ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 210

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 18.2–18.6 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 18.2

Побудова симетричного трикутника

Накресліть довільний трикутник. Потім побудуйте новий трикутник, який буде симетричним першому відносно прямої $l$ . Пряма $l$ має проходити через одну з серединних ліній (медіан) цього трикутника.

Розв’язання

Накресліть довільний трикутник $A B C$ у зошиті.
Проведіть пряму $l$ , яка проходить через середину сторони $A B$ (або будь-якої іншої).
З точок $A, B, C$ проведіть перпендикуляри до прямої $l$ .
Продовжте ці перпендикуляри на таку саму відстань за пряму $l$ , щоб отримати точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ .
З'єднайте точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — це і є шуканий трикутник.

Відповідь:

Трикутник, побудований за описаним способом, симетричний початковому відносно прямої, що містить медіану.

Завдання 18.3

Побудова відрізків на площині та знаходження координат

Побудувати відрізок $A B$ з кінцями $A (4; - 1)$ і $B (- 3; 5)$ . Потім побудувати відрізок, симетричний відрізку $A B$ відносно осі абсцис. Записати координати кінців образу. Вивести загальну формулу для точки $A_{1} (x_{0}; y_{0})$ при симетрії відносно 1) осі абсцис; 2) осі ординат.

Розв’язання

Знайдемо координати точок відрізка $A B$ : $A (4; - 1)$ і $B (- 3; 5)$ .
Побудуємо образи точок відносно осі абсцис ( $O x$ ). При симетрії відносно $O x$ координата $x$ не змінюється, а координата $y$ змінює знак на протилежну.
Для точки $A (4; - 1)$ нові координати будуть $(4; 1)$ . Для точки $B (- 3; 5)$ нові координати будуть $(- 3; - 5)$ .
Запишемо гіпотезу для загальної точки $A (x_{0}; y_{0})$ :
а) При симетрії відносно осі абсцис: $A_{1} (x_{0}; - y_{0})$ .
б) При симетрії відносно осі ординат ( $O y$ ): координата $y$ не змінюється, а $x$ змінює знак. Тоді $A_{1} (- x_{0}; y_{0})$ .

Відповідь:

Координати кінців образу відрізка: $(4; 1)$ і $(- 3; - 5)$ . Гіпотеза: 1) $A_{1} (x_{0}; - y_{0})$ ; 2) $A_{1} (- x_{0}; y_{0})$ .

Завдання 18.4

Побудова відрізку та його образу відносно осі ординат

Побудувати на координатній площині відрізок $D E$ з кінцями $D (- 4; - 2)$ і $E (- 3; 4)$ . Потім побудувати образ цього відрізка при симетрії відносно осі ординат.

Розв’язання

Візьмемо точку $D (- 4; - 2)$ . При симетрії відносно осі $O y$ координата $- 4$ змінюється на $+ 4$ , а $- 2$ залишається незмінною. Отримуємо точку $D_{1} (4; - 2)$ .
Візьмемо точку $E (- 3; 4)$ . При симетрії відносно осі $O y$ координата $- 3$ змінюється на $+ 3$ , а $4$ залишається незмінною. Отримуємо точку $E_{1} (3; 4)$ .
Побудуємо відрізок, що з'єднує точки $D_{1} (4; - 2)$ і $E_{1} (3; 4)$ . Це і є образ відрізка $D E$ .

Відповідь:

Кінці образу відрізка мають координати $(4; - 2)$ і $(3; 4)$ .

Завдання 18.5

Побудова симетричної фігури за віссю a

Додати до фігур (а, б, в) з Рис. 18.16 їхні образи при симетрії відносно прямої $a$ , щоб отримати повну фігуру, для якої $a$ є віссю симетрії.

Розв’язання

Для рисунка а: знайдіть образи всіх точок контуру фігури, відбиваючи їх від прямої $a$ . З'єднайте отримані точки, щоб замкнути фігуру.
Для рисунка б: проведіть симетричний до нижньої частини відрізок над прямою $a$ , дотримуючись форми «хвилястих» сторін.
Для рисунка в: відобразіть трикутний виступ фігури на іншу сторону прямої $a$ .

Відповідь:

Утворені повні фігури мають вісь симетрії $a$ (рис. 18.16, а; б; в).

Завдання 18.6

Побудова симетричної фігури за віссю a

Додати до фігур (а, б) з Рис. 18.17 їхні образи при симетрії відносно прямої $a$ , щоб отримати повну фігуру, для якої $a$ є віссю симетрії.

Розв’язання

Для рисунка а: проведіть симетричні до двох трикутних виступів відрізки ліворуч від прямої $a$ , зберігаючи їхню форму та розмір.
Для рисунка б: відобразіть «виступ» фігури на іншу сторону прямої $a$ , щоб замкнути контур симетричною фігурою.

Відповідь:

Утворені повні фігури мають вісь симетрії $a$ (рис. 18.17, а; б).