ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 203

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 17.24–17.34 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 17.24

Знаходження координат при русі

Точка $M_{1} (x; 2)$ є образом точки $M (3; y)$ при паралельному перенесенні, при якому точка $A (2; 3)$ є образом початку координат $O (0; 0)$ . Знайдіть $x$ і $y$ .

Розв’язання

Знайдемо координати вектора перенесення $a$ . Оскільки точка $A (2; 3)$ є образом початку координат $O (0; 0)$ , то $a = O A = (2 - 0; 3 - 0) = (2; 3)$ .
Застосуємо знайдені зміщення до невідомих координат точки $M (3; y)$ для отримання образу $M_{1} (x; 2)$ . Для абсциси: $x = 3 + 2 = 5$ . Для ординати: $2 = y + 3$ , звідки $y = 2 - 3 = - 1$ .

Відповідь:

$x = 5, y = - 1$

Завдання 17.25

Доведення паралельності прямих при русі

Точки $A_{1}$ і $B_{1}$ не належать прямій $A B$ і є образами відповідно точок $A$ і $B$ при паралельному перенесенні прямої $A B$ . Доведіть, що прямі $A B$ і $A_{1} B_{1}$ паралельні.

Розв’язання

Нехай $a$ — вектор паралельного перенесення. Тоді $A A_{1} = a$ і $B B_{1} = a$ .
Оскільки вектори $A A_{1}$ і $B B_{1}$ рівні, вони паралельні ( $A A_{1} ∥ B B_{1}$ ).
Чотирикутник $A B B_{1} A_{1}$ має дві протилежні сторони, які рівні і паралельні, тому він є паралелограмом (або трапецією з двома паралельними бічними сторонами, якщо точки лежать на одній прямій, що виключено умовою).
У паралелограмі протилежні сторони паралельні, отже $A B ∥ A_{1} B_{1}$ .

Відповідь:

Прямі $A B$ і $A_{1} B_{1}$ паралельні, оскільки перенесення переводить пряму в пряму, що їй паралельна.

Завдання 17.26

Існування перенесення для сторін трикутника

Чи існує паралельне перенесення рівностороннього трикутника $A B C$ , при якому сторона $A B$ є образом сторони $B C$ ? Обговоріть це питання.

Розв’язання

Умова задачі стверджує, що сторона $A B$ є образом сторони $B C$ . Це означає, що довжина образу дорівнює довжині прообразу: $∣ A B ∣ = ∣ B C ∣$ .
Трикутник $A B C$ заданий як рівносторонній, тому всі його сторони рівні: $A B = B C = A C$ .
Оскільки в рівносторонньому трикутнику довжина сторони $A B$ дорівнює довжині сторони $B C$ , то існує вектор перенесення $a$ , який зсуває відрізок $B C$ на відстань $∣ B C ∣$ у напрямку до точки $A$ , таким чином отримуючи відрізок $A B$ .

Відповідь:

Так, таке перенесення існує, оскільки в рівносторонньому трикутнику довжина сторони $A B$ дорівнює довжині сторони $B C$ , що є необхідною умовою для паралельного перенесення однієї сторони в іншу.

Завдання 17.27

Знаходження образів точок за образом середини відрізка

Дано точки $A (3; - 2)$ і $B (5; - 4)$ . При паралельному перенесенні відрізка $A B$ образом його середини є точка $M_{1} (- 4; 3)$ . Знайдіть образи точок $A$ і $B$ при такому паралельному перенесенні.

Розв’язання

Знайдемо координати середини відрізка $M$ між точками $A (3; - 2)$ і $B (5; - 4)$ . Координати середини знаходимо за формулою $\frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ та $\frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ .
$x_{M} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ , $y_{M} = \frac{- 2 + ( - 4 )}{2} = - 3$ . Отже, $M (4; - 3)$ .
Знайдемо вектор перенесення $a (a_{x}; a_{y})$ , знаючи, що образом точки $M (4; - 3)$ є точка $M_{1} (- 4; 3)$ .
$a_{x} = x_{M_{1}} - x_{M} = - 4 - 4 = - 8$ , $a_{y} = y_{M_{1}} - y_{M} = 3 - (- 3) = 6$ . Вектор перенесення $a (- 8; 6)$ .
Знайдемо образ точки $A (3; - 2)$ , додавши до її координат компоненти вектора $a$ .
$x_{A_{1}} = 3 + (- 8) = - 5$ , $y_{A_{1}} = - 2 + 6 = 4$ . Точка $A_{1} (- 5; 4)$ .
Знайдемо образ точки $B (5; - 4)$ аналогічним способом.
$x_{B_{1}} = 5 + (- 8) = - 3$ , $y_{B_{1}} = - 4 + 6 = 2$ . Точка $B_{1} (- 3; 2)$ .

Відповідь:

Образ точки $A$ — точка $(- 5; 4)$ , образ точки $B$ — точка $(- 3; 2)$ .

Завдання 17.28

Знаходження образів вершин паралелограма за образом центра симетрії

Точки $A (1; 3)$ , $B (2; 6)$ , $C (- 3; 1)$ є вершинами паралелограма $A B C D$ . При паралельному перенесенні паралелограма образом точки перетину його діагоналей (центра симетрії) є точка $O_{1} (- 2; - 4)$ . Знайдіть образи точок $A$ , $B$ , $C$ і $D$ .

Розв’язання

Знайдемо координати центра $O$ паралелограма, використовуючи точки $A (1; 3)$ і $C (- 3; 1)$ .
$x_{O} = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ , $y_{O} = \frac{3 + 1}{2} = 2$ . Центр $O (- 1; 2)$ .
Знайдемо вектор перенесення $a (a_{x}; a_{y})$ , знаючи, що образом точки $O (- 1; 2)$ є точка $O_{1} (- 2; - 4)$ .
$a_{x} = - 2 - (- 1) = - 1$ , $a_{y} = - 4 - 2 = - 6$ . Вектор $a (- 1; - 6)$ .
Знайдемо образи точок $A$ , $B$ і $C$ , додавши до їхніх координат вектор $a$ .
Для $A (1; 3)$ : $x_{A_{1}} = 1 + (- 1) = 0$ , $y_{A_{1}} = 3 + (- 6) = - 3$ . Точка $A_{1} (0; - 3)$ .
Для $B (2; 6)$ : $x_{B_{1}} = 2 + (- 1) = 1$ , $y_{B_{1}} = 6 + (- 6) = 0$ . Точка $B_{1} (1; 0)$ .
Для $C (- 3; 1)$ : $x_{C_{1}} = - 3 + (- 1) = - 4$ , $y_{C_{1}} = 1 + (- 6) = - 5$ . Точка $C_{1} (- 4; - 5)$ .
Знайдемо координати точки $D$ вихідного паралелограма, використовуючи властивість центру симетрії ( $x_{D} = 2 x_{O} - x_{B}$ , $y_{D} = 2 y_{O} - y_{B}$ ).
$x_{D} = 2 (- 1) - 2 = - 4$ , $y_{D} = 2 (2) - 6 = - 2$ . Точка $D (- 4; - 2)$ .
Знайдемо образ точки $D$ , додавши вектор $a$ .
$x_{D_{1}} = - 4 + (- 1) = - 5$ , $y_{D_{1}} = - 2 + (- 6) = - 8$ . Точка $D_{1} (- 5; - 8)$ .

Відповідь:

Образ точки $A$ — $(0; - 3)$ , образ точки $B$ — $(1; 0)$ , образ точки $C$ — $(- 4; - 5)$ , образ точки $D$ — $(- 5; - 8)$ .

Завдання 17.29

Знаходження рівняння кола після паралельного перенесення

Знайти рівняння кола, яке є образом кола $x^{2} + y^{2} = 1$ при паралельному перенесенні на вектор $a (- 3; 4)$ .

Розв’язання

Проаналізуємо рівняння вихідного кола $x^{2} + y^{2} = 1$ . Це можна записати як $(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 1^{2}$ . Отже, центр кола $O (0; 0)$ , а радіус $R = 1$ .
Знайдемо нові координати центру $O_{1}$ після перенесення на вектор $a (- 3; 4)$ .
$x_{O_{1}} = 0 + (- 3) = - 3$ , $y_{O_{1}} = 0 + 4 = 4$ . Новий центр $O_{1} (- 3; 4)$ .
Радіус кола не змінюється при паралельному перенесенні, тому $R = 1$ .
Запишемо рівняння нового кола з центром $(- 3; 4)$ і радіусом $1$ .
$(x - (- 3))^{2} + (y - 4)^{2} = 1^{2}$ , що спрощується до $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ .

Відповідь:

Рівняння образу кола: $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ .

Завдання 17.30

Рівняння параболи після перенесення

Знайти рівняння параболи, яка є образом графіка функції $y = x^{2}$ при паралельному перенесенні на вектор $a (2; - 3)$ .

Розв’язання

Запишемо формули перенесення для вектора $a (2; - 3)$ : $x_{1} = x + 2$ , $y_{1} = y - 3$ . Звідси виразимо старі координати через нові: $x = x_{1} - 2$ , $y = y_{1} + 3$ .
Підставимо ці вирази у рівняння початкової параболи $y = x^{2}$ : $(y_{1} + 3) = (x_{1} - 2)^{2}$ .
Розкриємо дужки та спростимо рівняння: $y_{1} + 3 = x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 4$ , звідси $y_{1} = x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 1$ .

Відповідь:

Рівняння параболи має вигляд $y = x^{2} - 4 x + 1$ .

Завдання 17.31

Перетворення, що залишає фігуру незмінною

Відомо, що при певному перетворенні фігура $F$ переходить у себе саму ( $F \to F$ ). Чи можна стверджувати, що це тотожне перетворення? Обговорити з однокласниками.

Розв’язання

Розглянемо приклад рівнобедреного трикутника або прямокутника. Якщо ми обернемо їх навколо осі симетрії на $18 0^{\circ}$ (або відобразимо), фігура залишається незмінною, але точки перемістилися.
Отже, факт того, що фігура збігається з образом, не гарантує, що кожна точка зайняла своє старе місце.

Відповідь:

Ні, стверджувати це не можна. Фігура може перейти в себе при обертанні чи відображенні (наприклад, рівносторонній трикутник при обертанні на $12 0^{\circ}$ ), тоді точки змінять місця, і перетворення не є тотожним.

Завдання 17.32

Побудова трапеції за основами та діагоналями

Побудувати трапецію, знаючи довжини її основ (паралельних сторін) та двох діагоналей.

Розв’язання

Проведемо пряму через вершину $A$ , паралельну діагоналі $B D$ . Нехай ця пряма перетне продовження сторони $B C$ у точці $K$ . Тоді чотирикутник $A B D K$ є паралелограмом, і $A K = B D$ .
Розглядаємо трикутник $A C K$ , де сторона $A C$ дорівнює одній діагоналі, $C K = B C + A D$ (сума основ), а кут при вершині $C$ знаходимо через властивості паралелограма або інші дані.
Примітка: У тексті завдання не наведено конкретних числових значень основ та діагоналей, тому дається загальний опис методу побудови. Для виконання в зошиті потрібно взяти довільні числа (наприклад, основи 3 і 5, діагоналі 4 і 6) і зобразити конструкцію.

Відповідь:

Метод побудови полягає у проведенні через вершину однієї основи прямої, паралельної одній із діагоналей. Ця пряма перетне продовження іншої основи. Утворений трикутник дозволяє знайти кут між діагоналями або побудувати фігуру. Оскільки числових даних немає, відповідь — опис методу: «Побудову виконують методом перенесення діагоналі в паралелограм».

