ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 184

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 16.7–16.18 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 16.7

Скалярний квадрат вектора

Знайти скалярний квадрат вектора, якщо його модуль дорівнює: 1) $9$ ; 2) $7$ .

Розв’язання

Для першого випадку модуль вектора $∣ a ∣ = 9$ . Його квадрат дорівнює $9^{2} = 81$ .
Для другого випадку модуль вектора $∣ b ∣ = 7$ . Його квадрат дорівнює $(7)^{2} = 7$ .

Відповідь:

1) $81$ ; 2) $7$ .

Завдання 16.8

Умова рівності скалярного добутку добутку модулів

Обговорити, чи може скалярний добуток векторів дорівнювати добутку їхніх модулів, і за якої умови це можливо.

Розв’язання

Запишемо формулу скалярного добутку: $a b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$ .
Щоб $a b$ дорівнювало $∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ , множник $cos α$ має дорівнювати $1$ .
Косинус кута дорівнює $1$ лише тоді, коли сам кут дорівнює $0^{\circ}$ . Це означає, що вектори повинні бути співнапрямленими (і не нульовими).

Відповідь:

Так, це можливо. Умова: вектори мають бути співнапрямленими (кут між ними дорівнює $0^{\circ}$ ).

Завдання 16.9

Знаходження скалярного добутку за координатами

Знайти скалярний добуток векторів $a$ і $b$ , якщо:
1) $a (2; - 1)$ , $b (1; - 3)$ ;
2) $a (- 5; 1)$ , $b (2; 7)$ ;
3) $a (1; - 4)$ , $b (8; 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $x_{1} = 2, y_{1} = - 1, x_{2} = 1, y_{2} = - 3$ . Добуток: $2 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 3) = 2 + 3 = 5$ .
Для пункту 2: $x_{1} = - 5, y_{1} = 1, x_{2} = 2, y_{2} = 7$ . Добуток: $(- 5) \cdot 2 + 1 \cdot 7 = - 10 + 7 = - 3$ .
Для пункту 3: $x_{1} = 1, y_{1} = - 4, x_{2} = 8, y_{2} = 2$ . Добуток: $1 \cdot 8 + (- 4) \cdot 2 = 8 - 8 = 0$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $- 3$ ; 3) $0$ .

Завдання 16.10

Скалярний добуток векторів за координатами

Знайти скалярний добуток векторів $m$ і $n$ , якщо:
1) $m (3; - 2)$ , $n (1; 0)$ ;
2) $m (\frac{3}{2}; - 1)$ , $n (6; 9)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $m \cdot n = 3 \cdot 1 + (- 2) \cdot 0 = 3 + 0 = 3$ .
Для пункту 2: $m \cdot n = \frac{3}{2} \cdot 6 + (- 1) \cdot 9 = 9 - 9 = 0$ .

Відповідь:

1) $3$ ; 2) $0$ .

Завдання 16.11

Скалярний квадрат вектора

Знайти скалярний квадрат вектора для:
1) $m (- 2; 1)$ ;
2) $n (3; 3)$ .

Розв’язання

Для вектора $m$ : $(- 2)^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ .
Для вектора $n$ : $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $18$ .

Завдання 16.12

Обчислення скалярного квадрата вектора

Знайти скалярний квадрат вектора для:
1) $a (- 4; 0)$ ;
2) $b (5; 2)$ .

Розв’язання

Для вектора $a$ : $(- 4)^{2} + 0^{2} = 16 + 0 = 16$ .
Для вектора $b$ : $5^{2} + 2^{2} = 25 + 4 = 29$ .

Відповідь:

1) $16$ ; 2) $29$ .

Завдання 16.13

Скалярний добуток векторів у прямокутному трикутнику

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = B C = 1$ . Знайдіть скалярний добуток векторів: 1) $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину гіпотенузи $A B$ за теоремою Піфагора: $A B = A C^{2} + B C^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .
Розглянемо випадок 1): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ починються з однієї точки $C$ , а кут між ними дорівнює $∠ C = 9 0^{\circ}$ . Отже, $\overline{A C} \overline{B C} = 1 \cdot 1 \cdot cos 9 0^{\circ} = 0$ .
Розглянемо випадок 2): вектори $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ починються з однієї точки $A$ , кут між ними дорівнює $∠ A$ . Оскільки трикутник рівнобедрений прямокутний, $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Добуток: $2 \cdot 1 \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 1$ .
Розглянемо випадок 3): вектори $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ починються з однієї точки $B$ , кут між ними дорівнює $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Довжина $\overline{C B} = 1$ , $\overline{B A} = 2$ . Добуток: $1 \cdot 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = 1$ .

