ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 160

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 14.5–14.16 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 14.5

Побудова різниці векторів

Побудувати різницю векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.11 (де $a$ — синій вектор, що йде вгору-вправо, а $b$ — червоний горизонтальний вектор).

Розв’язання

Побудуйте вектор $- b$ , відкладши його від кінця вектора $a$ . Оскільки $b$ спрямований вправо, то $- b$ спрямовуватиметься вліво.
Проведіть діагональ трикутника, утвореного цими векторами, починаючи від початку $a$ . Це і є шукана різниця.

Відповідь:

Вектор, що з'єднує початок $a$ з кінцем $- b$ (спрямований вниз-вліво).

Завдання 14.6

Побудова різниці векторів

Побудувати різницю векторів $a$ і $b$ , зображених на рисунку 14.12 (де $a$ — червоний вектор, що йде вниз-вправо, а $b$ — синій вектор, що йде вгору-вправо).

Розв’язання

Відкладіть від кінця вектора $a$ вектор $- b$ , який спрямований протилежно до $b$ .
Вектор, що з'єднує початок $a$ з кінцем вектора $- b$ , є шуканою різницею $a - b$ .

Відповідь:

Вектор, спрямований вниз-вправо (якщо $b$ йде вгору-вправо).

Завдання 14.7

Побудова протилежних векторів

Накреслити трикутник $A B C$ . Від точки $A$ відкласти вектори, протилежні до: 1) $A B$ ; 2) $C A$ ; 3) $B C$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Вектор $- A B$ починається в точці $A$ і спрямований навпроти вектора $A B$ (в бік точки, що лежить на продовженні відрізка $B A$ ).
Для пункту 2: Вектор $- C A$ починається в точці $A$ . Оскільки $C A$ йде від $C$ до $A$ , то $- C A$ (який дорівнює $A C$ ) спрямований від $A$ до $C$ .
Для пункту 3: Вектор $- B C$ починається в точці $A$ . Оскільки $B C$ паралельний стороні $A C$ (якщо розглядати як вектор на площині), то $- B C$ має протилежний напрямок до $B C$ .

Відповідь:

1) Вектор від $A$ у напрямку, протилежному до $B$ ; 2) Вектор $A C$ (від $A$ до $C$ ); 3) Вектор, паралельний стороні $B C$ , спрямований навпроти руху від $B$ до $C$ .

Завдання 14.8

Побудова суми векторів у паралелограмі

Накреслити паралелограм $A B C D$ . Побудувати вектори: 1) $B C + B A$ ; 2) $B C + D C$ ; 3) $B C + C A$ ; 4) $B C + A D$ ; 5) $A C + D B$ .

Розв’язання

Накресліть довільний паралелограм $A B C D$ .
Для кожного пункту знайдіть еквівалентні вектори (наприклад, $D C = A B$ ) і зобразьте суму за правилом трикутника або побудуйте діагональ відповідного паралелограма/трикутника.
Для пункту 5 ( $A C + D B$ ) врахуйте, що $D B = - B D$ , і побудуйте різницю діагоналей.

Відповідь:

Вектори-суми зображуються як діагоналі трикутників або паралелограмів, утворених точками $A, B, C, D$ . Конкретні вектори: 1) $B D$ ; 2) $A C$ ; 3) $B A$ ; 4) $B B$ (нуль-вектор); 5) Вектор, що дорівнює сумі діагоналей.

Завдання 14.9

Побудова суми векторів у трикутнику

Накреслити трикутник $M N P$ . Побудувати вектори: 1) $M P + P N$ ; 2) $M N + P N$ ; 3) $M N + M P$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $M P + P N$ ): оскільки $M P + P N = M N$ , побудуйте вектор $M N$ .
Для пункту 2 ( $M N + P N$ ): перенесіть вектор $P N$ на початок $M$ (отримаємо $M N^{'}$ , де $N^{'}$ — точка, симетрична $N$ відносно $P$ ) або скористайтеся правилом паралелограма для точок $M, N, P$ .
Для пункту 3 ( $M N + M P$ ): побудуйте діагональ паралелограма, сторони якого $M N$ і $M P$ (це вектор від $M$ до точки перетину продовжень).

Відповідь:

1) Вектор $M N$ ; 2) Діагональ паралелограма, побудованого на сторонах $M N$ і $P N$ (перенесених); 3) Діагональ паралелограма, побудованого на сторонах $M N$ і $M P$ .

Завдання 14.10

Побудова різниці векторів у паралелограмі

Накреслити паралелограм $A B C D$ . Побудувати вектори: 1) $B A - B C$ ; 2) $B A - D A$ ; 3) $B A - A D$ ; 4) $A C - D B$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $B A - B C$ ): замінюємо на $B A + C B = C A$ . Побудуйте вектор $C A$ .
Для пункту 2 ( $B A - D A$ ): оскільки $D A = C B$ , то $B A - C B = B A + B C$ . Побудуйте діагональ паралелограма від $B$ до точки перетину продовжень.
Для пункту 3 ( $B A - A D$ ): оскільки $A D = B C$ , то це $B A - B C = C A$ .
Для пункту 4 ( $A C - D B$ ): оскільки $D B = - B D$ , то це $A C + B D$ . Побудуйте діагональ паралелограма, побудованого на векторах $A C$ і $B D$ .

