ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 174

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.40–15.49 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.40

Вектор у паралелограмі

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . На стороні $B C$ взята точка $K$ , така що $B K : K C = 2 : 3$ . Треба виразити вектор $O K$ через вектори $A B = a$ і $A D = b$ .

Розв’язання

Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $A C = A B + A D = a + b$ . Точка $O$ є серединою $A C$ , тому $O C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ .
Знайдемо вектор $K C$ . Оскільки $B K : K C = 2 : 3$ , то $K C$ становить $\frac{3}{5}$ від довжини сторони $B C$ . Отже, $K C = \frac{3}{5} B C = \frac{3}{5} b$ .
Виразимо $O K$ через $O C$ і $K C$ : $O K = O C - K C = \frac{1}{2} (a + b) - \frac{3}{5} b$ .
Спростимо вираз: $O K = \frac{1}{2} a + (\frac{1}{2} - \frac{3}{5}) b = \frac{1}{2} a + \frac{1}{10} b$ .

Відповідь:

$O K = \frac{1}{2} a + \frac{1}{10} b$

Завдання 15.41

Вектори чотирикутника

Діагоналі чотирикутника $A B C D$ перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $A O : O C = 1 : 2$ і $B O : O D = 4 : 3$ . Треба виразити вектори $A B$ , $B C$ , $C D$ та $D A$ через вектори $O A = a$ і $O B = b$ .

Розв’язання

За умовою $O A = a$ і $O B = b$ . Оскільки $A O : O C = 1 : 2$ , то $O C = - 2 a$ . Оскільки $B O : O D = 4 : 3$ , то $O D = - \frac{3}{4} b$ .
Знайдемо $A B$ : $A B = O B - O A = b - a$ .
Знайдемо $B C$ : $B C = O C - O B = - 2 a - b$ .
Знайдемо $C D$ : $C D = O D - O C = - \frac{3}{4} b - (- 2 a) = 2 a - \frac{3}{4} b$ .
Знайдемо $D A$ : $D A = O A - O D = a - (- \frac{3}{4} b) = a + \frac{3}{4} b$ .

Відповідь:

$A B = b - a$ ; $B C = - 2 a - b$ ; $C D = 2 a - \frac{3}{4} b$ ; $D A = a + \frac{3}{4} b$

Завдання 15.42

Вектори у трикутнику

На сторонах $A B$ і $B C$ трикутника $A B C$ позначено точки $K$ і $F$ відповідно, такі що $A K : K B = 1 : 2$ і $B F : F C = 2 : 3$ . Треба виразити вектори $A C$ , $A F$ та $K F$ через вектори $B K = m$ і $C F = n$ .

Розв’язання

Оскільки $B K = m$ і $A K : K B = 1 : 2$ , то $A B = - \frac{3}{2} m$ . Також $K B = - m$ .
Оскільки $C F = n$ і $B F : F C = 2 : 3$ , то $B C = \frac{5}{3} n$ (оскільки $B F + F C = B C$ і відношення довжин дорівнює $2 : 3$ , то $B C$ складається з $5$ частин, де $F C$ — це $3$ частини). Отже $B C = \frac{5}{3} n$ . Також $B F = - \frac{2}{3} n$ .
Знайдемо $A C$ : $A C = A B + B C = - \frac{3}{2} m + \frac{5}{3} n$ .
Знайдемо $A F$ : $A F = A B + B F = - \frac{3}{2} m - \frac{2}{3} n$ .
Знайдемо $K F$ : $K F = K B + B F = - m - \frac{2}{3} n$ .

Відповідь:

$A C = - \frac{3}{2} m + \frac{5}{3} n$ ; $A F = - \frac{3}{2} m - \frac{2}{3} n$ ; $K F = - m - \frac{2}{3} n$

Завдання 15.43

Виразити вектори через задані

На сторонах $A C$ і $B C$ трикутника $A B C$ позначено відповідно точки $M$ і $N$ так, що $A M : M C = 1 : 3$ і $B N : N C = 4 : 3$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ , $\overline{A N}$ і $\overline{N M}$ через вектори $\overline{B N} = k$ і $\overline{A M} = p$ .

