ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 213

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 18.21–18.31 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 18.21

Осі симетрії ромба

Доведіть, що прямі, які містять діагоналі ромба, є його осями симетрії.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — ромб, а пряма $A C$ містить одну з діагоналей.
Оскільки всі сторони ромба рівні ( $A B = B C = C D = D A$ ), то відображення відносно прямої $A C$ перетворює точку $B$ у точку $D$ , і навпаки, оскільки вони симетричні відносно цієї діагоналі.
Точки $A$ і $C$ лежать на осі симетрії, тому залишаються незмінними. Отже, весь ромб збігається сам із собою.

Відповідь:

Прямі, що містять діагоналі ромба, є його осями симетрії.

Завдання 18.22

Осі симетрії прямокутника

Доведіть, що прямі, які проходять через середини протилежних сторін прямокутника, є його осями симетрії.

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — прямокутник, а пряма $l$ проходить через середини сторін $A D$ і $B C$ .
При відображенні відносно прямої $l$ точка $A$ переходить у точку $B$ , а точка $D$ — у точку $C$ , оскільки відрізки $A B$ і $D C$ рівні та перпендикулярні до осі симетрії.
Пряма $l$ сама збігається зі своєю образом, тому весь прямокутник залишається незмінним. Аналогічно для другої пари сторін.

Відповідь:

Прямі, що проходять через середини протилежних сторін прямокутника, є його осями симетрії.

Завдання 18.23

Вісь симетрії кута

Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії.

Розв’язання

Нехай $∠ X O Y$ — заданий кут, а пряма $O K$ містить його бісектрису.
При відображенні відносно прямої $O K$ промені $O X$ переходить у промінь $O Y$ , оскільки кути між $O X$ і $O K$ та між $O K$ і $O Y$ рівні.
Точки на осі симетрії ( $O K$ ) залишаються незмінними, тому весь кут збігається сам із собою.

Відповідь:

Пряма, що містить бісектрису кута, є його віссю симетрії.

Завдання 18.24

Властивість трикутника з віссю симетрії

Доведіть, що трикутник, який має вісь симетрії, є рівнобедреним.

Розв’язання

Нехай пряма $l$ є віссю симетрії $△ A B C$ . Оскільки при відображенні вершина $A$ переходить у саму себе, то пряма $l$ проходить через точку $A$ .
Вершини $B$ і $C$ можуть або збігатися (що неможливо для трикутника), або переходити одна в одну. Отже, точка $B$ відображається в точку $C$ .
Відстань від точки до її образу при симетрії зберігається, тому $A B = A C$ .

Відповідь:

Трикутник є рівнобедреним ( $A B = A C$ ).

Завдання 18.25

Властивість трикутника з двома осями симетрії

Доведіть, що трикутник, який має дві осі симетрії, є рівностороннім. Чи може трикутник мати рівно дві осі симетрії?

Розв’язання

Нехай пряма $l_{1}$ — вісь симетрії для $△ A B C$ . Завдяки цьому $A B = A C$ (трикутник рівнобедрений).
Нехай пряма $l_{2}$ — друга вісь симетрії. Оскільки трикутник вже є рівнобедреним, друга вісь може існувати лише тоді, коли він є рівностороннім ( $A B = B C$ ).
Якщо $A B = A C$ і $B C = A B$ , то всі сторони рівні: $A B = B C = C A$ .

Відповідь:

Трикутник є рівностороннім. Ні, трикутник не може мати рівно дві осі симетрії без того, щоб бути рівностороннім (у рівнобедреному одна вісь, у рівносторонньому — три).

Завдання 18.26

Симетрія точок перетину кіл

Кола із центрами $O_{1}$ і $O_{2}$ перетинаються в точках $A$ і $B$ . Доведіть, що точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $O_{1} O_{2}$ .

Розв’язання

Оскільки точка $A$ належить колу з центром $O_{1}$ , то $O_{1} A = R_{1}$ . Аналогічно, точка $B$ також належить цьому колу, отже $O_{1} B = R_{1}$ . Тоді $O_{1} A = O_{1} B$ .
Оскільки точка $A$ належить колу з центром $O_{2}$ , то $O_{2} A = R_{2}$ . Аналогічно, точка $B$ також належить цьому колу, отже $O_{2} B = R_{2}$ . Тоді $O_{2} A = O_{2} B$ .
Оскільки точки $O_{1}$ і $O_{2}$ рівновіддалені від точок $A$ і $B$ , пряма $O_{1} O_{2}$ є серединним перпендикуляром до відрізка $A B$ . Отже, точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $O_{1} O_{2}$ .

Відповідь:

Точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $O_{1} O_{2}$ .

Завдання 18.27

Властивість симетрії при прямому куті

Точка $M$ лежить у внутрішній частині прямого кута $A B C$ . Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ — це образи точки $M$ при відображенні відносно прямих $B A$ та $B C$ відповідно. Потрібно довести, що точки $M_{1}$ , $B$ і $M_{2}$ лежать на одній прямій.