Відповідь:

1) Вектор $C A$ ; 2) Діагональ паралелограма, що виходить з точки $B$ (сума $B A$ і $B C$ ); 3) Вектор $C A$ ; 4) Сума діагоналей $A C$ і $B D$ .

Завдання 14.11

Побудова різниці векторів у трикутнику

Накреслити трикутник $A B C$ . Побудувати вектори: 1) $\overline{A C} - \overline{C B}$ ; 2) $\overline{C A} - \overline{C B}$ ; 3) $\overline{B C} - \overline{C A}$ .

Розв’язання

Пункт 1): $\overline{A C} - \overline{C B} = \overline{A C} + \overline{B C}$ . За правилом трикутника сума цих векторів дорівнює вектору $\overline{A B}$ . Отже, потрібно побудувати вектор $\overline{A B}$ .
Пункт 2): $\overline{C A} - \overline{C B} = \overline{C A} + \overline{B C} = \overline{B A}$ . Потрібно побудувати вектор $\overline{B A}$ .
Пункт 3): $\overline{B C} - \overline{C A} = \overline{B C} + \overline{A C} = \overline{B A}$ . Потрібно побудувати вектор $\overline{B A}$ .

Відповідь:

1) $\overline{A B}$ ; 2) $\overline{B A}$ ; 3) $\overline{B A}$ .

Завдання 14.12

Побудова суми векторів у чотирикутнику

Позначити чотири точки $M, N, P$ і $Q$ . Побудувати вектор $\overline{M N} + \overline{N P} + \overline{P Q}$ .

Розв’язання

Спочатку додаємо $\overline{M N}$ і $\overline{N P}$ , отримуючи вектор $\overline{M P}$ .
Потім додаємо результат до $\overline{P Q}$ : $\overline{M P} + \overline{P Q} = \overline{M Q}$ .

Відповідь:

Побудувати вектор $\overline{M Q}$ .

Завдання 14.13

Побудова суми та різниці векторів за малюнком

Для векторів $a, b$ і $c$ , зображених на рисунку 14.13 (де $a$ — синій вектор вгору-вправо, $b$ — червоний вектор вправо, $c$ — зелений вектор вгору-вправо), побудувати: 1) $a + b + c$ ; 2) $- a + b + c$ .

Розв’язання

Побудуємо $a + b + c$ . Від точки початку вектора $a$ відкладаємо вектор $b$ , а від його кінця — вектор $c$ . Вектор суми з'єднує початок першого ( $a$ ) з кінцем останнього ( $c$ ).
Побудуємо $- a + b + c$ . Спочатку знаходимо вектор $- a$ (він має такий самий модуль, що й $a$ , але спрямований вниз-вліво). Потім від точки початку $- a$ відкладаємо $b$ , а потім $c$ . Вектор суми з'єднує початок $- a$ з кінцем $c$ .

Відповідь:

1) Побудований вектор від початку $a$ до кінця $c$ ; 2) Побудований вектор від початку $- a$ до кінця $c$ .

Завдання 14.14

Побудова векторної суми та різниці

Для векторів $a$ , $b$ і $c$ , зображених на рисунку 14.14 (де $a$ — синій, $b$ — червоний, $c$ — зелений), побудувати вектори:
1) $a + b + c$ ;
2) $a + b - c$ .

Розв’язання

Побудуйте вектор $s_{1} = a + b$ , переносячи кінець $a$ у початок $b$ .
Для пункту 1: Перенесіть вектор $c$ так, щоб його початок був у кінці $s_{1}$ , і проведіть вектор від початку $a$ до кінця $c$ .
Для пункту 2: Побудуйте протилежний вектор $- c$ (одинаковий за довжиною, але зворотний за напрямком). Перенесіть його від кінця $s_{1}$ і проведіть вектор від початку $a$ до нового кінця.

Відповідь:

1) Вектор $A C^{'}$ , що з'єднує початок $a$ з точкою, в якій закінчується $c$ . 2) Вектор $A C^{''}$ , що з'єднує початок $a$ з точкою, в якій закінчується $- c$ .

Завдання 14.15

Побудова векторів із заданим співвідношенням суми

Від однієї точки відкласти три вектори однакової довжини (модулі рівні), так щоб сума двох з них дорівнювала третьому.

Розв’язання

Від точки $O$ відкладіть перший вектор $a$ довжиною $l$ .
Від кінця цього вектора відкладіть другий вектор $b$ також довжиною $l$ .
З'єднайте початок першого вектора з кінцем другого — це і буде третій вектор $c$ .
Перевірте, що сума $a + b$ (за правилом трикутника) дорівнює $c$ , і що всі сторони рівні.

Відповідь:

Три вектори утворюють рівносторонній трикутник, відкладений від однієї точки; сума двох перших векторів (які є сторонами) дорівнює третьому (який є третьою стороною).

Завдання 14.16

Побудова замкненого трикутника з рівними векторами

Від однієї точки відкласти три вектори однакової довжини, так щоб їхня сума дорівнювала нуль-вектору ( $0$ ).

Розв’язання

Від точки $O$ відкладіть перший вектор $a$ .
Від кінця $a$ відкладіть другий вектор $b$ однакової довжини.
Від кінця $b$ відкладіть третій вектор $c$ такої ж довжини, щоб його кінець збігся з точкою $O$ .
Отриманий набір векторів задовольняє умову: $a + b + c = 0$ .

Відповідь:

Три вектори утворюють рівносторонній трикутник, відкладений послідовно; їхня сума дорівнює нуль-вектору.