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $1$ ; 3) $1$ .

Завдання 16.14

Скалярний добуток векторів у прямокутному трикутнику з гострим кутом

У трикутнику $A B C$ відомо, що $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $C B = 2$ . Знайдіть скалярний добуток векторів: 1) $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{A C}$ і $\overline{A B}$ ; 3) $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін трикутника: $A C = 2 \cdot cot 3 0^{\circ} = 23$ , $A B = \frac{B C}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2}{0 , 5} = 4$ . Кути при основі: $∠ B = 6 0^{\circ}$ .
Випадок 1): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{B C}$ утворюють кут $9 0^{\circ}$ , тому їхній добуток дорівнює $0$ .
Випадок 2): вектори $\overline{A C}$ і $\overline{A B}$ утворюють кут $3 0^{\circ}$ . Добуток: $∣ \overline{A C} ∣ \cdot ∣ \overline{A B} ∣ \cdot cos 3 0^{\circ} = 23 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 12$ .
Випадок 3): вектори $\overline{C B}$ і $\overline{B A}$ утворюють кут $6 0^{\circ}$ . Довжина $\overline{C B} = 2$ , $\overline{B A} = 4$ . Добуток: $2 \cdot 4 \cdot cos 6 0^{\circ} = 8 \cdot 0, 5 = 4$ .

Відповідь:

1) $0$ ; 2) $12$ ; 3) $4$ .

Завдання 16.15

Знак скалярного добутку залежно від виду кута

Визначте знак скалярного добутку векторів $a$ і $b$ у двох випадках: 1) кут між ними гострий; 2) кут між ними тупий.

Розв’язання

Розглянемо перший випадок: кут $α$ гострий ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ). У цьому діапазоні косинус завжди додатний ( $cos α > 0$ ), отже, і сам добуток буде додатним.
Розглянемо другий випадок: кут $α$ тупий ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ). У цьому діапазоні косинус завжди від'ємний ( $cos α < 0$ ), тому і скалярний добуток буде від'ємним.

Відповідь:

1) додатний; 2) від'ємний.

Завдання 16.16

Знак скалярного добутку та вид кута

1) Дано, що скалярний добуток векторів є додатним числом. Визначте вид кута між ними.
2) Дано, що скалярний добуток векторів є від'ємним числом. Визначте вид кута між ними.

Розв’язання

Для першого пункту: $a \cdot b > 0$ . Оскільки $∣ a ∣ > 0$ і $∣ b ∣ > 0$ , то $cos α > 0$ . Косинус додатний у першій чверті, тобто кут $α$ гострий ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ).
Для другого пункту: $a \cdot b < 0$ . Тоді $cos α < 0$ . Косинус від'ємний у другій чверті, тобто кут $α$ тупий ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ).

Відповідь:

1) Гострий;
2) Тупий.

Завдання 16.17

Скалярні добутки в правильному шестикутнику

$O$ — центр правильного шестикутника $A B C D E F$ , сторона якого дорівнює $1$ . Обчислити:
1) $\overline{B A} \cdot \overline{C D}$ ;
2) $\overline{A D} \cdot \overline{C D}$ ;
3) $\overline{A O} \cdot \overline{E D}$ ;
4) $\overline{A C} \cdot \overline{C D}$ .

