ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 224

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.6–19.11 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.6

Побудова паралелограма за вершинами та центром діагоналей

Дано точки $A$ , $B$ та точку $O$ — перетин діагоналей паралелограма $A B C D$ . Потрібно побудувати цей паралелограм.

Розв’язання

Проведімо пряму через точки $A$ та $O$ і продовжимо її за точку $O$ на відстань, рівну довжині відрізку $A O$ . Точка перетину з продовженням — це вершина $C$ (оскільки $A O = O C$ ).
Проведімо пряму через точки $B$ та $O$ і продовжимо її за точку $O$ на відстань, рівну довжині відрізку $B O$ . Точка перетину з продовженням — це вершина $D$ (оскільки $B O = O D$ ).
З'єднаємо точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ у порядку послідовності, щоб отримати чотирикутник $A B C D$ .

Відповідь:

Побудовано паралелограм $A B C D$ , де діагоналі перетинаються в точці $O$ .

Завдання 19.7

Знаходження центру симетрії для паралельних прямих

Дано дві паралельні прямі $a$ і $b$ . Потрібно знайти точку, відносно якої пряма $a$ є образом прямої $b$ при центральній симетрії.

Розв’язання

Позначимо довільну точку $M$ на прямій $a$ . Знайдемо її симетричну точку $M_{1}$ на прямій $b$ . Для цього проведемо перпендикуляр до прямих $a$ і $b$ , знайдемо середину відрізка між точками перетину з прямими — це буде точка $O$ .
Перевіримо для іншої точки: візьмемо точку $N$ на прямій $a$ , проведемо перпендикуляр до прямих, знайдемо середину відрізка між точками перетину. Ця середина збігається з точкою $O$ .

Відповідь:

Шукана точка — це будь-яка точка середини відрізка, що з'єднує відповідні точки прямих $a$ і $b$ (наприклад, середина перпендикуляра між ними).

Завдання 19.8

Побудова центра повороту для рівних відрізків

Дано два рівні відрізки $A B$ і $B C$ , причому кут $∠ A B C = 6 0^{\circ}$ . Потрібно знайти точку $O$ , навколо якої при повороті проти годинникової стрілки на $12 0^{\circ}$ відрізок $B C$ переходить у відрізок $A B$ .

Розв’язання

Оскільки відрізки рівні ( $A B = B C$ ) і точка $B$ є спільною, шукана точка $O$ має відстояти однаково далеко від точок $A$ , $B$ та $C$ . Тобто $O A = O B = O C$ .
Розглянемо трикутник $A B C$ . Оскільки $A B = B C$ і $∠ A B C = 6 0^{\circ}$ , то $△ A B C$ — рівносторонній, отже $A C = A B = B C$ .
Точка $O$ є центром описаного кола навколо рівностороннього трикутника $A B C$ . При повороті навколо центру описаного кола рівностороннього трикутника на $12 0^{\circ}$ вершина $C$ переходить у вершину $A$ , а відрізок $B C$ — у відрізок $A B$ .

Відповідь:

Точка $O$ — це центр описаного кола навколо рівностороннього трикутника $A B C$ .

Завдання 19.9

Пошук центру повороту для перпендикулярних відрізків

На рисунку 19.23 зображено два рівні перпендикулярні відрізки $M N$ і $N K$ . Потрібно знайти точку $O$ , навколо якої при повороті за годинниковою стрілкою на кут $9 0^{\circ}$ відрізок $M N$ перейде у відрізок $N K$ .

Розв’язання

Оскільки $M N = N K$ і $∠ M N K = 9 0^{\circ}$ , то центр повороту $O$ лежить на бісектрисі кута $M N K$ .
Кут повороту дорівнює $9 0^{\circ}$ , тому $∠ M O N = ∠ K O N = 4 5^{\circ}$ (якщо розглядати трикутник $M O N K$ ) або скористаємося тим, що при повороті $M \to N$ і $N \to K$ .
Точка $O$ є вершиною рівнобедреного прямокутного трикутника $M N K$ , де $M N = M K$ (це не так), скоригуємо: точка $O$ знаходиться на перетині дотичних до кіл радіусом $M N$ і $N K$ , проведених під кутом $9 0^{\circ}$ . Простіше: оскільки $M N = N K$ і кут між ними $9 0^{\circ}$ , центр повороту знаходиться на перетині дотичних до кіл з центрами в точках $M$ і $N$ , проведених під кутом $4 5^{\circ}$ .

Відповідь:

Точка $O$ — це точка, через яку проходить бісектриса кута $M N K$ , така що $△ M O N ≅ △ K O N$ . (На практиці це точка, симетрична відносно прямої, що ділить кут навпіл).

Завдання 19.10

Визначення центральної симетрії на малюнках

Розглянути рисунок 19.24 та визначити, у якому випадку (а, б, в) точки $A$ і $A_{1}$ симетричні відносно точки $O$ . Обговорити відповідь з однокласниками.

Розв’язання

У випадку а) точки $A$ , $O$ , $A_{1}$ лежать на одній прямій, але $O A \neq = O A_{1}$ (відрізок $O A$ довший за $O A_{1}$ ).
У випадку б) точки $A$ , $O$ , $A_{1}$ лежать на одній прямій і відрізки $O A = O A_{1}$ .
У випадку в) точки $A$ , $O$ , $A_{1}$ не лежать на одній прямій, тому це не центральна симетрія.

Відповідь:

Точки $A$ і $A_{1}$ симетричні відносно точки $O$ у випадку б).

Завдання 19.11

Знаходження образів при центральній симетрії паралелограма

Діагоналі паралелограма $A B C D$ перетинаються в точці $O$ . Точка $M$ — середина сторони $B C$ . Потрібно знайти образи точок $A$ , $D$ і $M$ , сторони $C D$ та діагоналі $B D$ при симетрії відносно точки $O$ .

Розв’язання

Образ точки $A$ — це точка $C$ , оскільки $O$ є серединою діагоналі $A C$ .
Образ точки $D$ — це точка $B$ , оскільки $O$ є серединою діагоналі $B D$ .
Образ точки $M$ (середина $B C$ ) — це середина сторони $A D$ , позначимо її як $M_{1}$ .
Образ сторони $C D$ — це сторона $A B$ .
Образ діагоналі $B D$ — це сама діагональ $B D$ (оскільки вона проходить через центр симетрії).

Відповідь:

Образ точки $A$ — точка $C$ ; образ точки $D$ — точка $B$ ; образ точки $M$ — середина сторони $A D$ ; образ сторони $C D$ — сторона $A B$ ; образ діагоналі $B D$ — сама діагональ $B D$ .