ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 162

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 14.26–14.38 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 14.26

Сума і різниця векторів за координатами

Знайти суму ( $a + b$ ) та різницю ( $a - b$ ) для пар векторів:
1) $a (4; 8)$ і $b (2; 3)$ ;
2) $a (- 6; 0)$ і $b (5; 7)$ ;
3) $a (3; 9)$ і $b (- 1; - 1)$ ;
4) $a (- 2; - 3)$ і $b (- 4; - 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $a + b = (4 + 2; 8 + 3) = (6; 11)$ ; $a - b = (4 - 2; 8 - 3) = (2; 5)$ .
Для пункту 2: $a + b = (- 6 + 5; 0 + 7) = (- 1; 7)$ ; $a - b = (- 6 - 5; 0 - 7) = (- 11; - 7)$ .
Для пункту 3: $a + b = (3 + (- 1); 9 + (- 1)) = (2; 8)$ ; $a - b = (3 - (- 1); 9 - (- 1)) = (4; 10)$ .
Для пункту 4: $a + b = (- 2 + (- 4); - 3 + (- 2)) = (- 6; - 5)$ ; $a - b = (- 2 - (- 4); - 3 - (- 2)) = (2; - 1)$ .

Відповідь:

1) $(6; 11), (2; 5)$ ; 2) $(- 1; 7), (- 11; - 7)$ ; 3) $(2; 8), (4; 10)$ ; 4) $(- 6; - 5), (2; - 1)$ .

Завдання 14.27

Сума і різниця векторів за координатами

Знайти суму ( $m + n$ ) та різницю ( $m - n$ ) для пар векторів:
1) $m (- 5; 4)$ і $n (3; 7)$ ;
2) $m (1; - 9)$ і $n (- 8; 10)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $m + n = (- 5 + 3; 4 + 7) = (- 2; 11)$ ; $m - n = (- 5 - 3; 4 - 7) = (- 8; - 3)$ .
Для пункту 2: $m + n = (1 + (- 8); - 9 + 10) = (- 7; 1)$ ; $m - n = (1 - (- 8); - 9 - 10) = (9; - 19)$ .

Відповідь:

1) $(- 2; 11), (- 8; - 3)$ ; 2) $(- 7; 1), (9; - 19)$ .

Завдання 14.28

Вектори за координатами точок

Дано точки $A (1; - 3)$ , $B (4; 5)$ , $C (- 2; - 1)$ і $D (3; 0)$ . Знайти:
1) координати векторів $A B + C D$ і $A B - C D$ ;
2) довжини (модулі) цих векторів.

Розв’язання

Знаходимо координати векторів: $A B = (4 - 1; 5 - (- 3)) = (3; 8)$ ; $C D = (3 - (- 2); 0 - (- 1)) = (5; 1)$ .
Знаходимо координати суми та різниці: $A B + C D = (3 + 5; 8 + 1) = (8; 9)$ ; $A B - C D = (3 - 5; 8 - 1) = (- 2; 7)$ .
Знаходимо довжини: $∣ A B + C D ∣ = 8^{2} + 9^{2} = 64 + 81 = 145$ ; $∣ A B - C D ∣ = (- 2)^{2} + 7^{2} = 4 + 49 = 53$ .

Відповідь:

1) $(8; 9), (- 2; 7)$ ; 2) $145, 53$ .

Завдання 14.29

Координати суми та різниці векторів

Дано вектори $a (4; - 5)$ і $b (- 1; 7)$ . Знайти: 1) координати векторів $a + b$ і $a - b$ ; 2) модулі $∣ a + b ∣$ і $∣ a - b ∣$ .

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $a + b$ : $x = 4 + (- 1) = 3$ , $y = - 5 + 7 = 2$ . Отже, $a + b (3; 2)$ .
Знайдемо координати вектора $a - b$ : $x = 4 - (- 1) = 5$ , $y = - 5 - 7 = - 12$ . Отже, $a - b (5; - 12)$ .
Обчислимо модуль вектора $a + b$ : $∣ a + b ∣ = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .
Обчислимо модуль вектора $a - b$ : $∣ a - b ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .

Відповідь:

$a + b (3; 2)$ , $∣ a + b ∣ = 13$ ; $a - b (5; - 12)$ , $∣ a - b ∣ = 13$ .

