ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 185

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 16.19

Знаходження невідомої координати вектора

При якому значенні $y$ скалярний добуток векторів $a (4; y)$ і $b (3; - 2)$ дорівнює $14$ ?

Розв’язання

Підставимо координати у формулу скалярного добутку: $4 \cdot 3 + y \cdot (- 2) = 14$ .
Спростимо вираз: $12 - 2 y = 14$ .
Перенесемо числові доданки в інший бік рівняння: $- 2 y = 14 - 12$ , отже, $- 2 y = 2$ .
Знайдемо значення $y$ : $y = 2 : (- 2) = - 1$ .

Відповідь:

$y = - 1$

Умова перпендикулярності векторів

При якому значенні $x$ вектори $a (3; x)$ і $b (1; 9)$ перпендикулярні?

Розв’язання

Запишемо умову перпендикулярності через координати: $3 \cdot 1 + x \cdot 9 = 0$ .
Спростимо рівняння: $3 + 9 x = 0$ .
Знайдемо значення $x$ : $9 x = - 3$ , звідки $x = - \frac{3}{9} = - \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

$x = - \frac{1}{3}$

Знаходження значень параметра для перпендикулярності

При яких значеннях $x$ вектори $a (2 x; - 3)$ і $b (x; 6)$ перпендикулярні?

Розв’язання

Запишемо рівняння скалярного добутку, що дорівнює нулю: $(2 x) (x) + (- 3) (6) = 0$ .
Спростимо вираз: $2 x^{2} - 18 = 0$ .
Розділимо рівняння на 2: $x^{2} - 9 = 0$ , звідки $x^{2} = 9$ .
Знайдемо корені рівняння: $x_{1} = 3$ і $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

$x = 3$ або $x = - 3$

Координати колінеарного вектора

Знайти координати вектора $b$ , якщо він колінеарний вектору $a (3; - 4)$ і скалярний добуток $a \cdot b = - 100$ .

Розв’язання

Запишемо координати вектора $b$ через невідому $k$ : $b = (3 k; - 4 k)$ .
Складемо рівняння скалярного добутку: $3 \cdot 3 k + (- 4) \cdot (- 4 k) = - 100$ .
Розкриємо дужки та розв'яжемо рівняння: $9 k + 16 k = - 100 \Rightarrow 25 k = - 100 \Rightarrow k = - 4$ .
Знайдемо координати вектора $b$ , підставивши знайдене значення $k$ : $b = (3 \cdot (- 4); - 4 \cdot (- 4)) = (- 12; 16)$ .

Відповідь:

$b (- 12; 16)$

Доведення рівності модулів векторів

Дано, що вектори $a + b$ і $a - b$ перпендикулярні. Потрібно довести, що $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .

Розв’язання

Оскільки вектори перпендикулярні, їхній добуток дорівнює нулю: $(a + b) \cdot (a - b) = 0$ .
Розкриємо дужки за розподільною властивістю: $a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = 0$ .
Оскільки $a \cdot b = b \cdot a$ , ці доданки скорочуються, а $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ і $b \cdot b = ∣ b ∣^{2}$ . Отримуємо: $∣ a ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0$ .
Звідси випливає, що $∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2}$ , отже, довжини векторів рівні: $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ .

Відповідь:

Доведено

Обчислення скалярного добутку виразу

Відомо, що $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 22$ , кут між векторами $∠ (a, b) = 4 5^{\circ}$ . Знайти значення виразу $(2 a - b) \cdot b$ .

Розв’язання

Знайдемо скалярний добуток $a \cdot b$ : $3 \cdot 22 \cdot cos 4 5^{\circ} = 62 \cdot \frac{2}{2} = 6$ .
Знайдемо скалярний квадрат вектора $b$ : $b \cdot b = ∣ b ∣^{2} = (22)^{2} = 4 \cdot 2 = 8$ .
Розкриємо дужки у виразі: $(2 a - b) \cdot b = 2 (a \cdot b) - (b \cdot b)$ .
Підставимо знайдені значення: $2 \cdot 6 - 8 = 12 - 8 = 4$ .

Відповідь:

$4$