ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 161

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 14.17–14.25 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 14.17

Визначення суми та різниці векторів за рисунком

Розглянути рисунок 14.15, де зображено п'ять випадків складання векторів $a$ , $b$ та $c$ . Потрібно вказати, у яких випадках (а, б, в, г, д) вектор $c$ є: 1) сумою векторів $a$ і $b$ ; 2) різницею векторів $a$ і $b$ .

Розв’язання

Проаналізуємо випадок а): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, $c$ з'єднує їхні початок і кінець. Це сума: $c = a + b$ .
Проаналізуємо випадок б): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, але напрямок стрілки $c$ протилежний сумі. Це різниця: $c = a - b$ .
Проаналізуємо випадок в): Вектори $a$ і $b$ відкладені послідовно, $c$ є сумою: $c = a + b$ .
Проаналізуємо випадок г): Вектори $a$ і $b$ відкладені від однієї точки, $c$ з'єднує їхні кінці. За правилом трикутника для різниці: $c = a - b$ .
Проаналізуємо випадок д): Вектори $a$ і $b$ відкладені від однієї точки, але напрямок стрілки $c$ протилежний різниці. Це сума: $c = a + b$ .

Відповідь:

1) Сумою є вектор $c$ у випадках а), в), д); 2) Різницею є вектор $c$ у випадках б), г).

Завдання 14.18

Знаходження суми векторів за правилом трикутника

Дано точки $A, B, C, E, F$ та $M, K, O, T$ . Потрібно знайти суму векторів: 1) $\overline{A C} + \overline{C E} + \overline{E F}$ ; 2) $\overline{M K} + \overline{K O} + \overline{O T} + \overline{T A}$ .

Розв’язання

Для першої суми $\overline{A C} + \overline{C E} + \overline{E F}$ сполучимо кінець першого вектора з початком наступного: $\overline{A C} + \overline{C E} = \overline{A E}$ .
Додамо третій вектор до отриманого результату: $\overline{A E} + \overline{E F} = \overline{A F}$ .
Для другої суми $\overline{M K} + \overline{K O} + \overline{O T} + \overline{T A}$ послідовно додаємо вектори: $\overline{M K} + \overline{K O} = \overline{M O}$ , потім $\overline{M O} + \overline{O T} = \overline{M T}$ , і нарешті $\overline{M T} + \overline{T A} = \overline{M A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A F}$ ; 2) $\overline{M A}$ .

Завдання 14.19

Знаходження різниці векторів за правилом трикутника

Дано точки $C, E, F$ та $K, A, D$ . Потрібно знайти різницю векторів: 1) $\overline{C E} - \overline{C F}$ ; 2) $\overline{K A} - \overline{K D}$ .

Розв’язання

Для різниці $\overline{C E} - \overline{C F}$ використовуємо властивість: $\overline{C E} + \overline{F E} = \overline{C F}$ , звідки $\overline{C E} - \overline{C F} = \overline{C E} + \overline{E F} = \overline{E F}$ . Або безпосередньо: вектор від кінця $F$ до кінця $E$ , тобто $\overline{F E}$ .
Для різниці $\overline{K A} - \overline{K D}$ аналогічно: це вектор від кінця $D$ до кінця $A$ , тобто $\overline{D A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{F E}$ ; 2) $\overline{D A}$ .

Завдання 14.20

Вираз вектора через інші

Дано трикутник $A B C$ . Потрібно виразити вектор $\overline{B C}$ через: 1) вектори $\overline{C A}$ і $\overline{A B}$ ; 2) вектори $\overline{A B}$ і $\overline{A C}$ .

Розв’язання

Запишемо правило додавання для замкненого трикутника: $\overline{A B} + \overline{B C} + \overline{C A} = \overline{0}$ . Звідси $\overline{B C} = - \overline{A B} - \overline{C A} = \overline{B A} + \overline{A C}$ .
Для пункту 1: $\overline{B C} = \overline{B A} + \overline{A C}$ . Оскільки $\overline{B A} = - \overline{A B}$ , то $\overline{B C} = - \overline{A B} + \overline{A C}$ .
Для пункту 2: Використовуємо правило віднімання $\overline{A C} - \overline{A B} = \overline{B C}$ .

Відповідь:

1) $\overline{B C} = \overline{A C} - \overline{A B}$ ; 2) $\overline{B C} = \overline{A C} - \overline{A B}$ .