Завдання 14.30

Знаходження невідомих координат вектора

Сума векторів $a (5; - 3)$ і $b (x; 4)$ дорівнює вектору $c (2; y)$ . Знайти $x$ і $y$ .

Розв’язання

Для першої координати: $5 + x = 2$ . Звідси $x = 2 - 5$ , отже $x = - 3$ .
Для другої координати: $- 3 + 4 = y$ . Отже $y = 1$ .

Відповідь:

$x = - 3$ , $y = 1$ .

Завдання 14.31

Знаходження невідомих координат вектора

Сума векторів $a (x; - 1)$ і $b (2; y)$ дорівнює вектору $c (- 3; 4)$ . Знайти $x$ і $y$ .

Розв’язання

Для першої координати: $x + 2 = - 3$ . Звідси $x = - 3 - 2$ , отже $x = - 5$ .
Для другої координати: $- 1 + y = 4$ . Звідси $y = 4 + 1$ , отже $y = 5$ .

Відповідь:

$x = - 5$ , $y = 5$ .

Завдання 14.32

Знаходження координат вектора при зміні напрямку

Дано вектор $\overline{M N} (3; - 5)$ . Знайти координати вектора $\overline{N M}$ .

Розв’язання

Координати вектора $\overline{N M}$ знаходимо як різницю координат відповідних точок, або просто змінюємо знаки координат вектора $\overline{M N}$ .
$x_{\overline{N M}} = - 3$ , $y_{\overline{N M}} = - (- 5) = 5$ .

Відповідь:

$\overline{N M} (- 3; 5)$

Завдання 14.33

Доведення того, що чотирикутник є паралелограмом

У чотирикутнику $A B C D$ і точці $O$ виконується рівність $\overline{O A} - \overline{O D} = \overline{O B} - \overline{O C}$ . Довести, що $A B C D$ — паралелограм.

Розв’язання

Запишемо рівність у вигляді: $\overline{O A} - \overline{O D} = \overline{O B} - \overline{O C}$ .
Перенесемо $\overline{O D}$ на праву частину, а $- \overline{O C}$ на ліву (або перетворимо різниці в суми): $\overline{O A} + \overline{D O} = \overline{O B} + \overline{C O}$ .
Використовуючи властивість додавання векторів, запишемо: $\overline{O A} - \overline{D O} = \overline{D A}$ та $\overline{O B} - \overline{O C} = \overline{C B}$ . Отже, $\overline{D A} = \overline{C B}$ .
Оскільки протилежні сторони $A D$ і $B C$ рівні як вектори (а отже, паралельні і однакової довжини), чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм

Завдання 14.34

Доведення властивості суми векторів на замкненому ланцюжку точок

Для будь-яких $n$ точок $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ довести рівність $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} + \dots + \overline{A_{n - 1} A_{n}} = \overline{A_{1} A_{n}}$ .

Розв’язання

Запишемо ланцюжок векторів: $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} + \dots + \overline{A_{n - 1} A_{n}}$ .
Згідно з правилом додавання векторів, сума двох послідовних векторів $\overline{X Y} + \overline{Y Z}$ дорівнює $\overline{X Z}$ .
По черзі застосовуємо це правило до всіх членів суми: спочатку $\overline{A_{1} A_{2}} + \overline{A_{2} A_{3}} = \overline{A_{1} A_{3}}$ , потім додаємо $\overline{A_{3} A_{4}}$ і так далі.
Останнім результатом залишається вектор від першої точки до останньої: $\overline{A_{1} A_{n}}$ .

Відповідь:

Рівність доведена

Завдання 14.35

Сума векторів у замкненому ланцюгу

Доведіть, що для будь-яких точок $A, B, C, D$ і $E$ виконується рівність $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ .

Розв’язання

Застосуємо правило додавання векторів до перших двох членів: $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ .
Додамо отриманий результат до третього вектора: $\overline{A C} + \overline{C D} = \overline{A D}$ .
Продовжимо додавання: $\overline{A D} + \overline{D E} = \overline{A E}$ .
Додамо останній вектор: $\overline{A E} + \overline{E A} = \overline{0}$ (оскільки вектори $\overline{A E}$ та $\overline{E A}$ є протилежними).

Відповідь:

$\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ (доведено).

