Сторінка 211

Розв’язання

1. Проведіть довільний коло з центром у точці $A$ і радіусом більшим за половину відстані $AB$.

2. Проведіть такий самий коло з центром у точці $B$ (радіус той самий).

3. Знайдіть точки перетину кіл; проведіть пряму через ці точки — це й є шукана пряма $l$.

Розв’язання

1. Позначте точку перетину прямих $a$ і $a_1$ як $O$.

2. Проведіть пряму, що проходить через точку $O$ і ділить кут між прямими на два рівні кути (бісектрису).

Розв’язання

1. Проведіть довільну прямую, що перетинає $a$ і $a_1$.

2. Знайдіть точки перетину цієї прямої з $a$ і $a_1$.

3. Знайдіть середину відрізка між цими точками.

4. Проведіть пряму через знайдену середину, перпендикулярно до прямих $a$ і $a_1$.

Розв’язання

1. Проведіть перпендикуляр до прямої $l$ через точку $C$.

2. Знайдіть точку перетину цього перпендикуляра з прямою $l$ — це середина діагоналі $BD$. Відкладіть від цієї точки на інший бік відрізок, рівний довжині $CM$, щоб отримати точку $A$.

3. З'єднайте точки $A,B,C,D$ у порядку послідовності вершин ромба.

Розв’язання

1. Проведіть пряму симетрії (висоту до основи $AB$).

2. Побудуйте образ точки $K$ відносно цієї прямої — позначте його як $B$.

3. З'єднайте точку $A$ з точкою $B$, продовжте цей відрізок за межі прямої симетрії і знайдіть перетин з образом прямої, що проходить через $A$ і $K$ (або скористайтеся властивістю: $C$ лежить на перпендикулярі до основи в точці перетину бісектриси та висоти). Простіше: побудуйте образ точки $A$ відносно прямої — це сама точка $A$. Побудуйте образ відрізка $AK$ — отримаєте сторону $AB$. Точка $C$ лежить на продовженні сторони $BC$, яка є образом сторони $BA$? Ні, простіше: побудуйте образ точки $K$ (це $B$). Побудуйте образ прямої $AK$ (це пряма $AB$). Перетин цих прямих дає вершину $C$? Ні.
   Правильний шлях: Пряма симетрії проходить через середину основи $AB$. Точка $A$ відображається в точку $B$. Точка $K$ (на стороні $BC$) відображається на сторону $BA$? Ні, $K$ лежить на $BC$, тому її образ $K^{\prime }$ лежатиме на стороні $B^{\prime }{C}^{\prime }=BA$.
   Давайте спростимо: Пряма $l$ — вісь симетрії. Вона проходить через вершину $C$ (якщо це висота до основи) і середину основи $AB$. Тоді образ точки $A$ відносно $l$ — це точка $B$. Образ точки $K$ (на $BC$) відносно $l$ — це точка на стороні $BA$. Але в умові сказано: "точка $K$, яка належить бічній стороні $BC$". Це означає, що ми знаємо точку $K$ і пряму симетрії.

4. Побудуйте образ точки $K$ відносно прямої $l$ — позначте його як $B$.

5. З'єднайте точку $A$ з точкою $B$ (це основа).

6. Проведіть пряму через $C$ (перетин прямої симетрії з перпендикуляром до основи, або просто продовжте висоту) — вершина $C$ лежить на прямій $l$.

7. Побудуйте образ відрізка $AK$ відносно прямої $l$ — отримаємо відрізок $AB$? Ні, $A$ відображається в $B$, тому образ $AK$ — це відрізок $B{K}^{\prime }$. Але нам треба знайти $C$.

Розв’язання

1. На рисунку а): Відрізок $A{A}_1$ не перпендикулярний до прямої $a$ (він нахилений), отже, точки не симетричні.

2. На рисунку б): Пряма $a$ проходить через середину відрізка $A{A}_1$, але сама пряма $A{A}_1$ не перпендикулярна до $a$ (вона горизонтальна, а $a$ теж горизонтальна? Ні, на малюнку $a$ горизонтальна, а $A{A}_1$ вертикальна? Ні, точки $A$ і $A_1$ мають однакові абсциси? Ні. Подивимось уважно: на б) пряма $a$ горизонтальна. Точка $A$ нижче, $A_1$ вище. Якщо вони мають однакову абсцису (лежать на вертикалі), то відрізок вертикальний, а пряма горизонтальна — перпендикулярно. Але на малюнку б) точки $A$ і $A_1$ лежать на одній вертикалі? Ні, на малюнку б) точка $A_1$ зсунута вправо відносно $A$. Отже, відрізок не перпендикулярний до горизонтальної прямої.

3. На рисунку в): Пряма $a$ вертикальна. Точки $A$ і $A_1$ лежать на одній горизонтальній лінії (однакові ординати). Відрізок $A{A}_1$ горизонтальний, пряма $a$ вертикальна — вони перпендикулярні. Пряма $a$ проходить між ними. Перевіримо середину: відстань від $A$ до $a$ дорівнює відстані від $A_1$ до $a$. Так.