Сторінка 164

Розв’язання

1. Знайдемо координату $x$ рівнодійної: $x=2+(-5)=-3$.

2. Знайдемо координату $y$ рівнодійної: $y=7+4=11$.

Розв’язання

1. Вектор сили лебедя спрямований вертикально вгору (проти тяжіння, але не по прямій до цілі).

2. Вектор сили щуки спрямований горизонтально вбік.

3. Вектор сили рака спрямований горизонтально назад або вниз.

4. Оскільки вектори направлені у різні боки і не співпадають за напрямком руху, їх векторна сума дорівнює нулю (або дуже малому значенню), тому сумарний вектор зміщення дорівнює нулю.

Розв’язання

1. Побудуємо векторну діаграму, де вектор швидкості течії (${\vec{v}}_{т}$) перпендикулярний до вектора власної швидкості плавчиня (${\vec{v}}_{пл}$).

2. У прямокутному трикутнику знайдемо тангенс кута $\alpha$ між гіпотенузою (вектором результуючої швидкості) і катетом $\sqrt{3}$: $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.

3. Знаючи, що $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$, визначаємо кут.

Розв’язання

1. Переведемо час у секунди: $t=4\text{хв}=240\text{с}$. Знайдемо проекцію переміщення на напрямок, перпендикулярний до берега (ширину річки): $S_{\perp }=240\text{м}$.

2. Знайдемо швидкість човна відносно води: $v_{\text{човн}}=\frac{S_{\perp }}{t}=\frac{240}{240}=1\text{м/с}$.

3. Знайдемо проекцію переміщення на напрямок течії: $S_{\parallel }=48\text{м}$. Обчислимо швидкість течії: $v_{\text{теч}}=\frac{S_{\parallel }}{t}=\frac{48}{240}=0,2\text{м/с}$.

Розв’язання

1. Нехай радіус кола дорівнює $R$. Для вписаного правильного шестикутника сторона $a_1=R$. Площа $S_{\text{вп}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}_1^2=\frac{6\sqrt{3}}{4}{R}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2$.

2. Для описаного правильного шестикутника відстань від центру до сторони дорівнює $R$. Сторона $a_2$ пов'язана з $R$ співвідношенням $\sin (60^{\circ })=\frac{R}{a_2/2}\Rightarrow a_2=\frac{2R}{\sqrt{3}/2}=\frac{4R}{\sqrt{3}}$. Або простіше: площа описаного шестикутника $S_{\text{оп}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}_2^2$, де $a_2=R\sqrt{3}$ (оскільки $R$ — це висота рівностороннього трикутника зі стороною $a_2$, то $R=a_2\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a_2=\frac{2R}{\sqrt{3}}$). Перевіримо: площа описаного шестикутника через радіус кола, вписаного в нього ($r=R$): $S_{\text{оп}}=6\cdot r^2\cot (30^{\circ })=6R^2\sqrt{3}$.

3. Знайдемо відношення: $\frac{S_{\text{вп}}}{S_{\text{оп}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2}{6\sqrt{3}{R}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$? Ні, щось не так.
   Спробуємо інший підхід через площі рівносторонніх трикутників. Площа вписаного шестикутника $S_{\text{вп}}=6\cdot S_{△}(R)$. Площа описаного шестикутника $S_{\text{оп}}$ — це площа шестикутника, вписаного в коло радіуса $R^{\prime }$, де $R^{\prime }=a_2/2$. Але краще через формулу площі через радіус кола.
   Площа вписаного правильного $n$-кутника: $S_{\text{вп}}=\frac{n}{2}{R}^2\sin (\frac{360^{\circ }}{n})$. Для $n=6$: $S_{\text{вп}}=3R^2\sin (60^{\circ })=3R^2\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Площа описаного правильного $n$-кутника (коло є вписаним у нього): $S_{\text{оп}}=n{r}^2\cot (\frac{180^{\circ }}{n})$, де $r=R$. $S_{\text{оп}}=6R^2\cot (30^{\circ })=6R^2\sqrt{3}$.
   Відношення: $\frac{3\sqrt{3}/2R^2}{6\sqrt{3}{R}^2}=\frac{3/2}{6}=\frac{1}{4}$. Це не $\frac{3}{4}$.
   Перечитаємо умову: "площа ... вписаного ... становить 3/4 площі ... описаного". Можливо, я помилився у формулі для описаного.
   Площа описаного шестикутника через радіус вписаного кола $r$: $S=\frac{1}{2}Pr$. Периметр $P=6a$, де $a$ — сторона. $r=a\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=\frac{2r}{\sqrt{3}}$. $P=6\cdot \frac{2r}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}r$. $S_{\text{оп}}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}r\cdot r=2\sqrt{3}{r}^2$.
   Площа вписаного шестикутника через радіус кола $R=r$: $S_{\text{вп}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2=1,5\sqrt{3}{R}^2$.
   Відношення $S_{\text{вп}}/S_{\text{оп}}=\frac{1,5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1,5}{2}=0,75=\frac{3}{4}$.
   Так, все правильно. Помилка була в формулі для описаного шестикутника (я взяв $6R^2\sqrt{3}$ замість $2\sqrt{3}{R}^2$).