ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 163

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 14.39–14.49 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 14.39

Виразити вектори через базисні в паралелограмі

Дано паралелограм $A B C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B C}$ , $\overline{D C}$ і $\overline{D A}$ через вектори $\overline{A B} = a$ і $\overline{B D} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $\overline{B C} = \overline{A D}$ . Знайдемо $\overline{A D}$ через $\overline{A B}$ і $\overline{B D}$ : $\overline{A D} = \overline{A B} + \overline{B D} = a + b$ . Отже, $\overline{B C} = a + b$ .
Вектор $\overline{D C}$ є діагоналлю паралелограма, що сполучає точки $D$ і $C$ . За правилом трикутника для $△ B D C$ : $\overline{D C} = \overline{D B} + \overline{B C}$ . Оскільки $\overline{D B} = - b$ і ми знайшли $\overline{B C} = a + b$ , то $\overline{D C} = - b + (a + b) = a$ .
Вектор $\overline{D A}$ — це вектор від $D$ до $A$ , який є протилежним до $\overline{A D}$ . Оскільки $\overline{A D} = a + b$ , то $\overline{D A} = - (a + b) = - a - b$ .

Відповідь:

$\overline{B C} = a + b$ ; $\overline{D C} = a$ ; $\overline{D A} = - a - b$ .

Завдання 14.40

Виразити вектори через середини сторін трикутника

Точки $M$ і $N$ — середини відповідно сторін $B A$ і $B C$ трикутника $A B C$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A M}$ , $\overline{N C}$ , $\overline{M N}$ і $\overline{N B}$ через вектори $\overline{B M} = m$ і $\overline{B N} = n$ .

Розв’язання

Оскільки $M$ — середина $B A$ , то $\overline{A M} = \overline{M B}$ . Вектор $\overline{B M} = m$ , отже $\overline{M B} = - m$ . Тоді $\overline{A M} = - m$ .
Оскільки $N$ — середина $B C$ , то $\overline{N C} = \overline{B N}$ . Вектор $\overline{B N} = n$ , отже $\overline{N C} = n$ .
Вектор $\overline{N B}$ є протилежним до $\overline{B N}$ , тому $\overline{N B} = - n$ .
Щоб знайти $\overline{M N}$ , скористаємося правилом трикутника для $△ M B N$ : $\overline{M N} = \overline{M B} + \overline{B N} = - m + n$ .

Відповідь:

$\overline{A M} = - m$ ; $\overline{N C} = n$ ; $\overline{M N} = n - m$ ; $\overline{N B} = - n$ .

Завдання 14.41

Виразити сторони паралелограма через вектори між серединами

У паралелограмі $A B C D$ точки $M, N$ і $K$ — середини відповідно сторін $A B$ , $B C$ і $C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ через вектори $\overline{M N} = m$ і $\overline{K N} = n$ .

Розв’язання

Вектор $\overline{M N}$ з'єднує середини сторін $A B$ і $B C$ . За властивістю вектора, що з'єднує середини двох сторін трикутника (або паралелограма), $\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ . Але нам потрібно виразити через $m$ і $n$ .
Розглянемо вектор $\overline{B A}$ . Оскільки $M$ — середина $A B$ , то $\overline{B M} = \frac{1}{2} \overline{B A}$ . Також $\overline{M N} = \overline{M B} + \overline{B N}$ . Це складно. Спробуємо інший шлях: $\overline{M N} = \frac{1}{2} (\overline{A B} + \overline{B C})$ . Але нам треба $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ .
Використаємо властивість, що $\overline{M N} = \frac{1}{2} \overline{A C}$ . Тоді $\overline{A C} = 2 m$ . Також $\overline{K N}$ з'єднує середини $C D$ і $B C$ , отже $\overline{K N} = \frac{1}{2} \overline{B D}$ . Тоді $\overline{B D} = 2 n$ .
Тепер виразимо сторони через діагоналі. У паралелограмі $\overline{B A} + \overline{B C} = \overline{A C}$ і $\overline{B A} - \overline{B C} = \overline{C A} = - \overline{A C}$ . Це не зовсім правильно для векторів. Правильніше: $\overline{A B} + \overline{A D} = \overline{A C}$ і $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B} = - \overline{B D}$ .
Позначимо $\overline{A B} = x$ , $\overline{A D} = y$ . Тоді $\overline{A C} = x + y = 2 m$ і $\overline{B D} = y - x = 2 n$ .
Розв'яжемо систему: $x + y = 2 m$ і $- x + y = 2 n$ . Додамо рівняння: $2 y = 2 (m + n) \Rightarrow y = m + n$ . Отже, $\overline{A D} = m + n$ . Віднімемо друге від першого: $2 x = 2 (m - n) \Rightarrow x = m - n$ . Тоді $\overline{A B} = m - n$ , а нам треба $\overline{B A} = - \overline{A B} = - (m - n) = n - m$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = n - m$ ; $\overline{A D} = m + n$ .