Розв’язання

$\overline{B A} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{B A} ∣ = 1$ , $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кути при вершинах правильного шестикутника дорівнюють $12 0^{\circ}$ . Вектор $\overline{B A}$ спрямований від $B$ до $A$ , вектор $\overline{C D}$ — від $C$ до $D$ . Кут між цими векторами (якщо перенести початок одного в кінець іншого) дорівнює $6 0^{\circ}$ (оскільки сторони чергуються). Отже, $cos 6 0^{\circ} = 0, 5$ . Добуток: $1 \cdot 1 \cdot 0, 5 = 0, 5$ .
$\overline{A D} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{A D} ∣ = 2$ (діагональ), $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кут між вектором $\overline{C D}$ та діагоналлю $\overline{A D}$ дорівнює $6 0^{\circ}$ (кут між стороною і діагоналлю, що проходить через вершину). Добуток: $2 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = 2 \cdot 0, 5 = 1$ .
$\overline{A O} \cdot \overline{E D}$ : $∣ \overline{A O} ∣ = 1$ (вектор радіуса), $∣ \overline{E D} ∣ = 1$ . Вектори $\overline{A O}$ і $\overline{E D}$ паралельні та спрямовані в один бік. Кут між ними $0^{\circ}$ . Добуток: $1 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 1$ .
$\overline{A C} \cdot \overline{C D}$ : $∣ \overline{A C} ∣ = 3$ (коротша діагональ), $∣ \overline{C D} ∣ = 1$ . Кут між вектором $\overline{A C}$ та $\overline{C D}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ (кут між коротшою діагоналлю і стороною). Добуток: $3 \cdot 1 \cdot cos 3 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5$ .

Відповідь:

1) $0, 5$ ;
2) $1$ ;
3) $1$ ;
4) $1, 5$ .

Завдання 16.18

Скалярні добутки в ромбі

Діагоналі ромба $A B C D$ перетинаються в точці $O$ , $A B = 6$ , $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ . Знайдіть скалярний добуток векторів для пар (перелік продовжується на наступній сторінці):
1) $\overline{A B}$ і $\overline{A D}$ ;
2) $\overline{A B}$ і $\overline{C B}$ ;
3) $\overline{A B}$ і $\overline{D C}$ ;
4) $\overline{B C}$ і $\overline{D A}$ ;
5) $\overline{B D}$ і $\overline{A C}$ ;
6) $\overline{A C}$ і $\overline{A D}$ ;
7) $\overline{O C}$ і $\overline{B C}$ .

Розв’язання

Знайдемо довжини діагоналей. Трикутник $A B C$ рівнобедрений з кутом при вершині $12 0^{\circ}$ . Діагональ $A C = 2 \cdot 6 \cdot cos (3 0^{\circ}) = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ . Трикутник $A B D$ рівносторонній (оскільки $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ і сторони рівні), отже $B D = 6$ .
Розв'язуємо пункти:
- 1) $\overline{A B} \cdot \overline{A D}$ : $∣ \overline{A B} ∣ = 6, ∣ \overline{A D} ∣ = 6$ , кут між ними $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . Добуток: $36 \cdot cos 6 0^{\circ} = 18$ .
- 2) $\overline{A B} \cdot \overline{C B}$ : $∣ \overline{A B} ∣ = 6, ∣ \overline{C B} ∣ = 6$ , кут між векторами (спрямованими від $B$ до $A$ і від $C$ до $B$ ) дорівнює $12 0^{\circ}$ . Добуток: $36 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 18$ .
- 3) $\overline{A B} \cdot \overline{D C}$ : Вектори паралельні і спрямовані в один бік. Кут $0^{\circ}$ . Добуток: $6 \cdot 6 \cdot 1 = 36$ .
- 4) $\overline{B C} \cdot \overline{D A}$ : Вектори перпендикулярні? Ні, вони паралельні, але протилежно спрямовані. Кут $18 0^{\circ}$ . Добуток: $- 36$ .
- 5) $\overline{B D} \cdot \overline{A C}$ : Діагоналі ромба перпендикулярні. Кут $9 0^{\circ}$ , косинус $0$ . Добуток: $0$ .
- 6) $\overline{A C} \cdot \overline{A D}$ : $∣ \overline{A C} ∣ = 63, ∣ \overline{A D} ∣ = 6$ . Кут між ними $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ (діагональ ділить кут пополам). Добуток: $363 \cdot cos 3 0^{\circ} = 363 \cdot \frac{3}{2} = 54$ .
- 7) $\overline{O C} \cdot \overline{B C}$ : $∣ \overline{O C} ∣ = \frac{1}{2} A C = 33$ . $∣ \overline{B C} ∣ = 6$ . Кут між векторами (від $O$ до $C$ і від $B$ до $C$ ) дорівнює $3 0^{\circ}$ . Добуток: $33 \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ .

Відповідь:

1) $18$ ;
2) $- 18$ ;
3) $36$ ;
4) $- 36$ ;
5) $0$ ;
6) $54$ ;
7) $54$ .