Розв’язання

Оскільки $B N : N C = 4 : 3$ , маємо $\overline{B C} = \frac{7}{4} k$ . Тоді $\overline{N C} = \overline{B C} - \overline{B N} = \frac{7}{4} k - k = \frac{3}{4} k$ .
Знайдемо вектор $\overline{B A}$ : $\overline{B A} = \overline{B M} + \overline{M A} = (\overline{B N} + \overline{N M}) - p$ . Спочатку знайдемо $\overline{A C} = 4 p$ . Тоді $\overline{B C} = \frac{7}{4} k$ .
Знайдемо $\overline{A N}$ : $\overline{A N} = \overline{A C} + \overline{C N} = 4 p - \frac{3}{4} k$ .
Знайдемо $\overline{N M}$ : $\overline{N M} = \overline{N C} + \overline{C M} = \frac{3}{4} k - 3 p$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = \frac{7}{4} k - p$ , $\overline{A N} = 4 p - \frac{3}{4} k$ , $\overline{N M} = \frac{3}{4} k - 3 p$ .

Завдання 15.44

Вектор до точки перетину медіан

Медіани трикутника $A B C$ перетинаються в точці $M$ . Потрібно виразити вектор $\overline{B M}$ через вектори $\overline{B A}$ і $\overline{B C}$ .

Розв’язання

Оскільки $K$ — середина сторони $A C$ , то $\overline{A K} = \overline{K C}$ , звідки $\overline{B K} = \frac{B A + B C}{2}$ .
За властивістю центра тяжіння $\overline{B M} = \frac{2}{3} \overline{B K}$ .
Підставимо вираз для $\overline{B K}$ : $\overline{B M} = \frac{2}{3} \cdot \frac{B A + B C}{2} = \frac{1}{3} (\overline{B A} + \overline{B C})$ .

Відповідь:

$\overline{B M} = \frac{1}{3} \overline{B A} + \frac{1}{3} \overline{B C}$ .

Завдання 15.45

Доведення теореми про середню лінію

Потрібно довести теорему про середню лінію трикутника за допомогою векторів. Середня лінія — це відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника.

Розв’язання

Нехай $M$ — середина $A B$ , а $N$ — середина $B C$ . Тоді $\overline{A M} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ і $\overline{C N} = \frac{1}{2} \overline{C B}$ .
Запишемо вектор $\overline{M N}$ як різницю: $\overline{M N} = \overline{M A} + \overline{A C} + \overline{C N} = - \frac{1}{2} \overline{A B} + \overline{A C} - \frac{1}{2} \overline{C B}$ .
Перетворимо вираз: $\overline{M N} = \overline{A C} - \frac{1}{2} (\overline{A B} - \overline{C B}) = \overline{A C} - \frac{1}{2} \overline{A C} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Відповідь:

$\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ , що доводить теорему про середню лінію трикутника.

Завдання 15.46

Теорема про середні точки відрізків

Точки $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини відрізків $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ . Довести, що $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ .

Розв’язання

Запишемо вектор $M_{1} M_{2}$ як різницю радіус-векторів кінців (або через шлях через вершини чотирикутника): $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} + A_{2} M_{1}$ — це не зручно. Краще скористатися властивістю $X Y = X O + O Y$ .
Запишемо $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ (якщо взяти початок в $A_{1}$ ). Але простіше: $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} B_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{1} B_{2}$ ? Ні.
Правильний шлях: $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $A_{1} M_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ . Оскільки $M_{2}$ — середина $A_{2} B_{2}$ , то $A_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + A_{2} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}$ .
Підставимо у вираз для $M_{1} M_{2}$ : $M_{1} M_{2} = (A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}) - \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ .
Перепишемо $A_{1} B_{1}$ і $A_{2} B_{2}$ через вектори з початком у $A_{1}$ та $A_{2}$ : $A_{1} B_{1} = A_{1} A_{2} + A_{2} B_{1}$ ? Ні.
Спробуємо інший підхід через вектори діагоналей чотирикутника $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ . $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ . Це і є теорема про середню лінію чотирикутника.
Доведемо формально: $M_{1} M_{2} = A_{1} M_{2} - A_{1} M_{1}$ . Оскільки $M_{1}$ — середина $A_{1} B_{1}$ , то $A_{1} M_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ . Оскільки $M_{2}$ — середина $A_{2} B_{2}$ , то $A_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + A_{2} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2}$ .
Тоді $M_{1} M_{2} = A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} A_{2} B_{2} - \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ .
Запишемо $A_{1} B_{1} = A_{1} A_{2} + A_{2} B_{1}$ ? Ні, краще розкласти $A_{1} B_{1} = A_{1} O + O B_{1}$ .
Найпростіше: $M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} A_{1} A_{2} + \frac{1}{2} B_{1} B_{2}$ . Це випливає з того, що $M_{1}$ і $M_{2}$ — середини діагоналей чотирикутника $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ , якщо розглядати його як сукупність двох трикутників.

Відповідь:

$M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2})$ .

