Сторінка 186

Розв’язання

1. Розкриваємо дужки: $(\vec{a}-2\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{b}\cdot \vec{a}-2\vec{b}\cdot \vec{b}$.

2. Скорочуємо подібні доданки: ${\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-2{\vec{b}}^2$.

3. Знаходимо квадрати векторів та їхній добуток: $|\vec{a}{|}^2=1$, $|\vec{b}{|}^2=1$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }=-0,5$.

4. Підставляємо значення: $1-(-0,5)-2(1)=1+0,5-2=-0,5$.

Розв’язання

1. Знаходимо скалярний добуток $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos 150^{\circ }=\sqrt{3}\cdot 1\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-1,5$.

2. Обчислюємо квадрат модуля: $|2\vec{a}+5\vec{b}{|}^2=(2\vec{a}+5\vec{b})\cdot (2\vec{a}+5\vec{b})=4|\vec{a}{|}^2+20(\vec{a}\cdot \vec{b})+25|\vec{b}{|}^2$.

3. Підставляємо числа: $4(3)+20(-1,5)+25(1)=12-30+25=7$.

4. Знаходимо модуль: $\sqrt{7}$.

Розв’язання

1. Знаходимо скалярний добуток $\vec{m}\cdot \vec{n}=1\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot 0,5=1$.

2. Обчислюємо квадрат модуля: $|2\vec{m}-3\vec{n}{|}^2=4|\vec{m}{|}^2-12(\vec{m}\cdot \vec{n})+9|\vec{n}{|}^2$.

3. Підставляємо значення: $4(1)-12(1)+9(4)=4-12+36=28$.

4. Знаходимо модуль: $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати векторів сторін: $\overrightarrow{AB}=(4-3;0-(-2))=(1;2)$, $\overrightarrow{BC}=(2-4;1-0)=(-2;1)$, $\overrightarrow{CD}=(1-2;-1-1)=(-1;-2)$, $\overrightarrow{DA}=(3-1;-2-(-1))=(2;-1)$.

2. Обчислимо скалярні добутки сусідніх векторів: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=1\cdot (-2)+2\cdot 1=-2+2=0$; $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=(-2)\cdot (-1)+1\cdot (-2)=2-2=0$.

3. Оскільки сусідні сторони перпендикулярні, чотирикутник є прямокутником.

Розв’язання

1. Знайдемо координати векторів сторін: $\overrightarrow{AB}=(-2-(-1);5-4)=(-1;1)$, $\overrightarrow{BC}=(-1-(-2);6-5)=(1;1)$, $\overrightarrow{CD}=(0-(-1);5-6)=(1;-1)$, $\overrightarrow{DA}=(-1-0;4-5)=(-1;-1)$.

2. Перевіримо перпендикулярність: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$; $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$. Сусідні сторони перпендикулярні.

3. Знайдемо довжини сторін: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Сторони рівні.

Розв’язання

1. Обчислимо скалярний добуток: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+(-2)\cdot (-3)=2+6=8$.

2. Знайдемо довжини векторів: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

3. Знайдемо косинус кута: $\cos \alpha =\frac{8}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{13}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$.

Розв’язання

1. Обчислимо скалярний добуток: $\vec{m}\cdot \vec{n}=5\cdot 2+(-1)\cdot 4=10-4=6$.

2. Знайдемо довжину вектора $\vec{m}$: $|\vec{m}|=\sqrt{5^2+(-1{)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$.

3. Знайдемо довжину вектора $\vec{n}$: $|\vec{n}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

4. Обчислимо косинус кута: $\cos \alpha =\frac{6}{\sqrt{26}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{130}}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати векторів сторін: $\overrightarrow{AB}=(-2-1;3-6)=(-3;-3)$, $\overrightarrow{BC}=(2-(-2);-1-3)=(4;-4)$, $\overrightarrow{CA}=(1-2;6-(-1))=(-1;7)$.

2. Обчислимо довжини сторін: $c=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, $a=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$, $b=|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

3. Знайдемо косинус кута при вершині $A$ (між $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$): $\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}$. Вектор $\overrightarrow{AC}=(2-1;-1-6)=(1;-7)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)\cdot 1+(-3)\cdot (-7)=-3+21=18$. Отже, $\cos A=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{18}{30}=0,6$.

