ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 212

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 18.13–18.20 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 18.13

Симетричність точок відносно прямої

Пряма $l$ проходить через середину відрізка $A B$ . Чи обов'язково точки $A$ і $B$ є симетричними відносно прямої $l$ ?

Розв’язання

За умовою відрізок $A B$ перетинає пряму $l$ у своїй середині.
Прямі можуть перетинатися під будь-яким кутом. Якщо кут між прямою $l$ і відрізком $A B$ не дорівнює $9 0^{\circ}$ , то точки не є симетричними.

Відповідь:

Ні, точки $A$ і $B$ не обов'язково є симетричними відносно прямої $l$ .

Завдання 18.14

Вісь симетрії рівнобедреного трикутника

У рівнобедреному трикутнику $A B C$ ( $A B = B C$ ) проведено бісектрису $B K$ . Визначте вісь симетрії та обґрунтуйте це.

Розв’язання

У трикутнику $A B C$ рівні сторони $A B$ і $B C$ , отже, він рівнобедрений з основою $A C$ .
Бісектриса $B K$ проведена до основи $A C$ . Оскільки в рівнобедреному трикутнику бісектриса до основи є також висотою та медіаною, пряма $B K$ перпендикулярна до $A C$ і ділить її навпіл.
Отже, віссю симетрії є пряма, що містить відрізок $B K$ .

Відповідь:

Віссю симетрії є пряма, що містить бісектрису $B K$ .

Завдання 18.15

Образи фігур при симетрії відносно висоти

На рисунку 18.22 зображено рівнобедрений трикутник $A B C$ ( $A B = B C$ ) і пряму $l$ , яка містить висоту до основи $A C$ . $A M$ і $C N$ — медіани. Знайти образи: точки $A$ , точки $B$ , медіани $C N$ і сторони $A C$ .

Розв’язання

Точка $A$ лежить на основі і є образом точки $C$ , а точка $C$ — образом точки $A$ . Отже, образ точки $A$ — це точка $C$ .
Точка $B$ лежить на осі симетрії (пряма $l$ проходить через неї), тому її образ — сама точка $B$ .
Медіана $C N$ з'єднує вершину $C$ з серединою бічної сторони $A B$ . При відображенні $C \to A$ , а середина $A B \to$ середина $B C$ (точка $M$ ). Отже, образ медіани $C N$ — це медіана $A M$ .
Сторона $A C$ є основою трикутника і лежить перпендикулярно до осі симетрії. Її кінці обмінюються місцями ( $A \to C$ , $C \to A$ ), тому образ відрізка $A C$ — це сам відрізок $C A$ (або $A C$ ).

Відповідь:

Образ точки $A$ — точка $C$ ; образ точки $B$ — точка $B$ ; образ медіани $C N$ — медіана $A M$ ; образ сторони $A C$ — відрізок $C A$ .

Завдання 18.16

Знаходження образів фігури при симетрії

На рисунку 18.23 зображено рівнобічну трапецію $A B C D$ і пряму $l$ , яка проходить через середини її основ ( $A D$ та $B C$ ). Потрібно знайти образи точок $B$ і $D$ , діагоналі $A C$ і основи $B C$ при симетрії відносно прямої $l$ .

Розв’язання

Оскільки пряма $l$ є віссю симетрії рівнобічної трапеції, то образ точки $B$ — це точка $C$ , а образ точки $D$ — це точка $A$ .
Образ діагоналі $A C$ : точка $A$ переходить у $D$ , точка $C$ переходить у $B$ , отже, відрізок $A C$ переходить у відрізок $D B$ (іншу діагональ).
Образ основи $B C$ : точка $B$ переходить у $C$ , точка $C$ переходить у $B$ , отже, відрізок $B C$ переходить у себе самий.

Відповідь:

образ точки $B$ — це точка $C$ ; образ точки $D$ — це точка $A$ ; образ діагоналі $A C$ — це діагональ $B D$ ; образ основи $B C$ — це відрізок $C B$ (відрізок $B C$ ).

Завдання 18.17

Властивість збереження довжини при симетрії

Точки $A_{1}$ і $B_{1}$ є відповідно образами точок $A$ і $B$ при осьовій симетрії. Відомо, що довжина відрізка $A B = 5 см$ . Потрібно знайти довжину відрізка $A_{1} B_{1}$ .

Розв’язання

За означенням осьової симетрії, точка $A_{1}$ є образом точки $A$ , а точка $B_{1}$ — образом точки $B$ .
Відомо, що при осьовій симетрії довжина відрізка не змінюється: $A_{1} B_{1} = A B$ .
Підставимо відому величину: $A B = 5 см$ , отже $A_{1} B_{1} = 5 см$ .

Відповідь:

$A_{1} B_{1} = 5 см$ .

Завдання 18.18

Координати точок при симетрії відносно осей

Знайти координати точок, симетричних точкам $A (- 2; 1)$ і $B (0; - 4)$ відносно осей координат.

Розв’язання

Для точки $A (- 2; 1)$ :
- Симетрична відносно осі $O x$ : абсциса $- 2$ не змінюється, ордината $1$ стає $- 1$ . Отримуємо точку $A_{1} (- 2; - 1)$ .
- Симетрична відносно осі $O y$ : абсциса $- 2$ стає $2$ , ордината $1$ не змінюється. Отримуємо точку $A_{2} (2; 1)$ .
Для точки $B (0; - 4)$ :
- Симетрична відносно осі $O x$ : абсциса $0$ не змінюється, ордината $- 4$ стає $4$ . Отримуємо точку $B_{1} (0; 4)$ .
- Симетрична відносно осі $O y$ : оскільки точка лежить на осі симетрії ( $x = 0$ ), її образ збігається з самою точкою. Отримуємо точку $B_{2} (0; - 4)$ .

Відповідь:

для точки $A (- 2; 1)$ координати симетричних точок: $(- 2; - 1)$ і $(2; 1)$ ; для точки $B (0; - 4)$ координати симетричної точки відносно осі $O x$ : $(0; 4)$ , а відносно осі $O y$ — $(0; - 4)$ .

Завдання 18.19

Знаходження координат при симетрії

Точки $A (x; 3)$ і $B (- 2; y)$ є симетричними відносно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат. Потрібно знайти значення $x$ і $y$ .

Розв’язання

Розглянемо підпункт 1: симетрія відносно осі абсцис ( $O x$ ). При цій симетрії ордината ( $y$ -координата) змінює знак, а абсциса ( $x$ -координата) залишається незмінною.
Оскільки точки $A (x; 3)$ і $B (- 2; y)$ є образами одна одної, їхні відповідні координати мають співпадати за модулем, але з різними знаками для першої осі. Абсциса $x$ дорівнює абсцисі точки $B$ , тобто $x = - 2$ . Ордината точки $A$ ( $3$ ) має бути протилежною до ординати точки $B$ , отже $y = - 3$ .

Відповідь:

1) $x = - 2, y = - 3$ ; 2) $x = 2, y = 3$ .

Завдання 18.20

Властивість прямої при симетрії

Образом прямої $a$ при симетрії відносно прямої $l$ є сама пряма $a$ . Потрібно визначити взаємне розміщення прямих $a$ і $l$ .

Розв’язання

Перевіримо перший випадок: якщо пряма $a$ лежить на прямій $l$ , то кожна точка прямої $a$ є образом самої себе, отже вся пряма переходить у себе. Це задовольняє умову.
Розглянемо другий випадок: якщо пряма $a$ перетинає пряму $l$ під прямим кутом ( $9 0^{\circ}$ ), то відображення будь-якої точки прямої $a$ щодо осі $l$ також належатиме прямій $a$ . Тому вся пряма $a$ переходить у себе.

Відповідь:

Прямі $a$ і $l$ або збігаються, або перетинаються під прямим кутом ( $9 0^{\circ}$ ).