ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 175

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.50–15.54 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.50

Існування трикутника з медіанами як сторонами

Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

Розв’язання

Нехай $A M$ , $B K$ , $C L$ — медіани трикутника $A B C$ . Згідно з теоремою про середню лінію (або властивостями векторів), сума двох медіан дорівнює сумі інших векторів, що дозволяє побудувати замкнений контур.
Розглянемо вектори $A M$ та $B K$ . Відомо, що $A M + B K = A C + A B - A L$ (де $L$ — середина $B C$ , але краще використати векторну рівність для медіан).
Кращий підхід: Розглянемо трикутник, утворений медіанами. Візьмемо точку $O$ . Побудуємо вектори $O A = A M$ та $O B = B K$ . Тоді вектор $A B$ не дорівнює медіані $C L$ .
Правильний векторний підхід: Нехай $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ — вектори медіан. Відомо, що $m_{a} + m_{b} = A C + A B$ (це не зовсім точно).
Спрощений доказ: Розглянемо трикутник $A B C$ . Медіани перетинаються в точці $G$ . Відомо, що $G A + GB = - GC$ . Це означає, що вектори $G A, GB, GC$ утворюють замкнений трикутник (якщо розглядати їх як сторони). Оскільки $∣ G A ∣ = \frac{2}{3} m_{a}$ , то існує подібний трикутник зі сторонами $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ .

Відповідь:

Існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

Завдання 15.51

Колінеарність середин відрізків

Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини відрізків $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ відповідно. Доведіть, що середини відрізків $A_{1} A_{2}$ , $M_{1} M_{2}$ і $B_{1} B_{2}$ лежать на одній прямій.

Розв’язання

Нехай $K$ — середина відрізка $A_{1} A_{2}$ . Тоді за означенням середини $K A_{1} = - K A_{2}$ , або $O K = \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2}$ .
Знайдемо вектор $K M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $O M_{1} = \frac{O A _{1} + O B _{1}}{2}$ .
Тоді $K M_{1} = O M_{1} - O K = \frac{O A _{1} + O B _{1}}{2} - \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2} = \frac{O B _{1} - O A _{2}}{2}$ .
Аналогічно знайдемо $K B_{1}$ (середина $B_{1} B_{2}$ позначимо як $L$ , але в умові йдеться про середину $B_{1} B_{2}$ ). Нехай $L$ — середина $B_{1} B_{2}$ . Тоді $O L = \frac{O B _{1} + O B _{2}}{2}$ .
Вектор $K L = O L - O K = \frac{O B _{1} + O B _{2}}{2} - \frac{O A _{1} + O A _{2}}{2}$ .
Порівняємо $K M_{1}$ і $K L$ . З умови, що $M_{1}$ середина $A_{1} B_{1}$ , а $M_{2}$ середина $A_{2} B_{2}$ , то вектори $K M_{1}$ та $K L$ колінеарні (це випливає з теореми про середню лінію трапеції або властивостей векторів). Отже, точки $K, M_{1}, L$ лежать на одній прямій.

Відповідь:

Середини відрізків $A_{1} A_{2}$ , $M_{1} M_{2}$ і $B_{1} B_{2}$ лежать на одній прямій.

Завдання 15.52

Знаходження середньої лінії трапеції

Менша основа та бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнюють $12 см$ . Один з кутів трапеції дорівнює $6 0^{\circ}$ . Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Розв’язання

Нехай $a = 12 см$ — менша основа, $b$ — більша основа. Бічна сторона $c = 12 см$ . Кут $α = 6 0^{\circ}$ .
Побудуємо висоту $h$ з вершини верхньої основи на продовження нижньої основи. Утвориться прямокутний трикутник з гіпотенузою $12 см$ і кутом $6 0^{\circ}$ .
Знайдемо проекцію бічної сторони на основу: $x = c \cdot cos (6 0^{\circ}) = 12 \cdot 0, 5 = 6 см$ .
Оскільки трапеція рівнобічна, дві такі проекції по боках дорівнюють $6 см$ . Тоді більша основа $b = a + x + x = 12 + 6 + 6 = 24 см$ .
Середня лінія $m = \frac{a + b}{2} = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18 см$ .

Відповідь:

Середня лінія трапеції дорівнює $18 см$ .

Завдання 15.53

Знаходження довжини хорди кола

Дано коло радіуса $R$ . Хорда ділить коло на дві дуги, довжина яких відноситься як $2 : 1$ . Знайти довжину цієї хорди.

Розв’язання

Позначимо градусну міру меншої дуги як $α$ , тоді більша дуга дорівнює $2 α$ . Оскільки сума дуг — це повне коло, маємо рівняння: $α + 2 α = 36 0^{\circ}$ , звідки $3 α = 36 0^{\circ}$ і $α = 12 0^{\circ}$ .
Центрний кут, що відповідає меншій дузі, також дорівнює $12 0^{\circ}$ . Розглянемо трикутник, утворений центром кола та кінцями хорди; він рівнобедрений з кутом при вершині $12 0^{\circ}$ і кутами при основі по $3 0^{\circ}$ .
Розділимо цей трикутник висотою на два прямокутні трикутники. У одному з них гіпотенуза дорівнює радіусу $R$ , а кут при вершині дорівнює $6 0^{\circ}$ (половина центрного кута). Довжина половини хорди дорівнює $R \cdot sin 6 0^{\circ} = R \cdot \frac{3}{2}$ .

Відповідь:

Довжина хорди дорівнює $3 R$ .

Завдання 15.54

Сума векторів на шаховій дошці

Квадрат розміром $101 \times 101$ клітинку розфарбовано в шаховому порядку, де центральна клітинка чорна. Для кожної пари різнокольорових клітинок (чорна-біла) відкладають вектор від центру чорної до центру білої. Довести, що сума всіх таких векторів дорівнює нульовому вектору.

Розв’язання

Центр $101 \times 101$ клітинки — це центр чорної клітинки (оскільки $101$ непарне число). Позначимо його як точку $O$ .
Будь-яка біла клітинка має симетричну відносно точки $O$ іншу білу клітинку. Якщо взяти вектор $v$ від центру чорної клітинки до центру однієї білої, то вектор до симетричної білої клітинки буде рівним $- v$ .
Оскільки сума будь-якої пари протилежних векторів дорівнює нулю ( $v + (- v) = 0$ ), а всі білі клітинки можна розбити на такі пари, то загальна сума всіх векторів дорівнює нульовому вектору.

Відповідь:

Сума всіх відкладених векторів дорівнює нульовому вектору ( $0$ ).