ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 183

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 16.3–16.6 · 4 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 16.3

Кут між векторами у рівносторонньому трикутнику

Дано рівносторонній $△ A B C$ , медіани $A M$ і $B K$ перетинаються в точці $F$ . Знайти кути між парами векторів: 1) $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ ; 2) $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{B C}$ і $\overline{A M}$ ; 4) $\overline{A B}$ і $\overline{A M}$ ; 5) $\overline{A B}$ і $\overline{B K}$ ; 6) $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ ; 7) $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ .

Розв’язання

Оскільки $△ A B C$ рівносторонній, то $∠ B = ∠ C = ∠ A = 6 0^{\circ}$ . Кут між векторами $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ дорівнює $6 0^{\circ}$ .
Медіана $A M$ є бісектрисою кута $A$ , отже, $∠ B A M = ∠ M A C = 3 0^{\circ}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{A M}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Медіана $B K$ є бісектрисою кута $B$ , отже, $∠ A B K = ∠ K B C = 3 0^{\circ}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{B K}$ дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Розглянемо чотирикутник $A F K C$ або трикутник $B F C$ . У рівносторонньому трикутнику медіани перетинаються в центрі тяжіння, де відстань до вершин у 2 рази більша за відстань до сторін. Кут між медіанами $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ : розглянемо $△ A B K$ , кут $A K B = 9 0^{\circ}$ . У $△ A F B$ кути при основі не рівні, але ми можемо знайти кут між векторами через суму кутів. Простіше: кут між медіанами в рівносторонньому трикутнику завжди $12 0^{\circ}$ (внутрішній) або $6 0^{\circ}$ (зовнішній). Вектори $\overline{A M}$ і $\overline{B K}$ починаються з різних точок, але кут між напрямками визначається через перетин. Кут між прямими $A M$ і $B K$ дорівнює $12 0^{\circ}$ .
Для векторів $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ : оскільки $F$ — центр тяжіння, то $C, F, M$ лежать на одній прямій. Вектор $\overline{C F}$ спрямований від $C$ до $F$ , а вектор $\overline{A B}$ — по стороні. Кут між ними дорівнює куту між медіаною $C M$ і стороною $A B$ . Оскільки $A M ⊥ B C$ (медіана є висотою), то $C F ⊥ A B$ не так, але в рівносторонньому трикутнику медіана до сторони перпендикулярна до неї. Тобто $C M ⊥ A B$ . Отже, кут між $\overline{C F}$ і $\overline{A B}$ дорівнює $9 0^{\circ}$ .
Аналогічно, кут між $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ : вектор $\overline{B A}$ лежить на стороні $c$ , $\overline{A C}$ — на стороні $b$ . Кут між ними дорівнює зовнішньому куту при вершині $A$ або внутрішньому, залежно від напрямку. Вектори починатися з різних точок ( $B$ і $C$ ). Перенесемо $\overline{A C}$ до точки $B$ . Кут між $\overline{B A}$ і вектором, паралельним $\overline{A C}$ , дорівнює $12 0^{\circ}$ (сума кута $A$ і $B$ або $180 - 60$ ).
Перевіримо всі пари:
$\overline{B A}, \overline{B C}$ — кут $6 0^{\circ}$ .
$\overline{B A}, \overline{A C}$ — перенесемо початок $\overline{A C}$ у $B$ . Кут між $\overline{B A}$ і $\overline{A C}$ дорівнює $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ (оскільки вектори утворюють кут, доповнюючий внутрішньому).
$\overline{B C}, \overline{A M}$ — медіана $A M$ перпендикулярна до $B C$ , отже кут $9 0^{\circ}$ .
$\overline{A B}, \overline{A M}$ — бісектриса ділить кут навпіл, кут $3 0^{\circ}$ .
$\overline{A B}, \overline{B K}$ — бісектриса ділить кут навпіл, кут $3 0^{\circ}$ .
$\overline{A M}, \overline{B K}$ — кут між медіанами в рівносторонньому трикутнику дорівнює $12 0^{\circ}$ (внутрішній кут при точці перетину).
$\overline{C F}, \overline{A B}$ — оскільки $C M$ є висотою, то $C M ⊥ A B$ , отже кут $9 0^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $6 0^{\circ}$ ; 2) $12 0^{\circ}$ ; 3) $9 0^{\circ}$ ; 4) $3 0^{\circ}$ ; 5) $3 0^{\circ}$ ; 6) $12 0^{\circ}$ ; 7) $9 0^{\circ}$ .