Завдання 14.42

Вираз векторів через діагоналі паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Потрібно виразити вектори $\overline{B A}$ і $\overline{A D}$ через вектори $\overline{D O} = a$ і $\overline{O C} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $O$ — середина діагоналі $B D$ , то $\overline{O B} = - \overline{D O} = - a$ .
Оскільки $O$ — середина діагоналі $A C$ , то $\overline{O A} = - \overline{O C} = - b$ .
Знайдемо $\overline{B A}$ : $\overline{B A} = \overline{B O} + \overline{O A} = (- a) + (- b) = - (a + b)$ .
Знайдемо $\overline{A D}$ : $\overline{A D} = \overline{A O} + \overline{O C} = - \overline{O A} + \overline{O C} = - (- b) + b = 2 b$ .

Відповідь:

$\overline{B A} = - (a + b)$ , $\overline{A D} = 2 b$ .

Завдання 14.43

Нерівність трикутника для векторів (доказ)

Доведіть, що для неколінеарних векторів $a$ і $b$ виконується нерівність $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Поясніть необхідність умови неколінеарності.

Розв’язання

Побудуємо паралелограм з векторами $a$ і $b$ як сусідними сторонами. Тоді діагональ, що починається з спільного початку, дорівнює вектору $c = a + b$ .
За нерівністю трикутника сума довжин двох сторін завжди більша за третю сторону: $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ c ∣$ , тобто $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ a + b ∣$ .
Рівність можлива лише якщо трикутник вироджується в пряму лінію, тобто вектори колінеарні і спрямовані однаково. Оскільки умовою є неколінеарність, знак строго менше ( $<$ ) є правильним.

Відповідь:

Доведено, що $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Вектори мають бути неколінеарними, оскільки при колінеарності (спрямованості) виконується рівність $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ , що суперечить умові нерівності.

Завдання 14.44

Нерівність трикутника для різниці векторів (доказ)

Доведіть, що для неколінеарних векторів $a$ і $b$ виконується нерівність $∣ a - b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Розв’язання

Розглянемо вектори $a$ і $b$ , що виходять з однієї точки $O$ . Точка $A$ — кінець $a$ , точка $B$ — кінець $b$ .
Вектор $\overline{B A}$ дорівнює $a - b$ (або $b - a$ , модуль той самий). Трикутник $O A B$ утворений сторонами з довжинами $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ і $∣ a - b ∣$ .
За нерівністю трикутника сума двох сторін більша за третю: $∣ a ∣ + ∣ b ∣ > ∣ \overline{B A} ∣ = ∣ a - b ∣$ .
Оскільки вектори неколінеарні, трикутник не вироджується, тому знак строго менше є правильним.

Відповідь:

Доведено, що $∣ a - b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Завдання 14.45

Сума векторів за модулями

Чи може сума трьох векторів дорівнювати нульовому вектору, якщо їхні модулі: 1) $5, 2, 3$ ; 2) $4, 6, 3$ ; 3) $8, 9, 18$ .

