ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 173

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.30–15.39 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.30

Множення вектора на число

Дано вектор $b (- 3; 1)$ . Знайти координати вектора, колінеарного вектору $b$ , модуль якого вдвічі більший за модуль вектора $b$ . Обговорити кількість розв'язків.

Розв’язання

Знайдемо вектор, співнапрямлений з $b$ : $c_{1} = 2 b = 2 \cdot (- 3; 1) = (- 6; 2)$ .
Знайдемо вектор, протилежно напрямлений до $b$ : $c_{2} = - 2 b = - 2 \cdot (- 3; 1) = (6; - 2)$ .

Відповідь:

Два розв'язки: $(- 6; 2)$ та $(6; - 2)$ .

Завдання 15.31

Знаходження вектора за модулем

Знайти координати вектора $m$ , протилежно напрямленого вектору $n (5; - 12)$ , якщо $∣ m ∣ = 39$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль вектора $n$ : $∣ n ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
Знайдемо коефіцієнт пропорційності: $\frac{∣ m ∣}{∣ n ∣} = \frac{39}{13} = 3$ , отже, $∣ m ∣ = 3∣ n ∣$ . Оскільки вектори протилежно напрямлені, $m = - 3 n$ .
Знайдемо координати: $m = - 3 \cdot (5; - 12) = (- 15; 36)$ .

Відповідь:

$(- 15; 36)$ .

Завдання 15.32

Знаходження вектора за модулем

Знайти координати вектора $a$ , співнапрямленого з вектором $b (- 9; 12)$ , якщо $∣ a ∣ = 5$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль вектора $b$ : $∣ b ∣ = (- 9)^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ .
Знайдемо коефіцієнт пропорційності: $\frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ . Оскільки вектори співнапрямлені, $a = \frac{1}{3} b$ .
Знайдемо координати: $a = \frac{1}{3} \cdot (- 9; 12) = (- 3; 4)$ .

Відповідь:

$(- 3; 4)$ .

Завдання 15.33

Доведення трапеції через вектори

Чотирикутник $A B C D$ має вершини $A (- 1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (14; 6)$ та $D (2; - 3)$ . Потрібно довести, що це трапеція.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $A B$ : $x_{A B} = 3 - (- 1) = 4$ , $y_{A B} = 5 - 2 = 3$ . Отже, $A B (4; 3)$ .
Знайдемо координати вектора $D C$ (віднімаємо координати початку від кінця): $x_{D C} = 14 - 2 = 12$ , $y_{D C} = 6 - (- 3) = 9$ . Отже, $D C (12; 9)$ .
Порівняємо координати: $12 : 4 = 3$ та $9 : 3 = 3$ . Оскільки відношення відповідних координат однакове ( $D C = 3 \cdot A B$ ), вектори колінеарні, а отже сторони $A B$ і $C D$ паралельні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є трапецією, оскільки одна пара протилежних сторін ( $A B$ і $C D$ ) паралельна.

Завдання 15.34

Доведення колінеарності трьох точок

Точки $A (- 1; 3)$ , $B (4; - 7)$ та $D (- 2; 5)$ . Потрібно довести, що вони лежать на одній прямій.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $A B$ : $x = 4 - (- 1) = 5$ , $y = - 7 - 3 = - 10$ . Отже, $A B (5; - 10)$ .
Знайдемо координати вектора $A D$ : $x = - 2 - (- 1) = - 1$ , $y = 5 - 3 = 2$ . Отже, $A D (- 1; 2)$ .
Порівняємо координати: $5 : (- 1) = - 5$ та $- 10 : 2 = - 5$ . Оскільки відношення однакове ( $A B = - 5 \cdot A D$ ), вектори колінеарні, отже точки $A$ , $B$ і $D$ лежать на одній прямій.

Відповідь:

Точки $A (- 1; 3)$ , $B (4; - 7)$ та $D (- 2; 5)$ лежать на одній прямій.

Завдання 15.35

Знаходження коефіцієнтів лінійної комбінації

Дано вектори $a (1; - 4)$ , $b (0; 3)$ та $c (2; - 17)$ . Потрібно знайти числа $x$ і $y$ , за яких виконується рівність $c = x a + y b$ .

Розв’язання

Запишемо рівність за координатами: ${2 = x \cdot 1 + y \cdot 0 - 17 = x \cdot (- 4) + y \cdot 3$ .
Спростимо перше рівняння: $2 = x$ . Звідси $x = 2$ .
Підставимо значення $x = 2$ у друге рівняння: $- 17 = - 4 \cdot 2 + 3 y \Rightarrow - 17 = - 8 + 3 y \Rightarrow - 9 = 3 y \Rightarrow y = - 3$ .