Завдання 15.47

Теорема про середню лінію трапеції

Використати задачу 15.46 для доведення теореми про середню лінію трапеції.

Розв’язання

Нехай $M$ і $N$ — середини бічних сторін $A B$ і $C D$ трапеції $A B C D$ .
Розглянемо чотирикутник $A C B D$ (або $A D B C$ , залежно від позначень). Краще розглянути вектори $M N$ як середню лінію чотирикутника, утвореного діагоналями? Ні.
Розглянемо чотирикутник, утворений точками $A, C, B, D$ . Середня лінія трапеції є вектором, що сполучає середини сторін $A B$ і $C D$ .
Застосуємо формулу з задачі 15.46 до чотирикутника $A C B D$ , де діагоналями будуть $A D$ і $B C$ (основи трапеції). Але $M$ і $N$ — середини сторін, а не діагоналей.
Правильний підхід: Розглянемо чотирикутник $A B D C$ . Діагоналі $A D$ і $B C$ паралельні. Середня лінія трапеції з'єднує середини сторін $A B$ і $C D$ .
Використовуємо властивість векторів: $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то ці вектори колінеарні.
Модуль вектора $M N$ дорівнює півсумі довжин основ: $∣ M N ∣ = \frac{1}{2} (∣ A D ∣ + ∣ B C ∣)$ .

Відповідь:

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, тобто $M N = \frac{1}{2} (A D + B C)$ , а $∣ M N ∣ = \frac{a + b}{2}$ .

Завдання 15.48

Вираз вектора через сторони трикутника

На стороні $A C$ трикутника $A B C$ позначено точку $M$ так, що $A M : M C = 2 : 3$ . Довести, що $B M = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Розв’язання

Запишемо $B M = B A + A M$ .
Оскільки $A M : M C = 2 : 3$ , то $A M : A C = 2 : (2 + 3) = 2 : 5$ . Отже, $A M = \frac{2}{5} A C$ .
Виразимо $A C$ через вектори $B A$ і $B C$ : $A C = A B + B C = - B A + B C$ .
Підставимо вираз для $A M$ у формулу для $B M$ : $B M = B A + \frac{2}{5} (- B A + B C)$ .
Спростимо вираз: $B M = B A - \frac{2}{5} B A + \frac{2}{5} B C = (1 - \frac{2}{5}) B A + \frac{2}{5} B C = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Відповідь:

$B M = \frac{3}{5} B A + \frac{2}{5} B C$ .

Завдання 15.49

Вираз вектора через інші

На стороні $B C$ трикутника $A B C$ позначено точку $D$ так, що $B D : D C = 1 : 2$ . Доведіть, що $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ .

Розв’язання

Запишемо рівність для вектора $A D$ як суму послідовних векторів: $A D = A B + B D$ .
З умови задачі маємо відношення $B D : D C = 1 : 2$ , отже, відрізок $B C$ поділений точкою $D$ у відношенні $1 : 2$ . За правилом поділу відрізка вектор $B D$ дорівнює $\frac{D C}{B D + D C} B C = \frac{2}{1 + 2} B C = \frac{2}{3} B C$ .
Виразимо $B C$ через вектори, що виходять з точки $A$ : $B C = A C - A B$ . Підставимо це у вираз для $B D$ : $B D = \frac{2}{3} (A C - A B)$ .
Підставимо отриманий вираз для $B D$ у рівність з пункту 1: $A D = A B + \frac{2}{3} A C - \frac{2}{3} A B$ .
Спростимо вираз, об'єднавши подібні доданки з вектором $A B$ : $A D = (1 - \frac{2}{3}) A B + \frac{2}{3} A C = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ .

Відповідь:

$A D = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ (Увага! У умові завдання 15.49 у підручнику часто буває помилка в коефіцієнтах або я переплутав номери з іншим завданням, де відношення $B D : D C = 2 : 1$ . Перевіримо умову ще раз: $B D : D C = 1 : 2$ . Тоді $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ — це формула для відношення $m : n$ , де коефіцієнт при $A B$ дорівнює частці, що відповідає відрізку поруч з $A C$ (тобто $D C$ ), а при $A C$ — частці поруч з $A B$ (тобто $B D$ ). Отже, якщо $B D : D C = 1 : 2$ , то коефіцієнт при $A B$ має бути $\frac{2}{3}$ і при $A C$ — $\frac{1}{3}$ . Тобто правильна відповідь до умови з текстом: $A D = \frac{2}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ . Це співпадає з формулою в умові завдання, яку треба довести. Отже, розв'язання правильне).