ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 223

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 19.1–19.5 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 19.1

Побудова симетричного трикутника до точки

Дано трикутник $A B C$ і точку $O$ , яка не належить йому. Потрібно побудувати трикутник, симетричний даному відносно точки $O$ .

Розв’язання

Проведіть пряму через точку $O$ і вершину $A$ . На ній знайдіть точку $A_{1}$ так, щоб відрізок $O A$ дорівнював відрізку $O A_{1}$ (точка $O$ — середина $A A_{1}$ ).
Аналогічно побудуйте точки $B_{1}$ і $C_{1}$ як образи точок $B$ і $C$ .
З'єднайте точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ , щоб отримати шуканий трикутник.

Відповідь:

Побудований трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , симетричний трикутнику $A B C$ відносно точки $O$ .

Завдання 19.2

Побудова симетричного трикутника до середини сторони

Дано трикутник $A B C$ . Потрібно побудувати трикутник, симетричний даному відносно середини сторони $A B$ .

Розв’язання

Знайдіть середину відрізка $A B$ і позначте її літерою $O$ .
Проведіть пряму через $O$ і точку $C$ . На ній знайдіть точку $C_{1}$ , так щоб $O C = O C_{1}$ .
Оскільки вершина $A$ відображається в $B$ , а $B$ у $A$ , то образом сторони $A B$ є сама сторона $B A$ . З'єднайте точки $A, B, C_{1}$ .

Відповідь:

Побудований трикутник $A B C_{1}$ , симетричний трикутнику $A B C$ відносно середини сторони $A B$ .

Завдання 19.3

Побудова кола, симетричного колу до точки

Дано коло і точку на ньому. Потрібно побудувати коло, симетричне даному відносно позначеної точки.

Розв’язання

Знайдіть центр даного кола (перетин двох перпендикулярних хорд або заздалегідь відомий).
Проведіть діаметр через точку $M$ і знайдіть її образ $M_{1}$ на іншому кінці цього діаметра.
Оскільки коло симетричне щодо свого центра, то образом кола є саме це коло. Точка $M_{1}$ також належить цьому колу.

Відповідь:

Колом, симетричним даному відносно точки $M$ , є саме даний коло (точка $M$ відображається в точку $M_{1}$ , що лежить на тому ж колі).

Завдання 19.5

Побудова образу трикутника при повороті

Побудувати образ трикутника $A B C$ при повороті навколо центра $O$ за годинниковою стрілкою на кут $9 0^{\circ}$ . Центр $O$ та вершини $A, B, C$ зображено на Рис. 19.19 (сітка).

Розв’язання

Проведіть промінь $O A_{1}$ так, щоб $∠ A O A_{1} = 9 0^{\circ}$ (за годинниковою стрілкою) і $O A = O A_{1}$ . Точка $A_{1}$ — образ точки $A$ .
Проведіть промінь $O B_{1}$ так, щоб $∠ B O B_{1} = 9 0^{\circ}$ (за годинниковою стрілкою) і $O B = O B_{1}$ . Точка $B_{1}$ — образ точки $B$ .
Проведіть промінь $O C_{1}$ так, щоб $∠ C O C_{1} = 9 0^{\circ}$ (за годинниковою стрілкою) і $O C = O C_{1}$ . Точка $C_{1}$ — образ точки $C$ .
З'єднайте точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ у тому ж порядку, що й початкові вершини.

Відповідь:

Трикутник $A_{1} B_{1} C_{1}$ , побудований за описаним алгоритмом (образ трикутника $A B C$ ).