Відповідь:

$x = 2$ , $y = - 3$ .

Завдання 15.36

Розклад вектора на складові за іншими векторами

Дано вектори $m (- 1; 2)$ , $n (3; 1)$ , $a (- 7; 0)$ . Знайти числа $x$ і $y$ , щоб виконувалось рівність $a = x m + y n$ .

Розв’язання

Запишемо рівність за координатами: $(- 7; 0) = x (- 1; 2) + y (3; 1)$ .
Отримаємо систему рівнянь: ${- x + 3 y = - 7 2 x + y = 0$ .
З другого рівняння виразимо $y$ : $y = - 2 x$ . Підставимо у перше рівняння: $- x + 3 (- 2 x) = - 7 \Rightarrow - x - 6 x = - 7 \Rightarrow - 7 x = - 7 \Rightarrow x = 1$ .
Знайдемо $y$ : $y = - 2 \cdot 1 = - 2$ . Перевірка: $1 \cdot (- 1; 2) + (- 2) \cdot (3; 1) = (- 1 + (- 6); 2 + (- 2)) = (- 7; 0)$ , що збігається з $a$ .

Відповідь:

$x = 1$ , $y = - 2$ .

Завдання 15.37

Доведення колінеарності векторів через коефіцієнт пропорційності

Точки $O, A$ і $B$ лежать на одній прямій. Потрібно довести, що існує число $k$ , таке що $O A = k O B$ , і визначити обернене твердження.

Розв’язання

Оскільки точки $O, A, B$ лежать на одній прямій, вектори $O A$ і $O B$ є колінеарними.
За означенням колінеарних векторів, один з них дорівнює іншому, помноженому на деяке число $k$ (коефіцієнт пропорційності). Отже, $O A = k O B$ .
Обернене твердження: Якщо для двох векторів $O A$ і $O B$ існує таке число $k$ , що $O A = k O B$ , то точки $O, A$ і $B$ лежать на одній прямій (або збігаються).

Відповідь:

Існує число $k$ , оскільки вектори колінеарні; обернене твердження стверджує про колінеарність векторів за наявності коефіцієнта пропорційності.

Завдання 15.38

Вираз вектора через базисні вектори в паралелограмі

У паралелограмі $A B C D$ точки $M$ і $N$ на сторонах $A B$ і $B C$ такі, що $A M : M B = 1 : 2$ , $B N : N C = 2 : 1$ . Знайти $N M$ через $a = A B$ та $b = A D$ .

Розв’язання

Запишемо ланцюжок: $N M = N B + B A + A M$ .
Знайдемо частини векторів за відношеннями: оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то $A M = \frac{1}{3} A B$ і $A M = \frac{1}{3} a$ . Оскільки $B N : N C = 2 : 1$ , то $N B = - \frac{2}{3} B C$ , а оскільки $B C = A D = b$ , то $N B = - \frac{2}{3} b$ . Також $B A = - A B = - a$ .
Підставимо у формулу: $N M = (- \frac{2}{3} b) + (- a) + (\frac{1}{3} a) = - a + \frac{1}{3} a - \frac{2}{3} b = - \frac{2}{3} a - \frac{2}{3} b$ .

Відповідь:

$N M = - \frac{2}{3} a - \frac{2}{3} b$ .

Завдання 15.39

Вираз вектора через базисні

У паралелограмі $A B C D$ на сторонах $B C$ і $C D$ позначено точки $E$ і $F$ так, що $B E : E C = 3 : 1$ , $C F : F D = 1 : 3$ . Потрібно виразити вектор $E F$ через вектори $A B = a$ та $A D = b$ .

Розв’язання

Оскільки $B E : E C = 3 : 1$ , то $E C$ становить $\frac{1}{4}$ від довжини сторони $B C$ . Отже, $E C = \frac{1}{4} B C$ . Оскільки $B C = b$ , маємо $E C = \frac{1}{4} b$ .
Оскільки $C F : F D = 1 : 3$ , то $C F$ становить $\frac{1}{4}$ від довжини сторони $C D$ . Отже, $C F = \frac{1}{4} C D$ . Оскільки $C D = - a$ , маємо $C F = - \frac{1}{4} a$ .
Застосувавши правило додавання векторів: $E F = E C + C F = \frac{1}{4} b - \frac{1}{4} a$ .

Відповідь:

$E F = - \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b$