Розв’язання

Оскільки точка $M_{1}$ є образом точки $M$ при симетрії відносно прямої $B A$ , то відрізок $B M_{1}$ рівний відрізку $B M$ , а кут $∠ M_{1} B A$ дорівнює куту $∠ M B A$ .
Аналогічно, точка $M_{2}$ є образом точки $M$ при симетрії відносно прямої $B C$ , тому $B M_{2} = B M$ і $∠ M_{2} B C = ∠ M B C$ .
Оскільки $∠ A B C$ — прямий кут ( $9 0^{\circ}$ ), то сума кутів $∠ M B A + ∠ M B C = 9 0^{\circ}$ .
Розглянемо суму кутів навколо точки $B$ : $∠ M_{1} B M_{2} = ∠ M_{1} B A + ∠ A B C + ∠ C B M_{2}$ . Підставивши рівні кути, отримуємо $∠ M_{1} B M_{2} = ∠ M B A + 9 0^{\circ} + ∠ M B C$ .
Але краще розглянути кут $∠ M_{1} B M_{2}$ як суму $∠ M_{1} B A + ∠ A B M + ∠ M B C + ∠ C B M_{2}$ . Оскільки при відображенні кути зберігаються, то $∠ M_{1} B A = ∠ M B A$ і $∠ M_{2} B C = ∠ M B C$ .
Сума кутів $∠ M_{1} B M_{2} = ∠ M_{1} B A + ∠ A B M + ∠ M B C + ∠ C B M_{2} = 2 (∠ M B A + ∠ M B C) = 2 \cdot 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

Відповідь:

Точки $M_{1}$ , $B$ і $M_{2}$ лежать на одній прямій, оскільки кут $∠ M_{1} B M_{2}$ дорівнює $18 0^{\circ}$ .

Завдання 18.28

Знаходження симетричних точок до бісектрис

Дано точки $A (- 2; 0)$ та $B (3; - 1)$ . Потрібно знайти координати їхніх образів відносно двох прямих: 1) прямої, що містить бісектриси I та III координатних кутів ( $y = x$ ); 2) прямої, що містить бісектриси II та IV координатних кутів ( $y = - x$ ).

Розв’язання

Для точки $A (- 2; 0)$ відносно $y = x$ : абсциса стає ординатою, а ордината — абсцисою. Отримуємо $A_{1} (0; - 2)$ .
Для точки $B (3; - 1)$ відносно $y = x$ : отримуємо $B_{1} (- 1; 3)$ .
Для точки $A (- 2; 0)$ відносно $y = - x$ : абсциса стає мінус ординатою, а ордината — мінус абсцисою. Отримуємо $A_{2} (0; - (- 2)) = A_{2} (0; 2)$ .
Для точки $B (3; - 1)$ відносно $y = - x$ : отримуємо $B_{2} (- (- 1); - 3) = B_{2} (1; - 3)$ .

Відповідь:

1) Відносно $y = x$ : $A^{'} (0; - 2)$ , $B^{'} (- 1; 3)$ . 2) Відносно $y = - x$ : $A^{'} (0; 2)$ , $B^{'} (1; - 3)$ .

Завдання 18.29

Знаходження невідомих координат за умовою симетрії

Точки $A (x; - 1)$ та $B (y; 2)$ є симетричними відносно прямої, яка містить бісектриси I та III координатних кутів (пряма $y = x$ ). Потрібно знайти значення $x$ і $y$ .

Розв’язання

За умовою симетрії відносно прямої $y = x$ , абсциса однієї точки дорівнює ординаті іншої, а ордината першої — абсцисі другої.
Отже, $x = 2$ (оскільки ордината точки $B$ дорівнює 2).
Також $- 1 = y$ (оскільки ордината точки $A$ дорівнює -1).

Відповідь:

$x = 2$ , $y = - 1$ .

Завдання 18.30

Мінімальна сума відстаней до двох точок

Точки $A$ і $B$ знаходяться в одній півплощині відносно прямої $a$ . Потрібно знайти точку $X$ на прямій $a$ , щоб сума довжин відрізків $A X + X B$ була найменшою.

Розв’язання

Побудуйте точку $A^{'}$ , симетричну точці $A$ відносно прямої $a$ .
Проведіть пряму, що проходить через точки $A^{'}$ і $B$ .
Знайдіть точку перетину цієї прямої з прямою $a$ — позначте її як $X$ .

Відповідь:

Точка $X$ , яка є точкою перетину відрізку $A^{'} B$ (де $A^{'}$ — симетрична точка до $A$ ) і прямої $a$ .

Завдання 18.31

Ділення кута на дві рівні частини за допомогою симетрії

Точки $A$ і $B$ знаходяться в одній півплощині відносно прямої $a$ . Потрібно знайти точку $X$ на прямій $a$ , щоб промені $X A$ і $X B$ утворювали з прямою $a$ рівні кути.

Розв’язання

Перевірте, чи є точки $A$ і $B$ симетричними відносно прямої $a$ . Для цього побудуйте перпендикуляр до прямої $a$ з точок $A$ і $B$ і перевірте рівність відстаней до прямої.
Якщо точки симетричні, то будь-яка точка $X$ на прямій $a$ , яка не лежить на перпендикулярах, буде відповідати умові.

Відповідь:

Будь-яка точка $X$ на прямій $a$ , якщо точки $A$ і $B$ симетричні відносно прямої $a$ .