Завдання 14.21

Доведення векторних рівностей

Для будь-яких точок $A, B, C$ і $D$ довести рівності: 1) $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A D} + \overline{D C}$ ; 2) $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{D A} - \overline{D B}$ ; 3) $\overline{A C} + \overline{C B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Зліва маємо $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ . Справа маємо $\overline{A D} + \overline{D C} = \overline{A C}$ . Отже, рівність виконується.
Для пункту 2: Зліва $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{B A}$ (віднімаємо спільну точку $C$ ). Справа $\overline{D A} - \overline{D B} = \overline{B A}$ (віднімаємо спільну точку $B$ ). Рівність виконується.
Для пункту 3: Перенесемо $- \overline{A D}$ вліво, отримаємо $\overline{A C} + \overline{C B} + \overline{D A} = \overline{D B}$ . Згрупуємо: $(\overline{A C} + \overline{C B}) + \overline{D A} = \overline{A B} + \overline{D A} = \overline{A D}$ ? Ні, перевіримо інше групування. $\overline{A C} + \overline{C B} = \overline{A B}$ . Тоді рівність стає $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ . Це вірно, оскільки $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ .

Відповідь:

1) Доведено; 2) Доведено; 3) Доведено.

Завдання 14.22

Доведення векторних рівностей

Для будь-яких точок $A, B, C$ і $D$ довести рівності: 1) $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{B D} + \overline{D C}$ ; 2) $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{C B} - \overline{C D}$ ; 3) $\overline{B A} - \overline{B D} + \overline{A C} = \overline{D C}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Зліва $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{B C}$ . Справа $\overline{B D} + \overline{D C} = \overline{B C}$ . Отже, $\overline{B C} = \overline{B C}$ , що вірно.
Для пункту 2: Зліва $\overline{A B} - \overline{A D} = \overline{D B}$ . Справа $\overline{C B} - \overline{C D} = \overline{D B}$ . Отже, рівність виконується.
Для пункту 3: Перенесемо $- \overline{B D}$ вправо як $+ \overline{D B}$ , отримаємо $\overline{B A} + \overline{A C} = \overline{D C} + \overline{D B}$ . Це не збігається. Спробуємо інший шлях: $\overline{B A} - \overline{B D} = \overline{D A}$ . Тоді рівність стає $\overline{D A} + \overline{A C} = \overline{D C}$ . Це вірно за правило трикутника $D - A - C$ .

Відповідь:

1) Доведено; 2) Доведено; 3) Доведено.

Завдання 14.23

Сума векторів у рівносторонньому трикутнику

Сторона рівностороннього трикутника $A B C$ дорівнює $3 см$ . Знайти довжину вектора $\overline{A B} + \overline{B C}$ .

Розв’язання

За правилом трикутника $\overline{A B} + \overline{B C} = \overline{A C}$ .
Оскільки трикутник $A B C$ рівносторонній, то всі його сторони рівні: $∣ \overline{A C} ∣ = ∣ \overline{A B} ∣ = 3 см$ .

Відповідь:

$3 см$

Завдання 14.24

Сума векторів у прямокутному трикутнику

Катет рівнобедреного прямокутного трикутника $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) дорівнює $4 см$ . Знайти довжину вектора $\overline{A C} + \overline{C B}$ .

Розв’язання

За умовою $∣ \overline{A C} ∣ = 4 см$ і $∣ \overline{C B} ∣ = 4 см$ .
Знайдемо гіпотенузу за теоремою Піфагора: $∣ \overline{A B} ∣ = A C^{2} + C B^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 32 = 42 см$ .

Відповідь:

$42 см$

Завдання 14.25

Сума векторів до вершин паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ діагоналі перетинаються в точці $O$ . Довести, що $\overline{O A} + \overline{O B} + \overline{O C} + \overline{O D} = 0$ .

Розв’язання

Оскільки $O$ — середина $A C$ , то $\overline{O A} + \overline{O C} = 0$ .
Оскільки $O$ — середина $B D$ , то $\overline{O B} + \overline{O D} = 0$ .
Додамо отримані рівності: $(\overline{O A} + \overline{O C}) + (\overline{O B} + \overline{O D}) = 0 + 0 = 0$ .

Відповідь:

$\overline{O A} + \overline{O B} + \overline{O C} + \overline{O D} = 0$