ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 172

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.19–15.29 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.19

Координати вектора за формулою

Дано вектори $m (- 2; 4)$ і $n (3; - 1)$ . Знайдіть координати векторів:
1) $3 m + 2 n$ ;
2) $- \frac{1}{2} m + 2 n$ ;
3) $m - 3 n$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $3 m = (3 \cdot (- 2); 3 \cdot 4) = (- 6; 12)$ , $2 n = (2 \cdot 3; 2 \cdot (- 1)) = (6; - 2)$ . Сума: $(- 6 + 6; 12 - 2) = (0; 10)$ .
Для пункту 2): $- \frac{1}{2} m = (- \frac{1}{2} \cdot (- 2); - \frac{1}{2} \cdot 4) = (1; - 2)$ , $2 n = (6; - 2)$ . Сума: $(1 + 6; - 2 - 2) = (7; - 4)$ .
Для пункту 3): $m = (- 2; 4)$ , $- 3 n = (- 3 \cdot 3; - 3 \cdot (- 1)) = (- 9; 3)$ . Різниця: $(- 2 - 9; 4 - 3) = (- 11; 1)$ .

Відповідь:

1) $(0; 10)$ ; 2) $(7; - 4)$ ; 3) $(- 11; 1)$ .

Завдання 15.20

Вектори на відрізку за довжинами

На відрізку $A B$ завдовжки $18 см$ позначено точку $C$ так, що $B C = 6 см$ . Знайти векторні співвідношення:
1) $A B$ через $A C$ ;
2) $B C$ через $A B$ ;
3) $A C$ через $B C$ .

Розв’язання

Знайдемо $A C = A B - B C = 18 - 6 = 12 см$ . Оскільки точки $A, C, B$ йдуть послідовно, вектори $A B$ і $A C$ співнапрямлені. Отже, $A B = \frac{18}{12} A C = \frac{3}{2} A C$ .
Вектори $B C$ і $A B$ протилежно напрямлені (бо $C$ лежить між $A$ і $B$ , а вектор $B C$ йде від $B$ до $C$ , тобто проти руху від $A$ до $B$ ). Відношення довжин: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . Отже, $B C = - \frac{1}{3} A B$ .
Вектори $A C$ і $B C$ протилежно напрямлені (вони йдуть у різні боки від точки $C$ ). Відношення довжин: $\frac{12}{6} = 2$ . Отже, $A C = - 2 B C$ .

Відповідь:

1) $A B = \frac{3}{2} A C$ ; 2) $B C = - \frac{1}{3} A B$ ; 3) $A C = - 2 B C$ .

Завдання 15.21

Вектори на рівномірній сітці

На рисунку $A B = B C = C D = D E = E F$ . Виразити через $A B$ вектори $A D, B D, C B, F A$ . Через $A F$ — вектори $C E, D C, E A$ .

Розв’язання

Через $A B$ :
- $A D$ складається з двох частин $A B$ і $B C$ , йде в тому ж напрямку: $A D = 2 A B$ .
- $B D$ складається з $B C$ і $C D$ , йде в тому ж напрямку: $B D = 2 A B$ .
- $C B$ йде проти напрямку $A B$ (від $C$ до $B$ ): $C B = - 1 A B = - A B$ .
- $F A$ складається з п'яти частин, йде проти напрямку $A B$ : $F A = - 5 A B$ .
Через $A F$ (вектор від $A$ до $F$ , що проходить через всі точки):
- $C E$ складається з $C D$ і $D E$ , йде в тому ж напрямку, що і $A F$ : $C E = 2 A F$ .
- $D C$ йде проти напрямку $A F$ : $D C = - 1 A F = - A F$ .
- $E A$ складається з $E D$ і $D A$ , йде проти напрямку $A F$ : $E A = - 3 A F$ .

Відповідь:

1) $A D = 2 A B, B D = 2 A B, C B = - A B, F A = - 5 A B$ ; 2) $C E = 2 A F, D C = - A F, E A = - 3 A F$ .

Завдання 15.22

Вираз вектора через базисні

У паралелограмі $A B C D$ на діагоналі $A C$ позначено точку $M$ так, що $A M : M C = 1 : 3$ . Потрібно виразити вектор $\overline{M C}$ через вектори $a = \overline{A B}$ і $b = \overline{A D}$ .

Розв’язання

За властивостями паралелограма маємо $\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{A D} = a + b$ .
З умови $A M : M C = 1 : 3$ випливає, що відрізок $M C$ становить $\frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ частину всього відрізку $A C$ .
Отже, вектор $\overline{M C} = \frac{3}{4} \overline{A C} = \frac{3}{4} (a + b)$ .

Відповідь:

$\overline{M C} = \frac{3}{4} (a + b)$ або $\frac{3}{4} a + \frac{3}{4} b$ .

Завдання 15.23

Вираз векторів через базисні

У паралелограмі $A B C D$ точка $M$ — середина сторони $B C$ , $\overline{A B} = a$ , $\overline{A D} = b$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A M}$ і $\overline{M D}$ через $a$ і $b$ .

Розв’язання

Знайдемо $\overline{B M} = \frac{1}{2} \overline{B C} = \frac{1}{2} b$ . Тоді $\overline{A M} = \overline{A B} + \overline{B M} = a + \frac{1}{2} b$ .
Знайдемо вектор $\overline{C D} = - \overline{A B} = - a$ . Оскільки $M$ — середина $B C$ , то $\overline{M C} = \frac{1}{2} b$ .
Тоді $\overline{M D} = \overline{M C} + \overline{C D} = \frac{1}{2} b - a$ .

Відповідь:

$\overline{A M} = a + \frac{1}{2} b$ , $\overline{M D} = - a + \frac{1}{2} b$ .

Завдання 15.24

Вираз вектора через сторону трикутника

На сторонах $A B$ і $A C$ трикутника $A B C$ позначено точки $M$ і $N$ так, що $A M : M B = A N : N C = 1 : 2$ . Потрібно виразити вектор $\overline{M N}$ через вектор $\overline{C B}$ .

Розв’язання

Оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то відрізок $A B$ складається з $1 + 2 = 3$ частин, і $A M = \frac{1}{3} A B$ . Аналогічно $A N = \frac{1}{3} A C$ .
За теоремою Фалеса (або властивостями векторів), $\overline{M N}$ паралельний $\overline{C B}$ і його довжина дорівнює $\frac{1}{3}$ від довжини $C B$ (оскільки $M$ і $N$ знаходяться на відстані $\frac{1}{3}$ від вершини $A$ ).
Оскільки вектори спрямовані в одну сторону, то $\overline{M N} = \frac{1}{3} \overline{C B}$ .

Відповідь:

$\overline{M N} = \frac{1}{3} \overline{C B}$ .

Завдання 15.25

Доведення колінеарності векторів

Дано координати точок $A (1; 1)$ , $B (3; - 2)$ , $C (- 1; 3)$ , $D (5; - 6)$ . Потрібно довести, що вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $\overline{A B}$ : $x_{A B} = 3 - 1 = 2$ , $y_{A B} = - 2 - 1 = - 3$ . Отже, $\overline{A B} (2; - 3)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{C D}$ : $x_{C D} = 5 - (- 1) = 6$ , $y_{C D} = - 6 - 3 = - 9$ . Отже, $\overline{C D} (6; - 9)$ .
Порівняємо координати: $6 = 3 \cdot 2$ і $- 9 = 3 \cdot (- 3)$ . Оскільки координати вектора $\overline{C D}$ у три рази більші за координати вектора $\overline{A B}$ , вони пропорційні.

Відповідь:

Вектори $\overline{A B}$ і $\overline{C D}$ колінеарні.

Завдання 15.26

Знаходження пар колінеарних векторів

Дано чотири вектори з координатами: $a (1; - 2)$ , $b (- 3; - 6)$ , $c (- 4; 8)$ , $d (- 1; - 2)$ . Потрібно знайти пари колінеарних векторів.

Розв’язання

Порівняємо $a (1; - 2)$ і $d (- 1; - 2)$ . Відношення абсцис: $- 1/1 = - 1$ . Відношення ординат: $- 2/ - 2 = 1$ . Відношення не дорівнює, тому вони не колінеарні.
Порівняємо $a (1; - 2)$ і $b (- 3; - 6)$ . Відношення абсцис: $- 3/1 = - 3$ . Відношення ординат: $- 6/ - 2 = 3$ . Знаки різні, але модулі відмінні ( $∣ - 3∣ \neq = ∣3∣$ ), отже не колінеарні.
Порівняємо $a (1; - 2)$ і $c (- 4; 8)$ . Відношення абсцис: $- 4/1 = - 4$ . Відношення ординат: $8/ - 2 = - 4$ . Відношення однакове. Вектори $a$ і $c$ колінеарні.
Порівняємо $b (- 3; - 6)$ і $d (- 1; - 2)$ . Відношення абсцис: $- 1/ - 3 = 1/3$ . Відношення ординат: $- 2/ - 6 = 1/3$ . Відношення однакове. Вектори $b$ і $d$ колінеарні.
Порівняємо $b (- 3; - 6)$ і $c (- 4; 8)$ . Відношення абсцис: $- 4/ - 3 \neq = 8/ - 6$ ( $4/3 \neq = - 4/3$ ). Не колінеарні.

Відповідь:

Пар колінеарних векторів: $(a, c)$ і $(b, d)$ .

Завдання 15.27

Класифікація взаємного розташування векторів

Дано три вектори: $m (4; - 6)$ , $n (- 1; \frac{3}{2})$ , $k (3; - \frac{9}{2})$ . Потрібно вказати пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

Розв’язання

Порівняємо $m (4; - 6)$ і $n (- 1; \frac{3}{2})$ . Відношення абсцис: $- 1/4 = - 0, 25$ . Відношення ординат: $(3/2) / (- 6) = 1.5/ - 6 = - 0, 25$ . Коефіцієнт від'ємний. Вектори $m$ і $n$ протилежно напрямлені.
Порівняємо $m (4; - 6)$ і $k (3; - \frac{9}{2})$ . Відношення абсцис: $3/4 = 0, 75$ . Відношення ординат: $(- 9/2) / (- 6) = - 4, 5/ - 6 = 0, 75$ . Коефіцієнт додатний. Вектори $m$ і $k$ співнаправлені.
Порівняємо $n (- 1; \frac{3}{2})$ і $k (3; - \frac{9}{2})$ . Відношення абсцис: $3/ - 1 = - 3$ . Відношення ординат: $(- 9/2) / (3/2) = - 4, 5/1, 5 = - 3$ . Коефіцієнт від'ємний. Вектори $n$ і $k$ протилежно напрямлені.

Відповідь:

Співнапрямлені: $(m, k)$ . Протилежно напрямлені: $(m, n)$ і $(n, k)$ .

Завдання 15.28

Знаходження значення x за умови колінеарності векторів

Дано вектори $a (1; x)$ та $b (\frac{x}{4}; 4)$ . Потрібно знайти $x$ , при яких ці вектори колінеарні.

Розв’язання

Записуємо умову колінеарності за координатами: $1 \cdot 4 = x \cdot \frac{x}{4}$ .
Спрощуємо рівняння: $4 = \frac{x ^{2}}{4}$ .
Помножуємо обидві частини на 4: $x^{2} = 16$ .
Знаходимо корені рівняння: $x = 4$ або $x = - 4$ .

Відповідь:

$x = 4; x = - 4$ .

Завдання 15.29

Визначення значень y для колінеарних векторів

Дано вектори $a (2; 3)$ та $b (- 1; y)$ . Потрібно знайти $y$ , при яких ці вектори колінеарні.

Розв’язання

Підставляємо координати у формулу колінеарності: $2 \cdot y = 3 \cdot (- 1)$ .
Отримуємо рівняння: $2 y = - 3$ .
Ділимо обидві частини на 2: $y = - 1, 5$ .

Відповідь:

$y = - 1, 5$ .