ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 171

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.9–15.18 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.9

Співнапрямленість векторів

Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори $a$ і $b$ , якщо: 1) $b = 2 a$ ; 2) $a = - \frac{1}{3} b$ ; 3) $b = 2 a$ .

Розв’язання

У пункті 1) $b = 2 a$ , де $2 > 0$ , отже вектори співнапрямлені.
У пункті 2) $a = - \frac{1}{3} b$ , що еквівалентно $b = - 3 a$ , де $- 3 < 0$ , отже вектори протилежно напрямлені.
У пункті 3) $b = 2 a$ , оскільки $2 > 0$ , вектори співнапрямлені.

Відповідь:

1) співнапрямлені; 2) протилежно напрямлені; 3) співнапрямлені.

Завдання 15.10

Вираз вектора через інший

Виразіть вектор $p$ з рівності: 1) $q = 3 p$ ; 2) $\overline{A C} = - 2 p$ ; 3) $\frac{1}{2} p = q$ ; 4) $2 p = 3 q$ .

Розв’язання

З рівності $q = 3 p$ поділимо на 3: $p = \frac{1}{3} q$ .
З рівності $\overline{A C} = - 2 p$ поділимо на $- 2$ : $p = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .
З рівності $\frac{1}{2} p = q$ помножимо на 2: $p = 2 q$ .
З рівності $2 p = 3 q$ поділимо на 2: $p = \frac{3}{2} q$ .

Відповідь:

1) $p = \frac{1}{3} q$ ; 2) $p = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ ; 3) $p = 2 q$ ; 4) $p = \frac{3}{2} q$ .

Завдання 15.11

Вектори діагоналей паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Виразіть: 1) вектор $\overline{A O}$ через вектор $\overline{A C}$ ; 2) вектор $\overline{B D}$ через вектор $\overline{B O}$ ; 3) вектор $\overline{C O}$ через вектор $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Оскільки точка $O$ є серединою діагоналі $A C$ , то $\overline{A O} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ .
Точка $O$ є серединою діагоналі $B D$ , тому вектор $\overline{B D}$ у 2 рази більший за $\overline{B O}$ і має такий самий напрямок: $\overline{B D} = 2 \overline{B O}$ .
Вектор $\overline{C O}$ спрямований протилежно до $\overline{A C}$ і має вдвічі меншу довжину, тому $\overline{C O} = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A O} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ ; 2) $\overline{B D} = 2 \overline{B O}$ ; 3) $\overline{C O} = - \frac{1}{2} \overline{A C}$ .

Завдання 15.12

Виразити вектор діагоналі через сторони паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Відомо, що $A B = a$ , $A D = b$ . Потрібно виразити вектор $A O$ через вектори $a$ і $b$ .

Розв’язання

За властивостями паралелограма $A C = A B + A D$ , отже $A C = a + b$ .
Оскільки $O$ — середина $A C$ , то $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ .

Відповідь:

$A O = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

Завдання 15.13

Виразити вектор середини сторін через інші вектори трикутника

У трикутнику $A B C$ точки $M$ і $N$ — середини сторін $A B$ і $B C$ відповідно. Потрібно виразити: 1) $M N$ через $C A$ ; 2) $A C$ через $M N$ .

Розв’язання

За означенням середньої лінії (або векторів): $M N = \frac{1}{2} A C$ .
Для першого пункту: $M N = \frac{1}{2} C A$ (враховуючи напрямок від $C$ до $A$ , оскільки $A C = - C A$ , то $M N = - \frac{1}{2} C A$ ). Перевіримо напрямки: $M N$ спрямований від $A B$ до $B C$ , а $C A$ — від $C$ до $A$ . Вектор $A C$ спрямований від $A$ до $C$ . Отже, $M N = \frac{1}{2} A C = - \frac{1}{2} C A$ .
Для другого пункту: з рівності $M N = - \frac{1}{2} C A$ виразимо $C A = - 2 M N$ , а отже $A C = 2 M N$ .

Відповідь:

1) $M N = - \frac{1}{2} C A$ ; 2) $A C = 2 M N$

Завдання 15.14

Знайти координати та модуль вектора після множення на число

Дано вектор $a (- 4; 2)$ . Знайдіть координати та модуль вектора для випадків: 1) $3 a$ ; 2) $- \frac{1}{2} a$ ; 3) $\frac{3}{2} a$ .

Розв’язання

Знайдемо модуль початкового вектора: $∣ a ∣ = (- 4)^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 20 = 25$ .
Координати $3 a$ : $(3 \cdot (- 4); 3 \cdot 2) = (- 12; 6)$ . Модуль: $3 \cdot 25 = 65$ .
Координати $- \frac{1}{2} a$ : $(- \frac{1}{2} \cdot (- 4); - \frac{1}{2} \cdot 2) = (2; - 1)$ . Модуль: $\frac{1}{2} \cdot 25 = 5$ .
Координати $\frac{3}{2} a$ : $(\frac{3}{2} \cdot (- 4); \frac{3}{2} \cdot 2) = (- 6; 3)$ . Модуль: $\frac{3}{2} \cdot 25 = 35$ .

