ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 200

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 17.2–17.6 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 5. Геометричні перетворення

Завдання 17.2

Перпендикулярне проектування відрізка

На рисунку 17.7 зображено відрізок $A B$ і пряму $a$ . Кожній точці $X$ відрізка $A B$ поставлено у відповідність основу перпендикуляра, опущеного з точки $X$ на пряму $a$ . Побудувати образ точки $E$ та прообраз точки $F$ при цьому перетворенні. Визначити, чи існують точки прямої $a$ , які не мають прообразу. Побудувати образ відрізка $A B$ .

Розв’язання

Проведіть через точку $E$ пряму, перпендикулярну до прямої $a$ . Точка перетину цих прямих і є образом точки $E$ . Позначте її як $E^{'}$ .
Оскільки точка $F$ лежить на прямій $a$ , то основа перпендикуляра, опущеного з неї на пряму $a$ , — це сама точка $F$ . Отже, прообразом точки $F$ є точка $F$ (вона є власним образом).
Щоб побудувати образ відрізка $A B$ , знайдіть образи його кінців: точку $A^{'}$ (проекцію $A$ ) та точку $B^{'}$ (проекцію $B$ ). З'єднайте ці точки відрізком $A^{'} B^{'}$ . Цей відрізок є образом відрізка $A B$ .

Відповідь:

Образом точки $E$ є точка $E^{'}$ , прообразом точки $F$ є сама точка $F$ , образ відрізка $A B$ — це відрізок $A^{'} B^{'}$ . Точки прямої $a$ , які не мають прообразу, не існують (кожна точка прямої $a$ є прообразом себе).

Завдання 17.3

Паралельне перенесення фігур

Побудувати образи відрізка $A B$ та променя $O M$ при паралельному перенесенні на вектор $a$ (рис. 17.8). Вектор $a$ зображений червоним кольором і має координати, що відповідають зміщенню на 2 клітинки вправо та 1 клітинку вниз (або аналогічно за сіткою).

Розв’язання

Проведіть через точку $A$ пряму, паралельну до вектора $a$ . Відкладіть на ній відрізок $A A_{1}$ , рівний довжині вектора $a$ (за сіткою це 2 клітинки вправо і 1 вниз). Точка $A_{1}$ — образ точки $A$ .
Проведіть через точку $B$ пряму, паралельну до вектора $a$ . Відкладіть відрізок $B B_{1}$ , рівний $a$ . Точка $B_{1}$ — образ точки $B$ . З'єднайте $A_{1}$ і $B_{1}$ — це образ відрізка $A B$ .
Проведіть через точку $O$ пряму, паралельну до вектора $a$ . Відкладіть на ній відрізок $O O_{1}$ , рівний $a$ . Точка $O_{1}$ — образ точки $O$ . Промінь, що виходить з $O_{1}$ і паралельний променю $O M$ , є образом променя $O M$ .

Відповідь:

Образ відрізка $A B$ — це відрізок $A_{1} B_{1}$ , образ променя $O M$ — це промінь, що виходить з точки $O_{1}$ і йде у напрямку вектора $a$ .

Завдання 17.4

Знаходження прообразу при паралельному перенесенні

На рисунку 17.9 пряма $a$ є образом деякої прямої при паралельному перенесенні на вектор $m$ . Побудувати прообраз прямої $a$ . Вектор $m$ зображений червоним кольором і спрямований вниз-вліво.

Розв’язання

Визначте напрям вектора $m$ за сіткою (наприклад, 2 клітинки вниз і 1 вліво). Тоді вектор $- m$ спрямований у протилежний бік (2 клітинки вгору і 1 вправо).
Проведіть через довільну точку прямої $a$ пряму, паралельну до вектора $- m$ . Відкладіть на ній відрізок, рівний $∣ m ∣$ , у напрямку $- m$ , щоб знайти відповідну точку образу.
Проведіть через отриману точку пряму, паралельну до прямої $a$ . Ця пряма і є шуканим прообразом.

Відповідь:

Прообразом прямої $a$ є пряма, яка проходить на відстань вектора $m$ від неї у протилежному напрямку (паралельна прямій $a$ ).

Завдання 17.5

Відкладання вектора від точки

Коло з центром $O_{1}$ є образом кола з центром $O$ при паралельному перенесенні на вектор $a$ (рис. 17.10). Потрібно відкласти вектор $a$ від точки $M$ .

Розв’язання

Проведіть пряму, що проходить через точку $O$ і точку $O_{1}$ . Це вектор $a$ .
Проведіть через точку $M$ пряму, паралельну до прямої $O O_{1}$ .
На цій прямій відкладіть відрізок, рівний довжині $O O_{1}$ , у тому ж напрямку (від $M$ до нової точки).

Відповідь:

Вектор $a$ відкладено від точки $M$ як вектор, що з'єднує $M$ з точкою, отриманою паралельним перенесенням.

Завдання 17.6

Перенесення кола та рівняння образу

Побудувати образ кола $x^{2} + y^{2} = 4$ при перенесенні на вектори: 1) $a (2; 0)$ ; 2) $b (0; - 1)$ ; 3) $c (2; - 1)$ . Записати рівняння образу.

Розв’язання

Визначте координати центру початкового кола: $(0; 0)$ . Радіус $R = 4 = 2$ .
Для вектора $a (2; 0)$ новий центр: $(0 + 2; 0 + 0) = (2; 0)$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ .
Для вектора $b (0; - 1)$ новий центр: $(0 + 0; 0 - 1) = (0; - 1)$ . Рівняння: $x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ .
Для вектора $c (2; - 1)$ новий центр: $(0 + 2; 0 - 1) = (2; - 1)$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ .

Відповідь:

1) Центр $(2; 0)$ , рівняння $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ ; 2) Центр $(0; - 1)$ , рівняння $x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ; 3) Центр $(2; - 1)$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ .