Сторінка 202

Розв’язання

1. У трикутнику $ABC$ кут при вершині $\angle B=150^{\circ }$. Оскільки $AB=BC$, це рівнобедрений трикутник з основою $AC$.

2. Кути при основі рівні: $\angle A=\angle C=(180^{\circ }-150^{\circ }):2=15^{\circ }$.

3. При русі кути зберігаються, тому $△A_1{B}_1{C}_1$ також має кути $15^{\circ }$, $150^{\circ }$, $15^{\circ }$.

Розв’язання

1. Знайдемо третю сторону $AC$ за теоремою Піфагора для $△ABC$: $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{см}$.

2. Сторони трикутника $A_1{B}_1{C}_1$ дорівнюють сторонам трикутника $ABC$: $A_1{B}_1=10\text{см}$, $B_1{C}_1=6\text{см}$, $A_1{C}_1=8\text{см}$.

Розв’язання

1. Відстань від центру до точки на образі в 2 рази менша, ніж відстань до відповідної точки на початковому колі ($O{X}_1=\frac{1}{2}r$).

2. Оскільки відстані між точками не зберігаються (фігура змінилася), це перетворення не є рухом.

3. Образом кола радіуса $r$ буде коло радіуса $\frac{r}{2}$, яке має той самий центр $O$.

Розв’язання

1. За означенням паралельного перенесення точка $A_1$ — це образ точки $A$, а точка $B_1$ — образ точки $B$.

2. Оскільки паралельне перенесення є рухом, воно зберігає довжину відрізків, тому $A_1{B}_1=AB$.

3. Підставимо значення: $A_1{B}_1=5\text{см}$.

Розв’язання

1. Пункт 1: Коло переходить у коло того самого радіуса, оскільки всі точки кола віддалені на однакову відстань $r$ від центру, і ця відстань зберігається при русі. Відповідь: так.

2. Пункт 2: Сторона паралелограма може перейти в іншу сторону лише якщо вони рівні. Якщо сторони нерівні, то ні. Відповідь: можливо лише для рівних сторін.

3. Пункт 3: При русі кути фігури не змінюються. У прямокутного трикутника є кут $90^{\circ }$, а в рівносторонньому всі кути $60^{\circ }$. Відповідь: ні, це неможливо.

Розв’язання

1. Оскільки вектор перенесення $\vec{m}$ паралельний прямій $a$, то при русі кожна точка прямої $a$ зміщується вздовж цієї ж прямої або на відстань, що збігається з напрямком $a$.

2. Образом прямої є пряма, яка проходить через образ будь-якої точки прямої $a$.

3. Оскільки вектор паралельний прямій, нова пряма буде паралельною початковій (або збігатися з нею).

Розв’язання

1. Сторона $BC$ переходить у сторону $AD$, отже, вектор перенесення дорівнює вектору $\overrightarrow{BC}$.

2. У паралелограмі протилежні сторони рівні і паралельні, тому $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

3. Отже, шуканий вектор — це $\overrightarrow{BC}$ (або еквівалентний йому $\overrightarrow{AD}$).

Розв’язання

1. Якщо образом прямої $a$ є сама собі, то кожна точка прямої переходить у точку цієї ж прямої. Це можливо лише при нульовому векторі перенесення ($\vec{0}$). Отже, один варіант.

2. Якщо образом прямої $a$ є пряма $b$, паралельна їй, то будь-який вектор $\vec{v}$, що не дорівнює нулю і напрямлений вздовж прямої $a$ (паралельно їй), перенесе пряму $a$ на пряму $b$. Оскільки вектор може мати різну довжину та напрямок (вправо/вліво, вгору/вниз), таких векторів нескінченно багато.

Розв’язання

1. Для точки $A(-2;3)$:
   $x_A^{\prime }=-2+(-1)=-3$;
   $y_A^{\prime }=3+(-3)=0$.
   Образ точки $A$: $A_1(-3;0)$.

2. Для точки $B(1;-4)$:
   $x_B^{\prime }=1+(-1)=0$;
   $y_B^{\prime }=-4+(-3)=-7$.
   Образ точки $B$: $B_1(0;-7)$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину відрізка $AB$ за формулою відстані між двома точками: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{(-2-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.

2. Знайдемо довжину відрізка $A_1{B}_1$: $A_1{B}_1=\sqrt{(x_{B_1}-x_{A_1}{)}^2+(y_{B_1}-y_{A_1}{)}^2}=\sqrt{(1-4{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

3. Порівнюємо отримані значення: $\sqrt{13}\ne 5$. Оскільки відстань між точками змінилася, таке перетворення не є паралельним перенесенням.

Розв’язання

1. Запишемо систему рівнянь, використовуючи умову задачі ($p=2$, $q=-1$, $x_1=-3$, $y_1=4$):
   $\{\begin{array}{l}-3=x+2\\ 4=y+(-1)\end{array}$

2. Розв'яжемо перше рівняння щодо $x$: $x=-3-2=-5$.

3. Розв'яжемо друге рівняння щодо $y$: $y=4-(-1)=4+1=5$.