Відповідь:

1) $(- 12; 6)$ , $65$ ; 2) $(2; - 1)$ , $5$ ; 3) $(- 6; 3)$ , $35$ .

Завдання 15.15

Координати та модуль вектора при множенні на число

Дано вектор $b (- 6; 12)$ . Знайти координати та модуль вектора для випадків: 1) $2 b$ ; 2) $- \frac{1}{6} b$ ; 3) $\frac{2}{3} b$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Координати $2 b$ дорівнюють $(2 \cdot (- 6); 2 \cdot 12) = (- 12; 24)$ . Модуль: $(- 12)^{2} + 2 4^{2} = 144 + 576 = 720 = 125$ .
Для пункту 2): Координати $- \frac{1}{6} b$ дорівнюють $(- \frac{1}{6} \cdot (- 6); - \frac{1}{6} \cdot 12) = (1; - 2)$ . Модуль: $1^{2} + (- 2)^{2} = 1 + 4 = 5$ .
Для пункту 3): Координати $\frac{2}{3} b$ дорівнюють $(\frac{2}{3} \cdot (- 6); \frac{2}{3} \cdot 12) = (- 4; 8)$ . Модуль: $(- 4)^{2} + 8^{2} = 16 + 64 = 80 = 45$ .

Відповідь:

1) $(- 12; 24)$ , $125$ ; 2) $(1; - 2)$ , $5$ ; 3) $(- 4; 8)$ , $45$ .

Завдання 15.16

Перевірка колінеарності векторів за координатами

Визначити, чи є колінеарними пари векторів: 1) $a (3; - 2)$ і $b (- 6; 4)$ ; 2) $a (3; - 2)$ і $c (1; 5; - 1)$ (увага, тут йдеться про 2D вектори, умова зображення має помилку в тексті, але за логікою завдання порівнюємо $a$ і $c$ ); 3) $a (3; - 2)$ і $d (- 3; - 2)$ .

Розв’язання

Для $a (3; - 2)$ і $b (- 6; 4)$ : $- 6/3 = - 2$ , $4/ (- 2) = - 2$ . Відношення однакове, отже вектори колінеарні (протилежно напрямлені).
Для $a (3; - 2)$ і $c (1; 5)$ : $1/3 \neq = 5/ (- 2)$ . Відношення різні, отже вектори не колінеарні. (Примітка: у тексті завдання є дрібність з координатами $c$ , але за логікою порівняння $3$ і $1$ , $- 2$ і $5$ вони не пропорційні).
Для $a (3; - 2)$ і $d (- 3; - 2)$ : $- 3/3 = - 1$ , $- 2/ (- 2) = 1$ . Відношення різні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:

1) Так (протилежно напрямлені); 2) Ні; 3) Ні.

Завдання 15.17

Перевірка колінеарності векторів з іншими координатами

Визначити, чи є колінеарними пари векторів: 1) $a (4; - 5)$ і $b (16; 20)$ ; 2) $m (- 6; 8)$ і $n (3; - 4)$ .

Розв’язання

Для $a (4; - 5)$ і $b (16; 20)$ : $16/4 = 4$ , $20/ (- 5) = - 4$ . Коефіцієнти різні ( $4 \neq = - 4$ ), отже вектори не колінеарні.
Для $m (- 6; 8)$ і $n (3; - 4)$ : $3/ (- 6) = - 0, 5$ , $- 4/8 = - 0, 5$ . Коефіцієнти однакові ( $k = - 0, 5$ ), отже вектори колінеарні (протилежно напрямлені).

Відповідь:

1) Ні; 2) Так (протилежно напрямлені).

Завдання 15.18

Знаходження координат суми та різниці векторів

Дано вектори $\overline{a} (3; - 3)$ і $\overline{b} (- 16; 8)$ . Знайти координати вектора:
1) $2 \overline{a} + \frac{1}{2} \overline{b}$ ;
2) $- \frac{1}{3} \overline{a} + \frac{3}{4} \overline{b}$ ;
3) $\overline{a} - \frac{5}{8} \overline{b}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $2 \overline{a} = (6; - 6)$ , $\frac{1}{2} \overline{b} = (- 8; 4)$ . Сума: $(6 - 8; - 6 + 4) = (- 2; - 2)$ .
Для пункту 2): $- \frac{1}{3} \overline{a} = (- 1; 1)$ , $\frac{3}{4} \overline{b} = (- 12; 6)$ . Сума: $(- 1 - 12; 1 + 6) = (- 13; 7)$ .
Для пункту 3): $\overline{a} = (3; - 3)$ , $- \frac{5}{8} \overline{b} = (10; - 5)$ . Різниця: $(3 - 10; - 3 - (- 5)) = (- 7; 2)$ .

Відповідь:

1) $(- 2; - 2)$ ; 2) $(- 13; 7)$ ; 3) $(- 7; 2)$ .