4. Знайдемо косинус кута при вершині $B$ (між $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$): $\overrightarrow{BA}=(3;3)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=3\cdot 4+3\cdot (-4)=12-12=0$. Отже, $\cos B=0$, кут $B$ прямий.

5. Знайдемо косинус кута при вершині $C$ (між $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{CA}$): $\overrightarrow{CB}=(-4;4)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=(-4)\cdot (-1)+4\cdot 7=4+28=32$. Отже, $\cos C=\frac{32}{4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{32}{40}=0,8$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати векторів сторін: $\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3}-0;6-6)=(4\sqrt{3};0)$, $\overrightarrow{BC}=(3\sqrt{3}-4\sqrt{3};3-6)=(-\sqrt{3};-3)$, $\overrightarrow{CA}=(0-3\sqrt{3};6-3)=(-3\sqrt{3};3)$.

2. Знайдемо довжини сторін: $c=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{48+0}=4\sqrt{3}$, $a=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $b=|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$.

3. Обчислимо косинус кута при вершині $A$ (між $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$): $\overrightarrow{AC}=(3\sqrt{3};-3)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}+0\cdot (-3)=36$. Отже, $\cos A=\frac{36}{4\sqrt{3}\cdot 6}=\frac{36}{24\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Кут $A=30^{\circ }$.

4. Обчислимо косинус кута при вершині $B$ (між $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$): $\overrightarrow{BA}=(-4\sqrt{3};0)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-4\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{3})+0\cdot (-3)=12$. Отже, $\cos B=\frac{12}{4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{12}{24}=0,5$. Кут $B=60^{\circ }$.

5. Обчислимо косинус кута при вершині $C$ (між $\overrightarrow{CB}$ і $\overrightarrow{CA}$): $\overrightarrow{CB}=(\sqrt{3};3)$. Скалярний добуток $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=\sqrt{3}\cdot (-3\sqrt{3})+3\cdot 3=-9+9=0$. Отже, $\cos C=0$, кут $C=90^{\circ }$.

Розв’язання

1. Розкриваємо дужки у виразі скалярного добутку:
   $(\vec{m}+3\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})={\vec{m}}^2-\vec{m}\cdot \vec{n}+3\vec{n}\cdot \vec{m}-3{\vec{n}}^2=|\vec{m}{|}^2+2\vec{m}\cdot \vec{n}-3|\vec{n}{|}^2$.
   Підставляємо відомі значення $|\vec{m}|=2$, $|\vec{n}|=3$ та результат рівності $-11$:
   $2^2+2\vec{m}\cdot \vec{n}-3\cdot 3^2=-11$.
   $4+2\vec{m}\cdot \vec{n}-27=-11$.
   $2\vec{m}\cdot \vec{n}-23=-11\Rightarrow 2\vec{m}\cdot \vec{n}=12\Rightarrow \vec{m}\cdot \vec{n}=6$.

2. Знаходимо косинус кута $\alpha$ між векторами за формулою:
   $\cos \alpha =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{6}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$.

Розв’язання

1. Розкриваємо дужки:
   $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+2\vec{b})={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{a}+2{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+3\vec{a}\cdot \vec{b}+2|\vec{b}{|}^2$.
   Підставляємо умову $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ та значення добутку $\frac{3}{2}$:
   $1^2+3\vec{a}\cdot \vec{b}+2\cdot 1^2=\frac{3}{2}$.
   $1+3\vec{a}\cdot \vec{b}+2=\frac{3}{2}\Rightarrow 3+3\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{3}{2}$.
   $3\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{3}{2}-3=-\frac{3}{2}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{1}{2}$.

2. Знаходимо кут $\alpha$ за формулою косинуса:
   $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-0,5}{1\cdot 1}=-0,5$.
   Кут, косинус якого дорівнює $-0,5$, це $120^{\circ }$.

Розв’язання

1. Введемо систему координат з початком у вершині $C(0;0)$. Оскільки $AC=1$ і $BC=\sqrt{2}$, координати вершин: $A(1;0)$, $B(0;\sqrt{2})$, $C(0;0)$.

2. Знаходимо координати середин сторін для кінців медіан:
   $K$ — середина $BC$: $K=(\frac{0+0}{2};\frac{\sqrt{2}+0}{2})=(0;\frac{\sqrt{2}}{2})$.
   $M$ — середина $AC$: $M=(\frac{1+0}{2};\frac{0+0}{2})=(\frac{1}{2};0)$.

3. Записуємо вектори $\overrightarrow{AK}$ і $\overrightarrow{CM}$:
   $\overrightarrow{AK}=K-A=(0-1;\frac{\sqrt{2}}{2}-0)=(-1;\frac{\sqrt{2}}{2})$.
   $\overrightarrow{CM}=M-C=(\frac{1}{2}-0;0-0)=(\frac{1}{2};0)$.

4. Обчислюємо скалярний добуток $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{CM}$:
   $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{CM}=(-1)\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0=-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}$.
   Оскільки скалярний добуток не дорівнює нулю, медіани не перпендикулярні. Умова завдання містить помилку або я розумію це як перевірку на правдивість твердження. Але якщо в умові сказано "Доведіть", то можливо я помилився у визначенні кінців медіан? Перевіримо: $AK$ — медіана до $BC$, значить $K$ на $BC$. $CM$ — медіана до $AC$, значить $M$ на $AC$. Обчислення вірні. Скалярний добуток $-0,5\ne 0$.

Розв’язання

1. Запишемо вектори сторін через радіуси-вектори від точки $O$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$.

2. Знайдемо скалярний добуток $(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})$, розкриваючи дужки: $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}$.

3. Оскільки діагоналі перпендикулярні, скалярний добуток будь-яких векторів, що лежать на них ($\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA}$), дорівнює нулю. Отже, весь вираз для добутку $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}$ дорівнює $0$.

4. Оскільки скалярний добуток векторів $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ дорівнює нулю, ці вектори перпендикулярні.

Розв’язання

1. Позначимо кут $\angle ABD=\alpha$. У прямокутному трикутнику $DBC$ ($\angle DBC=90^{\circ }$) маємо $DC=BD\cdot \tan (\angle DBC)$ — це не підходить, бо ми не знаємо іншого кута. Спробуємо через теорему косинусів у $△ABD$.

2. Нехай $BD=x$. Тоді $AB=\frac{4}{\sqrt{3}}x$, а $AD=DC=y$. У прямокутному трикутнику $DBC$ маємо $B{C}^2+B{D}^2=D{C}^2$, тобто $B{C}^2+x^2=y^2$.

3. У трикутнику $ABD$ за теоремою косинусів: $A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos \alpha$. Підставимо вирази через $x$: $y^2=(\frac{4}{\sqrt{3}}x{)}^2+x^2-2\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}x\cdot x\cdot \cos \alpha$.

4. З іншого боку, у трикутнику $ABC$ за теоремою косинусів для сторони $AC$: $AC=2y$. Але простіше використати властивість медіани: $A{B}^2+B{C}^2=5B{D}^2$ (формула Аполлонія).
   $A{B}^2+B{C}^2=5B{D}^2\Rightarrow (\frac{4}{\sqrt{3}}x{)}^2+B{C}^2=5x^2$.
   З прямокутного трикутника $DBC$: $B{C}^2=D{C}^2-B{D}^2=y^2-x^2$.
   Підставимо: $\frac{16}{3}{x}^2+(y^2-x^2)=5x^2\Rightarrow y^2=5x^2-\frac{16}{3}{x}^2+x^2=\frac{14}{3}{x}^2$.
   Тепер повернемося до $△ABD$: $y^2=\frac{16}{3}{x}^2+x^2-\frac{8}{\sqrt{3}}{x}^2\cos \alpha$.
   $\frac{14}{3}{x}^2=\frac{19}{3}{x}^2-\frac{8}{\sqrt{3}}{x}^2\cos \alpha$.
   $-\frac{5}{3}{x}^2=-\frac{8}{\sqrt{3}}{x}^2\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha =\frac{5}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{5\sqrt{3}}{24}$.
   Це число не є косинусом стандартного кута. Перевіримо умову: $BD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB\Rightarrow AB=\frac{4}{\sqrt{3}}BD$.
   Можливо, простіше через координати або вектори. Нехай $B$ — початок $(0,0)$. $D(0,x)$, $C(y,0)$ (оскільки $\angle DBC=90^{\circ }$). $A(-y,2x)$? Ні, $BD$ медіана, значить $D$ середина $AC$.
   Координати: $B(0,0)$. Оскільки $\angle DBC=90^{\circ }$, візьмемо $BC$ по осі $X$, $BD$ по осі $Y$. $C(a,0)$, $D(0,b)$. Тоді $A(-a,2b)$.