Завдання 17.33

Побудова трапеції за сторонами

Побудувати трапецію, знаючи довжини її чотирьох сторін (великої основи, малої основи та двох бічних сторін).

Розв’язання

Позначимо довжини сторін: $A D = a, B C = b, A B = c, C D = d$ .
Через точку $C$ проведіть пряму $l$ , паралельну стороні $A B$ . Нехай вона перетне основу $A D$ у точці $K$ .
За властивістю паралельних прямих чотирикутник $A B C K$ є трапецією, а трикутник $C K D$ — рівнобедреним (оскільки $K C ∥ A B$ , то $∠ K C D = ∠ A D C$ та $∠ C K D = ∠ D A B$ , але простіше: якщо $A B = C D$ , то це рівнобедрена трапеція, але загалом ми будуємо будь-яку). Уточнення: Загальний метод полягає в тому, що через точку $C$ проводять пряму, паралельну $A B$ , перетинаючи $A D$ у $K$ . Тоді $A K = B C = b$ . У трикутнику $C K D$ відома сторона $C D = d$ та кут $∠ D$ (якщо він відомий) або інші елементи. Якщо задані лише 4 сторони, то побудова можлива не завжди (треба виконувати нерівність трикутника).
Корекція для загального випадку: Зазвичай у таких задачах просять побудувати рівнобедрену трапецію або дають кут. Якщо задані лише 4 сторони ( $a, b, c, d$ ), то через точку $C$ проводять пряму, паралельну $A B$ , перетинаючи продовження основи $A D$ у точці $K$ . Тоді $A K = B C = b$ . Трикутник $C K D$ має сторони $C D = d$ , $K D = A D - A K = a - b$ та сторону $C K = c$ . Будуємо цей трикутник.

Відповідь:

Побудова можлива за умови виконання нерівності трикутника для сторін $c, d$ і $(a - b)$ . Спочатку будується трикутник зі сторонами $c$ , $d$ та $∣ a - b ∣$ , а потім відкладено на основі відрізок довжиною $b$ .

Завдання 17.34

Знаходження найкоротшого шляху через річку

Знайти місце для будівництва моста $M N$ (перпендикулярного до берегів), щоб загальний шлях $A M N B$ був найменшим, де $A$ і $B$ — населені пункти по різні боки річки.

Розв’язання

Позначимо ширину річки як $w$ . Оскільки міст перпендикулярний до берегів, довжина відрізка $M N$ дорівнює $w$ і є сталою величиною.
Проведіть через точку $B$ пряму, паралельну берегам річки.
Відкладіть на цій прямій від точки $B$ відрізок $B B_{1}$ , дорівнюjący ширині річки ( $w$ ) і спрямований у бік точки $A$ (якщо береги паралельні). Точка $B_{1}$ є образом точки $B$ при перенесенні на вектор, рівний вектору $N M$ .
З'єднайте точку $A$ з точкою $B_{1}$ прямою лінією. Точка перетину цієї прямої з ближнім берегом річки (де будується міст) є точкою $M$ .
Опустіть перпендикуляр з точки $M$ на інший берег, отримаємо точку $N$ . Шлях $A M N B$ буде найкоротшим.

Відповідь:

Міст потрібно будувати так, щоб лінія $A M$ і продовження її до точки $B_{1}$ (образу $B$ ) утворювали прямий кут з берегами? Ні. Правильна відповідь: Міст будується в точці перетину прямої $A B_{1}$ (де $B_{1}$ — точка, отримана перенесенням $B$ на ширину річки) з берегом річки. Тобто шлях $A M + M N + N B$ мінімальний, коли точки $A$ , $M$ , $N$ , $B$ лежать на такій лінії, що проекція $M N$ компенсує зміщення. Коротко: проведіть пряму через $A$ і точку $B_{1}$ (де $B B_{1} ⊥ A B$ ? Ні, $B B_{1} ∥ M N$ ). Точка перетину з берегом визначає місце будівництва мосту.