Сторінка 214

Розв’язання

1. Нехай $\angle AXC=\alpha$. Згідно з умовою завдання, $\angle DXB=2\alpha$.

2. Оскільки точки $A,X,B$ лежать на одній прямій, кут $\angle AXB$ є розгорнутим і дорівнює $180^{\circ }$.

3. Сума кутів навколо точки $X$, що утворюють промені $XA,XC,XD,XB$, дорівнює $180^{\circ }$: $\angle AXC+\angle CXD+\angle DXB=180^{\circ }$.

4. Підставимо вирази через $\alpha$: $\alpha +\angle CXD+2\alpha =180^{\circ }$, звідки $\angle CXD=180^{\circ }-3\alpha$.

5. Точка $X$ може знаходитися в будь-якому положенні на промені $AB$ (включно з точкою перетину відрізків), за умови, що $\angle CXD>0$, тобто $180^{\circ }-3\alpha >0\Rightarrow \alpha <60^{\circ }$.

Розв’язання

1. Нехай точка $P$ симетрична вершині $A$ відносно сторони $BC$. Тоді $BP=AP$ і $CP=AC$. Оскільки $P$ лежить на описаному колі, то $AP$ є хордою.

2. Розглянемо центр описаного кола $O$. Вершина трикутника $A$ відображається відносно сторони $BC$ у точку $A^{\prime }$. Якщо $A^{\prime }$ лежить на колі, то $A{A}^{\prime }$ — діаметр кола (оскільки дуга $ABC{A}^{\prime }$ має міру $360^{\circ }$, а $BC$ ділить коло навпіл).

3. Однак умову треба виконати для будь-якої сторони. Це можливо лише якщо трикутник рівнобедрений або рівносторонній, але в загальному випадку точка, симетрична вершині відносно сторони, лежить на колі тоді і тільки тоді, коли кут при основі дорівнює $60^{\circ }$.

4. Точкою є перетин бісектриси кута з описаним колом навпроти цього кута (точка, що ділить дугу навпіл). Але точніше: точка симетрична вершині $A$ відносно сторони $BC$ лежить на колі тоді і тільки тоді, коли $\angle BAC=60^{\circ }$.

Розв’язання

1. Вода у пробірці має форму циліндра (або призми). Такий прозорий середовище діє як лінза.

2. Лінза інвертує зображення в напрямку, перпендикулярному до осі лінзи. У горизонтально розташованій пробірці це вертикальна вісь.

3. Букви «С», «Е», «З», «О», «Н» мають симетрію або не містять вертикальних ліній, які б інвертувалися при проходженні крізь циліндричну лінзу (або їх форма дозволяє читати і перевернуті).

4. Букви в слові «ДОЩІВ» мають вертикальні лінії або асиметричні форми, які при інверсії стають нечитабельними або перевернутими.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину сторони $BC$: оскільки $AD=BC$, то $BC=7\text{см}$.

2. Знайдемо довжину сторони $AB$ (та $CD$): периметр $P=2(AB+BC)$, отже $48=2(AB+7)\Rightarrow AB+7=24\Rightarrow AB=17\text{см}$.

3. Розглянемо бісектрису кута $B$ ($BK$), яка перетинає сторону $CD$ у точці $K$. Оскільки $AB\parallel CD$, то $\angle ABK=\angle BKC$ (альтернативні кути).

4. Оскільки $BK$ — бісектриса, то $\angle ABK=\angle CBK$. Звідси випливає, що $\angle CBK=\angle BKC$, отже $△KBC$ — рівнобедрений з основою $CK$.

5. Знайдемо довжину $CK$: вона дорівнює $BC$, тобто $7\text{см}$.

6. Знайдемо довжину відрізка $KD$: $KD=CD-CK=17-7=10\text{см}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати середини $M$ сторони $BC$: $x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-7+1}{2}=-3$, $y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{1+(-5)}{2}=-2$. Точка $M(-3;-2)$.

2. Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A(5;2)$ і $M(-3;-2)$. Знайдемо кутовий коефіцієнт $k=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{-2-2}{-3-5}=\frac{-4}{-8}=0,5$.

3. Запишемо рівняння прямої у загальному вигляді $Ax+By+C=0$ або через точку і кутовий коефіцієнт: $y-y_1=k(x-x_1)$. Підставимо значення: $y-2=0,5(x-5)$.

4. Перетворимо рівняння: $y-2=0,5x-2,5\Rightarrow 0,5x-y-0,5=0$. Помножимо на 2, щоб позбутися дробів: $x-2y-1=0$.