Розв’язання

Перевіряємо умову трикутника для кожного набору чисел ( $a + b \geq c$ , де $c$ — найбільше число).
Для набору 1): $2 + 3 = 5$ . Оскільки сума двох менших дорівнює найбільшому, нульовий вектор можливий (вектори лежать на одній прямій).
Для набору 2): $4 + 3 = 7$ , а $7 < 6$ — хибно, але правильно: $4 + 3 = 7 > 6$ . Трикутник існує, отже сума може бути нулем.
Для набору 3): $8 + 9 = 17$ , а $17 < 18$ . Сума двох менших менша за найбільше, тому трикутник (або вироджений) неможливий.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні.

Завдання 14.46

Властивість діагоналей паралелограма

Довести, що для будь-якої точки $X$ у паралелограмі $A B C D$ виконується рівність $X A + X C = X B + X D$ .

Розв’язання

Позначимо точку перетину діагоналей як $O$ . Оскільки $A B C D$ — паралелограм, то $O$ є серединою $A C$ і $B D$ , тому $O A + O C = 0$ та $O B + O D = 0$ .
Запишемо вектори через точку $O$ : $X A = X O + O A$ , $X C = X O + O C$ . Сума: $X A + X C = 2 X O + (O A + O C) = 2 X O$ .
Аналогічно для другої діагоналі: $X B = X O + O B$ , $X D = X O + O D$ . Сума: $X B + X D = 2 X O + (O B + O D) = 2 X O$ .
Отже, обидві суми дорівнюють $2 X O$ , тому рівність виконується.

Відповідь:

Рівність $X A + X C = X B + X D$ доведена.

Завдання 14.47

Геометричне місце точок за умовою векторної рівності

Дано точки $A$ і $B$ . Знайти геометричне місце точок $X$ , для яких виконується рівність $A B + B X = A B$ .

Розв’язання

Скористаємося правилом додавання векторів: $A B + B X = A X$ .
Підставимо у вихідну рівність: $A X = A B$ .
Два вектори рівні, якщо вони мають однакові модулі і напрямки. Це означає, що точка $X$ повинна збігатися з точкою $B$ , оскільки $A B$ починається в $A$ і закінчується в $B$ .

Відповідь:

Геометричним місцем точок є одна точка — точка $B$ .

Завдання 14.48

Геометричне місце точок за умовою векторного рівняння

Дано дві точки $A$ і $B$ . Знайдіть геометричне місце точок $X$ , таких, що $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{B X}$ .

Розв’язання

Перетворимо умову рівняння: $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{B X}$ . Віднімемо вектор $\overline{B X}$ від обох частин рівності, отримуючи $\overline{A B} = 0$ .
Проте це суперечить умові, оскільки $A$ і $B$ — різні точки, тому $\overline{A B} \neq = 0$ . Перевіримо ще раз правило додавання: $\overline{A B} + \overline{B X} = \overline{A X}$ . Тоді рівняння стає $\overline{A X} = \overline{B X}$ .
Це означає, що відстань від точки $X$ до точки $A$ дорівнює відстані від точки $X$ до точки $B$ ( $X A = X B$ ).
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізку $A B$ , є серединний перпендикуляр до цього відрізку.

Відповідь:

Середина перпендикулярна до відрізка $A B$ .

Завдання 14.49

Властивість суми векторів медіан трикутника

Медіани трикутника $A B C$ перетинаються в точці $M$ . Доведіть, що $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 0$ .

Розв’язання

Нехай $A_{1}$ , $B_{1}$ та $C_{1}$ — середини сторін $B C$ , $A C$ та $A B$ відповідно. Тоді $\overline{M A} = 2 \overline{M A_{1}}$ , $\overline{M B} = 2 \overline{M B_{1}}$ , $\overline{M C} = 2 \overline{M C_{1}}$ .
Складемо суму: $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 2 (\overline{M A_{1}} + \overline{M B_{1}} + \overline{M C_{1}})$ .
За властивістю векторів у трикутнику (або за правилом чотирикутника), сума векторів від точки перетину медіан до середин сторін дорівнює нулю: $\overline{M A_{1}} + \overline{M B_{1}} + \overline{M C_{1}} = 0$ .
Отже, $2 (0) = 0$ , що й потрібно було довести.

Відповідь:

Доведено, що $\overline{M A} + \overline{M B} + \overline{M C} = 0$ .