Завдання 16.4

Кут між векторами у квадраті

Дано квадрат $A B C D$ , діагоналі перетинаються в точці $O$ . Знайти кути між парами векторів: 1) $\overline{A B}$ і $\overline{D A}$ ; 2) $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ ; 3) $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ ; 4) $\overline{D B}$ і $\overline{C B}$ ; 5) $\overline{B O}$ і $\overline{C D}$ .

Розв’язання

Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{D A}$ : це внутрішній кут квадрата при вершині $A$ , він дорівнює $9 0^{\circ}$ .
Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ : діагональ $A C$ ділить кут $D A B$ навпіл, отже кут між стороною $A B$ і діагоналлю $A C$ дорівнює $4 5^{\circ}$ .
Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ : вектор $\overline{C A}$ спрямований протилежно до $\overline{A C}$ . Кут між $\overline{A B}$ і $\overline{C A}$ дорівнює $18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ (або розглянемо як кут між напрямками).
Кут між $\overline{D B}$ і $\overline{C B}$ : діагональ $D B$ ділить кут $A B C$ навпіл, отже кут між стороною $C B$ і діагоналлю $D B$ дорівнює $4 5^{\circ}$ .
Кут між $\overline{B O}$ і $\overline{C D}$ : вектор $\overline{B O}$ лежить на діагоналі $B D$ , а $\overline{C D}$ — це сторона. Діагональ $B D$ утворює з стороною $C D$ кут $4 5^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $9 0^{\circ}$ ; 2) $4 5^{\circ}$ ; 3) $13 5^{\circ}$ ; 4) $4 5^{\circ}$ ; 5) $4 5^{\circ}$ .

Завдання 16.5

Обчислення скалярного добутку векторів

Знайти скалярний добуток $\overline{a} \cdot \overline{b}$ за формулою $\overline{a} \cdot \overline{b} = ∣ \overline{a} ∣ \cdot ∣ \overline{b} ∣ \cdot cos α$ , якщо:
1) $∣ \overline{a} ∣ = 2, ∣ \overline{b} ∣ = 5, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 6 0^{\circ}$ ;
2) $∣ \overline{a} ∣ = 3, ∣ \overline{b} ∣ = 22, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 13 5^{\circ}$ ;
3) $∣ \overline{a} ∣ = 4, ∣ \overline{b} ∣ = 1, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 0^{\circ}$ ;
4) $∣ \overline{a} ∣ = \frac{1}{2}, ∣ \overline{b} ∣ = 6, ∠ (\overline{a}, \overline{b}) = 18 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для першого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 2 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 10 \cdot 0, 5 = 5$ .
Для другого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3 \cdot 22 \cdot cos 13 5^{\circ} = 62 \cdot (- \frac{2}{2}) = - 3 \cdot 2 = - 6$ .
Для третього випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ} = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$ .
Для четвертого випадку: $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot cos 18 0^{\circ} = 3 \cdot (- 1) = - 3$ .

Відповідь:

1) $5$ ; 2) $- 6$ ; 3) $4$ ; 4) $- 3$ .

Завдання 16.6

Скалярний добуток векторів

m

n

Знайти скалярний добуток векторів $m$ і $n$ , якщо: 1) $∣ m ∣ = 72$ , $∣ n ∣ = 4$ , $∠ (m, n) = 4 5^{\circ}$ ; 2) $∣ m ∣ = 8$ , $∣ n ∣ = 3$ , $∠ (m, n) = 15 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $72 \cdot 4 \cdot cos 4 5^{\circ} = 282 \cdot \frac{2}{2} = 28$ .
Для пункту 2): $8 \cdot 3 \cdot cos 15 0^{\circ} = 83 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 12$ .

Відповідь:

1) $28$ ; 2) $- 12$ .