ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 201

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 17.7–17.12 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 17.7

Перетворення півкола на пряму

Пряма $a$ дотикається до півкола $A B$ із центром у точці $O$ . Потрібно знайти перетворення, при якому півколо $A B$ (без точок $A$ та $B$ ) переходить у пряму $a$ .

Розв’язання

Розглянемо центральне проєктування (або перетворення Ганкеля) з центром у точці $O$ .
Проводимо промені від точки $O$ крізь кожну точку півкола до прямої $a$ . Оскільки пряма $a$ дотикається до півкола, вона є образом діаметра $A B$ , якщо розглядати специфічне перетворення, що «розтягує» криву.
Простіше: візьмемо афінне перетворення (проегування), яке переводить півколо в пряму. Наприклад, проєкція на площині за певним вектором або розглядання півкола як границі еліпса при зведенні однієї осі до нуля.

Відповідь:

Можна задати центральне проекцію з центром у точці $O$ на пряму, що проходить через дотичну точку, або афінне перетворення, яке переводить колову криву в пряму.

Завдання 17.8

Перетворення відрізка

A B

на

C D

Дано відрізок $A B$ та відрізок $C D$ . Потрібно знайти перетворення, при якому $A B$ переходить у $C D$ .

Розв’язання

За умовою (якщо взяти довільні точки) відрізки можуть бути нерівними, тому найзагальніше перетворення — подібність.
Обираємо центр подібності $S$ на прямій $A B$ і $C D$ так, щоб відношення $S A / S C = S B / S D$ .
Перетворенням є центральна подібність (гомотетія) з коефіцієнтом $k = C D / A B$ .

Відповідь:

Центральна подібність (гомотетія) з деяким центром та коефіцієнтом $k = \frac{C D}{A B}$ .

Завдання 17.9

Можливість руху відрізків різної довжини

Чи може при русі (переміщенні) відрізок $A B$ перейти у відрізок $A_{1} B_{1}$ , якщо: 1) $A B = 6 см$ , $A_{1} B_{1} = 7 см$ ; 2) $A B = 8 см$ , $A_{1} B_{1} = 8 см$ .

Розв’язання

У першому випадку $6 см \neq = 7 см$ , тому рух неможливий.
У другому випадку $8 см = 8 см$ , тому рух можливий (це паралельне перенесення).

Відповідь:

1) Ні; 2) Так.

Завдання 17.10

Зміна градусної міри кута при русі

Чи може при русі (паралельному перенесенні): 1) образ кута $M$ бути кутом $M_{1}$ , якщо $∠ M = 3 8^{\circ}$ , $∠ M_{1} = 3 8^{\circ}$ ; 2) образ кута $M$ бути кутом $M_{1}$ , якщо $∠ M = 6 4^{\circ}$ , $∠ M_{1} = 6 5^{\circ}$ ?

Розв’язання

Розглянемо пункт 1. Оскільки $∠ M = ∠ M_{1} = 3 8^{\circ}$ , градусні міри збігаються. Це означає, що існує рух, при якому кут $M$ переходить у кут $M_{1}$ .
Розглянемо пункт 2. Оскільки $∠ M = 6 4^{\circ}$ і $∠ M_{1} = 6 5^{\circ}$ , градусні міри не збігаються ( $64 \neq = 65$ ). Рух зберігає розмір кута, тому такий перехід неможливий.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні.

Завдання 17.11

Властивості рівнобічної трапеції при русі

Чотирикутник $A B C D$ — рівнобічна трапеція з основами $B C$ і $A D$ . Чи може при русі: 1) образом відрізка $A B$ бути відрізок $C D$ ; 2) образом відрізка $B C$ бути відрізок $A D$ ; 3) образом кута $B A D$ бути кут $C D A$ ?

Розв’язання

Пункт 1: Оскільки $A B C D$ — рівнобічна трапеція, то бічні сторони рівні ( $A B = C D$ ). Тому існує рух (симетрія відносно середини висоти), при якому сторона $A B$ переходить у сторону $C D$ .
Пункт 2: Основами трапеції є відрізки різної довжини ( $A D \neq = B C$ ). Оскільки при русі довжина відрізка не змінюється, образом меншої основи $B C$ не може бути більша основа $A D$ .
Пункт 3: Кути при основі рівнобічної трапеції рівні ( $∠ B A D = ∠ C D A$ ). Тому існує рух, при якому кут $B A D$ переходить у кут $C D A$ .

Відповідь:

1) Так; 2) Ні; 3) Так.

Завдання 17.12

Властивості квадрата при русі

Чотирикутник $A B C D$ — квадрат. Чи може при русі: 1) образом сторони $A B$ бути сторона $A D$ ; 2) образом кута $A B C$ бути кут $B A D$ ; 3) образом кута $A B D$ бути кут $B C D$ ?

Розв’язання

Пункт 1: У квадраті всі сторони рівні ( $A B = A D$ ). Тому існує рух (обертання навколо точки $A$ або відображення), при якому сторона $A B$ переходить у сторону $A D$ .
Пункт 2: Кути квадрата прямі ( $∠ A B C = ∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ). Оскільки кути рівні, існує рух, що переводить кут $A B C$ в кут $B A D$ .
Пункт 3: Розглянемо трикутники $A B D$ і $B C D$ . Вони рівні за трьома сторонами ( $A B = B C$ , $A D = C D$ , спільна діагональ $B D$ ). Кут $A B D$ — це половина прямого кута, тобто $4 5^{\circ}$ . Аналогічно $∠ B C D = 9 0^{\circ}$ , але в умові йдеться про кут $B C D$ всередині трикутника? Ні, умова каже «кут $B C D$ », це кут при вершині $C$ , який дорівнює $9 0^{\circ}$ . Кут $A B D$ дорівнює $4 5^{\circ}$ . Оскільки $4 5^{\circ} \neq = 9 0^{\circ}$ , ці кути не можуть бути образами одне одного.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні.