ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 204

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 17.35–17.39 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 17.35

Побудова візерунка паралельним перенесенням

Дано фрагмент візерунка вишиванки (Рис. 17.14). Потрібно перерисувати його та побудувати аналогічні фігури ліворуч і праворуч, використовуючи паралельне перенесення.

Розв’язання

Перерисуйте заданий фрагмент у зошит, дотримуючись сітки.
Визначте вектор перенесення (наприклад, зсуньте на 4 клітинки вправо), щоб побудувати новий візерунок праворуч.
Зробіть те саме для лівої частини (зсув уліво).

Відповідь:

Отримано композицію трьох однакових візерунків, розташованих в один ряд.

Завдання 17.36

Знаходження периметра нового трикутника

Через кожну вершину даного трикутника проведено пряму, паралельну протилежній стороні. Периметр початкового трикутника $P = 18$ см. Знайти периметр утвореного трикутника.

Розв’язання

Нехай сторони початкового трикутника $A B C$ дорівнюють $A B = c$ , $B C = a$ , $A C = b$ . Периметр $P = a + b + c = 18$ .
Розглянемо новий трикутник, утворений перетином проведених прямих. Його сторони дорівнюють $\frac{a + b}{2}$ , $\frac{b + c}{2}$ та $\frac{c + a}{2}$ .
Складіть вираз для периметра нового трикутника: $P^{'} = \frac{a + b}{2} + \frac{b + c}{2} + \frac{c + a}{2} = \frac{2 ( a + b + c )}{2} = a + b + c$ .

Відповідь:

Периметр нового трикутника дорівнює $18$ см.

Завдання 17.37

Доведення ромба та знаходження площі

Чотирикутник має вершини $A (- 3; - 4)$ , $B (0; 3)$ , $C (7; 6)$ , $D (4; - 1)$ . Потрібно довести, що це ромб, і знайти його площу.

Розв’язання

Обчислимо довжину сторони $A B$ : $(0 - (- 3))^{2} + (3 - (- 4))^{2} = 3^{2} + 7^{2} = 9 + 49 = 58$ .
Обчислимо довжину сторони $B C$ : $(7 - 0)^{2} + (6 - 3)^{2} = 7^{2} + 3^{2} = 49 + 9 = 58$ .
Аналогічно перевіряємо $C D$ та $D A$ , вони також дорівнюють $58$ . Отже, чотирикутник — ромб.
Знайдемо довжину діагоналі $A C$ : $(7 - (- 3))^{2} + (6 - (- 4))^{2} = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102$ .
Знайдемо довжину діагоналі $B D$ : $(4 - 0)^{2} + (- 1 - 3)^{2} = 4^{2} + (- 4)^{2} = 16 + 16 = 32 = 42$ .
Обчислимо площу: $S = \frac{10 2 \cdot 4 2}{2} = \frac{40 \cdot 2}{2} = 40$ .

Відповідь:

Чотирикутник є ромбом, його площа дорівнює $40$ одиниць площі.

Завдання 17.38

Площа трапеції з вписаним колом

У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику поділяє більшу бічну сторону на відрізки $4 см$ і $25 см$ . Знайти площу трапеції.

Розв’язання

Позначимо основі трапеції $a$ і $b$ , а бічні сторони — $c$ (гіпотенуза) і $d = h$ (висота, що є катетом). За властивістю вписаного кола сума основ дорівнює сумі бічних сторін: $a + b = c + h$ .
Оскільки трапеція прямокутна, висота $h$ дорівнює довжині меншого відрізка більшої бічної сторони (відрізок, паралельний основі), тобто $h = 4 см$ . Тоді сума основ $a + b$ дорівнює сумі катетів прямокутного трикутника, утвореного відсіканням меншого прямокутника: $c + h = c + 4$ .
З умови знаємо, що більша бічна сторона $c = 4 + 25 = 29 см$ . За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного відсіканням: $c^{2} = h^{2} + (a - b)^{2}$ .

Відповідь:

Площа трапеції неможливо визначити однозначно без додаткових даних про різницю основ або кутів, оскільки умова «точка дотику поділяє більшу сторону на 4 і 25» дає лише висоту $h = 4$ та гіпотенузу $c = 29$ , але не фіксує суму основ $a + b$ . Однак, якщо припустити стандартну інтерпретацію для таких задач (де сума доріжок є висотою або іншим елементом), то тут виникає суперечність з формулою площі через невизначеність суми основ. Перевіримо ще раз: $h = 4$ , $c = 29$ . Різниця основ $a - b = 2 9^{2} - 4^{2} = 841 - 16 = 825$ . Площа $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ . Але $a + b$ не знайдено. Можливо, умова містить помилку або втрачена інформація про суму основ. Якщо ж це задача на існування, то площа залежить від вибору основ.

(Примітка: У стандартній задачі такого типу зазвичай дають, що сума доріжок дорівнює висоті або іншому параметру, але тут лише поділ сторони. Якщо вважати, що сума доріжок $4 + 25$ є сумою основ (що невірно за формулюванням), то відповідь буде інакшою. Але строго згідно з умовою: висота $h = 4$ , гіпотенуза $c = 29$ . Сума основ $a + b$ не визначена однозначно лише цими даними, тому задача має не одиничну відповідь або втрачена інформація про суму основ.)

Остаточна відповідь (з урахуванням типових помилок в умові таких задач):
Якщо взяти до уваги, що часто в таких задачах сума доріжок дорівнює висоті або іншому параметру, але тут умова не дозволяє знайти суму основ. Проте, якщо це помилка в умові і мається на увазі, що сума доріжок ( $4 + 25 = 29$ ) є сумою основ, то $S = \frac{29}{2} \cdot 4 = 58 см^{2}$ . Але це лише припущення.

Коректна відповідь:
Висота трапеції $h = 4 см$ , гіпотенуза $c = 29 см$ . Площа $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ . Сума основ $a + b$ не визначена лише за цими даними. Відповідь: дано недостатньо інформації для однозначного знаходження площі без додаткової умови про суму основ або інший кут.

(Примітка: У підручниках іноді трактують, що сума доріжок дорівнює висоті, але це суперечить геометрії. Тут найвірогідніше, що втрачена інформація про суму основ).

Завдання 17.39

Точки в правильному шестикутнику

Усередині правильного шестикутника зі стороною $1 м$ розташовано 7 точок. Доведіть, що серед них знайдуться 2 точки, відстань між якими не більша за $1 м$ .

Розв’язання

Поділимо правильний шестикутник зі стороною $1 м$ на 6 рівних правильних трикутників, сполучивши центр шестикутника з усіма його вершинами. Кожна сторона цих трикутників дорівнює $1 м$ .
За принципом шухерта (якщо розподілити 7 предметів по 6 коробках), хоча б в одному з цих трикутників знаходяться мінімум дві точки.
Оскільки всі сторони цих трикутників дорівнюють $1 м$ , то будь-які дві точки, що лежать всередині одного такого трикутника (або на його сторонах), будуть відстанню між собою меншою або рівною $1 м$ .

Відповідь:

Серед 7 точок обов'язково знайдеться пара, відстань між якими $\leq 1 м$ .