїми образами при певному повороті фігури $b$ (на $12 0^{\circ}$ ), фігура $v$ (на $9 0^{\circ}$ або $18 0^{\circ}$ ), фігура $e$ (на $18 0^{\circ}$ ), фігура $r$ (на $12 0^{\circ}$ ) та фігура $d$ (на $12 0^{\circ}$ ). Фігура $a$ не збігається при жодному куті $α ⩽ 18 0^{\circ}$ , окрім випадку, якщо вона симетрична відносно точки $O$ і має центр симетрії (але на малюнку видно, що це просто два півкруги, які не накладаються при повороті до $18 0^{\circ}$ , якщо вони не є центральними). Уточнення: Фігура $a$ складається з двох півкругів, розташованих так, що центр симетрії лежить на межі. При повороті на $18 0^{\circ}$ вона збігатиметься. Отже, правильні відповіді: $b, v, e, r, d$ (а також $a$ при $α = 18 0^{\circ}$ , якщо це не виключено умовою "певному повороту", але зазвичай мається на увазі існування такого куту).

Завдання 19.16

Поворот трикутника та його елементів

Медіани рівностороннього трикутника $A B C$ перетинаються в точці $O$ (рис. 19.29). Потрібно вказати образи точок $C$ , $C_{1}$ і $O$ , сторони $B C$ , медіани $B B_{1}$ , відрізка $O C_{1}$ , трикутника $A_{1} B_{1} C_{1}$ при повороті навколо точки $O$ проти годинникової стрілки на кут $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Розглянемо точку $O$ : вона є центром повороту, тому її образ збігається самою з собою. Образ точки $O$ — це точка $O$ .
Розглянемо точку $C$ : при повороті проти годинникової стрілки на $12 0^{\circ}$ вершина $C$ перейде у положення вершини $A$ . Отже, образом точки $C$ є точка $A$ .
Розглянемо точку $C_{1}$ : точка $C_{1}$ лежить на медіані $B B_{1}$ , що йде до сторони $A C$ . При повороті медіана $B B_{1}$ перейде в медіану $C C_{1}$ , а точка $C_{1}$ (яка є серединою $A C$ ) перейде у середину сторони $A B$ , тобто у точку $A_{1}$ .
Розглянемо сторону $B C$ : при повороті на $12 0^{\circ}$ проти годинникової стрілки відрізок $B C$ перейде у відрізок $C A$ .
Розглянемо медіану $B B_{1}$ : вона йде від вершини $B$ до середини сторони $A C$ (точки $C_{1}$ ). При повороті ця медіана перейде в медіану, що йде від вершини $C$ до середини сторони $A B$ (точки $A_{1}$ ), тобто в медіану $C C_{1}$ .
Розглянемо відрізок $O C_{1}$ : точка $O$ залишається на місці, точка $C_{1}$ переходить у точку $A_{1}$ . Отже, образом відрізка $O C_{1}$ є відрізок $O A_{1}$ .
Розглянемо трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ : це трикутник, що має вершини в серединах сторін. При повороті на $12 0^{\circ}$ проти годинникової стрілки він перейде у трикутник $B_{1} C_{1} A_{1}$ .

Відповідь:

Образ точки $C$ — точка $A$ ; образ точки $C_{1}$ — точка $A_{1}$ ; образ точки $O$ — точка $O$ ; образ сторони $B C$ — сторона $C A$ ; образ медіани $B B_{1}$ — медіана $C C_{1}$ ; образ відрізка $O C_{1}$ — відрізок $O A_{1}$ ; образ трикутника $A_{1} B_{1} C_{1}$ — трикутник $B_{1} C_{1} A_{1}$ .