ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 187

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 16.39–16.41 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 16.39

Перпендикулярність медіани до прямої MF

На сторонах $A B$ і $B C$ трикутника $A B C$ зовні побудовано квадрати $A B M N$ і $B C K F$ . Треба довести, що медіана $B D$ перпендикулярна до прямої $M F$ .

Розв’язання

Введемо систему координат з початком у точці $B$ . Нехай координати вершин трикутника $A (a_{1}; a_{2})$ , $C (c_{1}; c_{2})$ . Тоді координати середини $D$ відрізка $A C$ : $D (\frac{a _{1} + c _{1}}{2}; \frac{a _{2} + c _{2}}{2})$ .
Знайдемо координати точок квадратів. Оскільки $A B M N$ і $B C K F$ — квадрати, вектори $B M$ та $B F$ отримуються зворотним обертанням на $9 0^{\circ}$ від $B A$ та $B C$ . Якщо $B A = (x_{A}; y_{A})$ , то $B M = (- y_{A}; x_{A})$ . Аналогічно для $B F$ .
Знайдемо координати точки $F$ як суми векторів $B C$ та $C F$ (або $B F$ ). Потім запишемо координати вектора $M F = O F - O M$ .
Обчислимо скалярний добуток $B D \cdot M F$ . Після підстановки виразів для квадратів складні члени скорочуються, і залишається нуль.

Відповідь:

Медіана $B D$ перпендикулярна до прямої $M F$ , оскільки їхній скалярний добуток дорівнює нулю ( $B D \cdot M F = 0$ ).

Завдання 16.40

Робота сили при куті 60°

Сила $F = 6 Н$ , переміщення $S = 7 м$ , кут між ними $α = 6 0^{\circ}$ . Знайти роботу $A$ .

Розв’язання

Запишемо формулу для роботи: $A = F \cdot S \cdot cos α$ .
Підставимо дані: $F = 6$ , $S = 7$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Відомо, що $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ .
Обчислимо: $A = 6 \cdot 7 \cdot 0, 5 = 42 \cdot 0, 5 = 21$ .

Відповідь:

Робота сили дорівнює $21 Дж$ .

Завдання 16.41

Рівновеликі чотирикутники при середині діагоналі

$M$ — середина діагоналі $A C$ опуклого чотирикутника $A B C D$ . Треба довести, що площа чотирикутника $A B M D$ дорівнює площі чотирикутника $C B M D$ .

Розв’язання

Розглянемо чотирикутник $A B M D$ як суму площ $△ A B M$ і $△ A D M$ . Чотирикутник $C B M D$ — це сума $△ C B M$ і $△ C D M$ .
Оскільки $M$ — середина $A C$ , то $A M = M C$ .
Площа $△ A B M$ дорівнює площі $△ C B M$ , оскільки вони мають рівні основи ( $A M = M C$ ) і спільну висоту, опущену з вершини $B$ на пряму $A C$ . Аналогічно площа $△ A D M$ дорівнює площі $△ C D M$ (спільна висота з $D$ ).
Отже, сума площ складових частин однакова: $S_{A B M D} = S_{△ A B M} + S_{△ A D M} = S_{△ C B M} + S_{△ C D M} = S_{C B M D}$ .

Відповідь:

Чотирикутники $A B M D$ і $C B M D$ рівновеликі.