Сторінка 17

Розв’язання

1. Позначимо вершину тупого кута як $A$. Нехай висота $AH=5\text{см}$, а точка $H$ лежить на стороні $BC$. Оскільки $AH$ ділить сторону навпіл, то $BH=HC=5\text{см}$.

2. Розглянемо прямокутний трикутник $ABH$, де $\angle B=30^{\circ }$. Знайдемо гіпотенузу $AB$: $AB=\frac{AH}{\sin 30^{\circ }}=\frac{5}{0,5}=10\text{см}$.

3. Розглянемо прямокутний трикутник $AHC$, де катети $AH=5\text{см}$ і $HC=5\text{см}$. Знайдемо діагональ $AC$ за теоремою Піфагора: $AC=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{см}$.

4. Знайдемо кути між діагоналлю та сторонами. У $△AHC$ катети рівні, отже $\angle HAC=\angle HCA=45^{\circ }$. У $△ABH$ кут при вершині $A$ дорівнює $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.

Розв’язання

1. Оскільки пряма $CE$ паралельна стороні $AB$, а точка $E$ лежить на основі $AD$, то відрізок $AE$ є частиною однієї з основ, а $ED$ — частиною іншої? Ні, $AD$ і $BC$ — основи. Тоді $CE\parallel AB$ означає, що $ABCE$ є трапецією з основами $AB$ і $CE$ (якщо $AE\parallel BC$) або $ABCD$ трапеція з основами $AD$ і $BC$, а $CE$ паралельна бічній стороні $AB$. У такому випадку, якщо $CE\parallel AB$, то чотирикутник $ABCE$ є трапецією з основами $AE$ і... Насправді, якщо $CE\parallel AB$, то $ABCE$ — це трапеція, де $AE$ і $BC$ не обов'язково паралельні. Але в умові сказано, що $AD$ — основа, отже $AD\parallel BC$. Тоді $AB$ і $CD$ — бічні сторони. Пряма $CE\parallel AB$, де $E\in AD$. Це означає, що чотирикутник $ABCE$ є трапецією з основами $AE$ і... ні, основи трапеції $ABCD$ — це $AD$ і $BC$. Тоді $AB$ і $CD$ — бічні сторони. Якщо $CE\parallel AB$, то $ABCE$ — це паралелограм? Ні, бо $AE$ і $BC$ не обов'язково паралельні, але $AD\parallel BC$, отже $AE\parallel BC$. Тоді $ABCE$ є трапецією з основами $AE$ і $BC$? Ні, $AE$ лежить на прямій $AD$, яка паралельна $BC$. Отже, $AE\parallel BC$. Тоді $ABCE$ — це трапеція з основами $AE$ і $BC$, а бічна сторона $AB$ паралельна $CE$. Це означає, що $ABCE$ є паралелограмом? Ні, для паралелограма потрібно дві пари паралельних сторін. Тут $AE\parallel BC$ (основи великої трапеції) і $AB\parallel CE$. Отже, $ABCE$ — це паралелограм.

2. У паралелограмі протилежні сторони рівні, отже $BC=AE=7\text{см}$.

3. Оскільки $AD$ — основа трапеції, то $AD=AE+DE=7\text{см}+10\text{см}=17\text{см}$.

4. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ: $m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{17\text{см}+7\text{см}}{2}=\frac{24\text{см}}{2}=12\text{см}$.

Розв’язання

1. Нехай $a=8\text{см}$, $b=11\text{см}$. Кут $\alpha$ лежить проти сторони $a$, а кут $\beta$ — проти сторони $b$. Оскільки $a<b$, то $\alpha <\beta$.

2. Сума кутів трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Якщо б $\alpha \ge 90^{\circ }$, то $\beta >90^{\circ }$ (бо $\beta >\alpha$). Тоді сума $\alpha +\beta >180^{\circ }$, що неможливо.

3. Отже, кут $\alpha$ завжди є гострим.

Розв’язання

1. Розглянемо прямокутний трикутник $ABD$ ($\angle BDA=90^{\circ }$). Знайдемо висоту $BD$:
   $BD=AB\cdot \sin A=10\cdot \sin 60^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}(\text{см})$.

2. Розглянемо прямокутний трикутник $BDC$ ($\angle BDC=90^{\circ }$). Знайдемо сторону $BC$:
   $\sin C=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BC=\frac{BD}{\sin C}$.
   Підставимо значення: $BC=\frac{5\sqrt{3}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{6}(\text{см})$.

Розв’язання

1. Нехай пряма $AC$ перетинає висоту $BD$ у точці $D$. Оскільки $\angle BAC=150^{\circ }$, то кут між стороною $AB$ і прямою $AC$ (зовнішній) дорівнює $30^{\circ }$.

2. Розглянемо прямокутний трикутник $ABD$ ($\angle ADB=90^{\circ }$). Катет $BD$ знайдемо через синус кута $30^{\circ }$:
   $BD=AB\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot 0,5=6(\text{см})$.

3. Катет $AD$ (проєкція сторони $AB$ на пряму $AC$) знайдемо через косинус кута $30^{\circ }$:
   $AD=AB\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}(\text{см})$.

Розв’язання

1. Проведіть пряму $MN$ паралельно основі $BC$, яка проходить через середину висоти, опущеної з вершини $A$. Це розділить трикутник на менший трикутник $AMN$ і трапецію $MNCB$.

2. Проведіть пряму $PQ$ паралельно основі $BC$, яка проходить через середину висоти, опущеної з вершини $A$, але зміщена так, щоб розділити трапецію на два рівні частини (або використати інший спосіб: розрізати трикутник двома прямими, паралельними до однієї сторони).
   Кращий метод: Проведіть дві прямі, паралельні до сторони $BC$, які проходять через середини висот, опущених з вершин $A$ (це складніше).
   Простий метод: Розріжте трикутник двома прямими, паралельними до однієї зі сторін (наприклад, до $AC$), так щоб отримати три частини. Однак найпростіший спосіб для 3-х частин — це розрізати трикутник на два прямокутних трикутника (якщо він прямокутний) або використати метод перенесення вершин.
   Стандартне рішення: Проведіть пряму $DE$ паралельно до сторони $BC$, де $D$ і $E$ — середини сторін $AB$ та $AC$. Це дає трикутник $ADE$ і трапецію $DBCE$. Потім розріжте трапецію на два прямокутні трапеції або перетворіть її.
   Спрощене пояснення: Розріжте трикутник двома прямими, паралельними до однієї зі сторін так, щоб отримати менший трикутник і дві трапеції. Перемістіть ці частини, щоб сформувати прямокутник.