ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 170

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 15.3–15.8 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 15.3

Побудова векторних сум та різниць

Дано вектори $a$ і $b$ (див. Рис. 15.7). Потрібно побудувати: 1) $2 a + b$ ; 2) $\frac{1}{3} a + b$ ; 3) $a - \frac{2}{3} b$ .

Розв’язання

Побудуйте вектор $2 a + b$ : відкладіть вектор $2 a$ (довжина в 2 рази більша за $a$ , той самий напрям), а до його кінця прикресліть вектор $b$ .
Побудуйте вектор $\frac{1}{3} a + b$ : візьміть вектор $a$ і поділіть його довжину на 3 частини, відкладіть одну таку частину, а до її кінця прикресліть вектор $b$ .
Побудуйте вектор $a - \frac{2}{3} b$ : побудуйте вектор $- \frac{2}{3} b$ (протилежний напрямок до $b$ , довжина в 2/3 від $b$ ), додайте його до вектора $a$ .

Відповідь:

Побудовані вектори на координатній сітці (визначені графічно).

Завдання 15.4

Побудова лінійних комбінацій довільних векторів

Побудувати два неколінеарні вектори $x$ і $y$ . Вибрати точку $O$ і відкласти від неї: 1) $3 x + y$ ; 2) $- \frac{1}{2} x + 3 y$ ; 3) $- 2 x - \frac{1}{3} y$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Побудуйте вектор $3 x$ (подовжте $x$ у 3 рази), а до його кінця прикресліть вектор $y$ .
Для пункту 2): Побудуйте вектор $- \frac{1}{2} x$ (протилежний напрямок, довжина в 2 рази менша) і $3 y$ (подовжте $y$ у 3 рази), потім додайте їх.
Для пункту 3): Побудуйте вектор $- 2 x$ (протилежний напрямок, довжина в 2 рази більша) і $- \frac{1}{3} y$ (протилежний напрямок, довжина в 3 рази менша), потім додайте їх.

Відповідь:

Графічні зображення векторів $3 x + y$ , $- \frac{1}{2} x + 3 y$ та $- 2 x - \frac{1}{3} y$ на координатній площині.

Завдання 15.5

Побудова точок за умовами співвідношення векторів

Побудувати три точки $A, B$ і $C$ так, щоб виконувалися умови: 1) $\overline{A B} = 2 \overline{A C}$ ; 2) $\overline{A B} = - 3 \overline{A C}$ ; 3) $\overline{B C} = \frac{1}{2} \overline{A B}$ ; 4) $\overline{A C} = - \frac{1}{3} \overline{B C}$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Проведіть пряму, відкладіть вектор $\overline{A C}$ довільної довжини. Точка $B$ має лежати на продовженні цього вектора так, щоб його довжина була в 2 рази більшою за $\overline{A C}$ .
Для пункту 2): Проведіть пряму, відкладіть вектор $\overline{A C}$ . Точка $B$ має знаходитися на протилежному промені відносно точки $A$ , а довжина $\overline{A B}$ має бути в 3 рази більшою за $\overline{A C}$ .
Для пункту 3): Побудуйте вектор $\overline{A B}$ довільної довжини. Точка $C$ має знаходитися на середині відрізка $\overline{A B}$ (оскільки $\overline{B C}$ — це половина $\overline{A B}$ і вони спрямовані однаково).
Для пункту 4): Побудуйте вектор $\overline{B C}$ . Точка $A$ має знаходитися на продовженні цього вектора, причому довжина $\overline{A C}$ має бути в 3 рази меншою за $\overline{B C}$ і спрямована протилежно до $\overline{B C}$ .

Відповідь:

Побудовані конфігурації точок $A, B, C$ для кожного з чотирьох випадків на одній прямій.

Завдання 15.6

Знаходження модуля вектора при множенні на число

Дано, що $∣ m ∣ = 4$ . Знайти модулі векторів $3 m$ та $- \frac{1}{2} m$ .

Розв’язання

Для вектора $3 m$ : $∣3 m ∣ = ∣3∣ \cdot ∣ m ∣ = 3 \cdot 4 = 12$ .
Для вектора $- \frac{1}{2} m$ : $∣ - \frac{1}{2} m ∣ = ∣ - \frac{1}{2} ∣ \cdot ∣ m ∣ = 0, 5 \cdot 4 = 2$ .

Відповідь:

$∣3 m ∣ = 12$ , $∣ - \frac{1}{2} m ∣ = 2$ .

Завдання 15.7

Знаходження модуля вектора за умови пропорційності

Відомо, що $∣ c ∣ = 12$ . Знайти $∣ p ∣$ , якщо: 1) $p = - 4 c$ ; 2) $p = \frac{2}{3} c$ .

Розв’язання

Якщо $p = - 4 c$ , то $∣ p ∣ = ∣ - 4∣ \cdot ∣ c ∣ = 4 \cdot 12 = 48$ .
Якщо $p = \frac{2}{3} c$ , то $∣ p ∣ = ∣ \frac{2}{3} ∣ \cdot ∣ c ∣ = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ .

Відповідь:

1) $∣ p ∣ = 48$ ; 2) $∣ p ∣ = 8$ .

Завдання 15.8

Аналіз співвідношення векторів за коефіцієнтом k

Відомо, що $b = k a$ ( $a \neq = 0$ ). Заповнити таблицю для різних $k$ : 3, 1, -0,4, -1, -5, 0,7. Критерії: співнапрямлені, протилежно напрямлені, мають рівні модулі, протилежні, рівні.

Розв’язання

При $k = 3$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = 1$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (так), протилежні (ні), рівні (так).
При $k = - 0, 4$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = - 1$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (так), протилежні (так), рівні (ні).
При $k = - 5$ : співнапрямлені (ні), протилежно напрямлені (так), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).
При $k = 0, 7$ : співнапрямлені (так), протилежно напрямлені (ні), рівні модулі (ні), протилежні (ні), рівні (ні).

Відповідь:

Таблиця заповнюється відповідно до аналізу кожного значення $k$ (див. кроки вище).