Завдання 14.36

Вираз вектора через інші за замкненим контуром

На рисунку 14.16 зображено замкнений п'ятикутник $A B C D E$ , де сторони позначені векторами $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ . Необхідно виразити вектор $\overline{A B}$ через вектори $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ .

Розв’язання

Запишемо рівність для замкненого ланцюга: $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D E} + \overline{E A} = \overline{0}$ .
Підставимо позначення з рисунка: $\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d} + \overline{A B} = \overline{0}$ (враховуючи напрямок стрілок на малюнку).
Виразимо $\overline{A B}$ : $\overline{A B} = - (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c} + \overline{d})$ .

Відповідь:

$\overline{A B} = - \overline{a} - \overline{b} - \overline{c} - \overline{d}$ .

Завдання 14.37

Вектори паралелограма через діагоналі

Дано паралелограм $A B C D$ . Знайти вирази для векторів $\overline{A B}$ , $\overline{B C}$ і $\overline{D A}$ через вектори $\overline{C A} = \overline{a}$ та $\overline{C D} = \overline{c}$ .

Розв’язання

Знайдемо вектор $\overline{D A}$ . Оскільки $\overline{C D} = \overline{c}$ , то $\overline{D A} = - \overline{C D} = - \overline{c}$ (бо в паралелограмі $\overline{D A}$ і $\overline{C D}$ утворюють кутовий трикутник з діагоналлю, але простіше: $\overline{C A} + \overline{A D} + \overline{D C} = 0$ ).
Перепишемо правило для паралелограма: $\overline{A B} = \overline{D C}$ і $\overline{B C} = \overline{A D}$ .
Виразимо $\overline{D A}$ через $\overline{C A}$ та $\overline{C D}$ : $\overline{C A} + \overline{A D} + \overline{D C} = \overline{0} \Rightarrow \overline{a} + \overline{A D} - \overline{c} = \overline{0} \Rightarrow \overline{A D} = \overline{c} - \overline{a}$ . Тоді $\overline{D A} = - \overline{A D} = \overline{a} - \overline{c}$ .
Знайдемо $\overline{A B}$ . Оскільки $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C D} + \overline{D A} = \overline{0}$ , а в паралелограмі $\overline{A B} = - \overline{D C} = - \overline{c}$ .
Перевіримо через діагональ: $\overline{C A} = \overline{C D} + \overline{D A} \Rightarrow \overline{a} = \overline{c} + \overline{D A} \Rightarrow \overline{D A} = \overline{a} - \overline{c}$ .
$\overline{A B}$ — це вектор, протилежний до $\overline{D C}$ . Оскільки $\overline{C D} = \overline{c}$ , то $\overline{D C} = - \overline{c}$ , отже $\overline{A B} = \overline{c}$ .
$\overline{B C}$ — це вектор, протилежний до $\overline{A D}$ . Оскільки $\overline{A D} = \overline{a} - \overline{c}$ (з рівняння діагоналі), то $\overline{B C} = - (\overline{a} - \overline{c}) = \overline{c} - \overline{a}$ .

Відповідь:

$\overline{A B} = \overline{c}$ , $\overline{B C} = \overline{c} - \overline{a}$ , $\overline{D A} = \overline{a} - \overline{c}$ .

Завдання 14.38

Вираз векторів через базисні

Дано паралелограм $A B C D$ . Потрібно виразити вектори $\overline{A C}$ , $\overline{B D}$ і $\overline{B C}$ через вектори $\overline{B A} = a$ і $\overline{D A} = b$ .

Розв’язання

Оскільки $\overline{D A} = b$ , то $\overline{A D} = - b$ . У паралелограмі $\overline{B C} = \overline{A D}$ , отже $\overline{B C} = - b$ .
Знайдемо $\overline{A C}$ . За правилом трикутника $\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{B C}$ . Оскільки $\overline{B A} = a$ , то $\overline{A B} = - a$ . Підставляємо: $\overline{A C} = - a + (- b) = - (a + b)$ .
Знайдемо $\overline{B D}$ . За правилом трикутника $\overline{B D} = \overline{B A} + \overline{A D}$ . Підставляємо відомі вектори: $\overline{B D} = a + (- b) = a - b$ .

Відповідь:

$\overline{A C} = - (a + b)$ , $\overline{B D} = a - b$ , $\overline{B C} = - b$ .