ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 152

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 13.21–13.28 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 13.21

Координати векторів у прямокутнику

Точка $E$ — середина сторони $A C$ прямокутника $O A C D$ . Координати вершин згідно з рисунком: $O (0; 0)$ , $A (0; 6)$ , $C (8; 6)$ , $D (8; 0)$ . Знайти координати векторів $\overline{D E}$ і $\overline{E O}$ .

Розв’язання

Знайдемо координати точки $E$ , яка є серединою сторони $A C$ . Координати $A (0; 6)$ і $C (8; 6)$ .
$x_{E} = \frac{0 + 8}{2} = 4, y_{E} = \frac{6 + 6}{2} = 6$
Отже, $E (4; 6)$ .
Знайдемо координати вектора $\overline{D E}$ , де $D (8; 0)$ і $E (4; 6)$ .
$x_{\overline{D E}} = 4 - 8 = - 4$
$y_{\overline{D E}} = 6 - 0 = 6$
Знайдемо координати вектора $\overline{E O}$ , де $E (4; 6)$ і $O (0; 0)$ .
$x_{\overline{E O}} = 0 - 4 = - 4$
$y_{\overline{E O}} = 0 - 6 = - 6$

Відповідь:

$\overline{D E} (- 4; 6)$ , $\overline{E O} (- 4; - 6)$ .

Завдання 13.22

Знаходження координат вектора за модулем

Модуль вектора $a$ дорівнює $10$ ( $∣ a ∣ = 10$ ). Його перша координата на $2$ більша за другу. Знайти координати вектора $a$ .

Розв’язання

Нехай друга координата вектора дорівнює $y$ , тоді перша координата дорівнює $x = y + 2$ .
Запишемо рівняння для модуля вектора: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 10$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату та розкриємо дужки: $(y + 2)^{2} + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} = 100 \Rightarrow 2 y^{2} + 4 y - 96 = 0$ .
Розділимо рівняння на $2$ : $y^{2} + 2 y - 48 = 0$ . Знайдемо корені: $(y + 8) (y - 6) = 0$ , отже $y_{1} = - 8$ або $y_{2} = 6$ .
Знайдемо відповідні значення для $x$ :
Якщо $y = - 8$ , то $x = - 8 + 2 = - 6$ . Вектор $a (- 6; - 8)$ .
Якщо $y = 6$ , то $x = 6 + 2 = 8$ . Вектор $a (8; 6)$ .

Відповідь:

$a (- 6; - 8)$ або $a (8; 6)$ .

Завдання 13.23

Знаходження координат вектора за модулем та умовою рівності

Модуль вектора $c$ дорівнює $2$ ( $∣ c ∣ = 2$ ). Його координати рівні. Знайти координати вектора $c$ .

Розв’язання

Нехай координати вектора $c$ дорівнюють $(x; x)$ .
Запишемо рівність для модуля: $x^{2} + x^{2} = 2 \Rightarrow 2 x^{2} = 2$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату: $2 x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 2$ .
Знайдемо корені рівняння: $x = 2$ або $x = - 2$ .
Запишемо координати вектора для обох випадків.

Відповідь:

$c (2; 2)$ або $c (- 2; - 2)$ .

Завдання 13.24

Координати вершин прямокутника

Дано точки $A (2; 5)$ і $B (7; 5)$ — сусідні вершини прямокутника $A B C D$ . Відомо, що довжина діагоналі $B D$ дорівнює $13$ . Потрібно знайти координати точок $C$ і $D$ .

Розв’язання

Оскільки точки $A (2; 5)$ і $B (7; 5)$ мають однакову ординату ( $y = 5$ ), відрізок $A B$ паралельний осі $O x$ . Довжина сторони $A B = ∣7 - 2∣ = 5$ .
Нехай координати точки $D (x_{D}; y_{D})$ . Оскільки $A D ⊥ A B$ , то точка $D$ лежить на прямій $x = 2$ . Тоді довжина $A D = ∣ y_{D} - 5∣$ .
У прямокутному трикутнику $A B D$ за теоремою Піфагора: $A D^{2} + A B^{2} = B D^{2}$ . Підставимо відомі значення: $(y_{D} - 5)^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}$ .
Розв'яжемо рівняння: $(y_{D} - 5)^{2} + 25 = 169 \Rightarrow (y_{D} - 5)^{2} = 144 \Rightarrow y_{D} - 5 = \pm 12$ . Отримуємо два варіанти для $y_{D}$ : $17$ або $- 7$ .
Знайдемо координати точки $C$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, координати $C (x_{C}; y_{C})$ можна знайти як $(x_{B} + x_{D} - x_{A}; y_{B} + y_{D} - y_{A}) = (7 + 2 - 2; 5 + y_{D} - 5) = (7; y_{D})$ .

Відповідь:

Дві можливі системи координат для точок $C$ і $D$ :
1) $D (2; 17)$ , $C (7; 17)$ ;
2) $D (2; - 7)$ , $C (7; - 7)$ .

Завдання 13.25

Координати вершин прямокутника

Дано точки $A (1; 2)$ і $D (1; - 6)$ — сусідні вершини прямокутника $A B C D$ . Відомо, що довжина діагоналі $A C$ дорівнює $17$ . Потрібно знайти координати точок $B$ і $C$ .

Розв’язання

Довжина сторони $A D = ∣2 - (- 6) ∣ = 8$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, кут $D$ прямий, тому $△ A D C$ є прямокутним.
За теоремою Піфагора для трикутника $A D C$ : $A D^{2} + C D^{2} = A C^{2}$ . Підставимо значення: $8^{2} + C D^{2} = 1 7^{2} \Rightarrow 64 + C D^{2} = 289 \Rightarrow C D^{2} = 225 \Rightarrow C D = 15$ .
Оскільки $C D$ горизонтальна (паралельна осі $O x$ ), координата $y$ точки $C$ дорівнює $- 6$ . Координата $x$ точки $C$ може бути на $15$ одиниць праворуч або ліворуч від $D (1; - 6)$ .
Знайдемо координати $C$ : $x_{C} = 1 + 15 = 16$ або $x_{C} = 1 - 15 = - 14$ . Точки $C_{1} (16; - 6)$ або $C_{2} (- 14; - 6)$ .
Знайдемо координати точки $B$ . Оскільки $A B$ паралельна $C D$ , то $y_{B} = y_{A} = 2$ . Координата $x_{B}$ дорівнює $x_{C}$ . Отже, $B_{1} (16; 2)$ або $B_{2} (- 14; 2)$ .

Відповідь:

Дві можливі системи координат для точок $B$ і $C$ :
1) $B (16; 2)$ , $C (16; - 6)$ ;
2) $B (- 14; 2)$ , $C (- 14; - 6)$ .

Завдання 13.26

Вид чотирикутника за властивостями трикутників

Два рівних рівнобедрених трикутники $A D B$ і $C B D$ мають спільну бічну сторону $B D$ . Відомо, що $A B = B D = C D$ . Потрібно визначити вид чотирикутника $A B C D$ .

Розв’язання

За умовою трикутники $A D B$ і $C B D$ рівні ( $△ A D B ≅ △ C B D$ ). Звідси випливає, що відповідні сторони рівні: $A D = C B$ і $A B = C D$ .
Оскільки протилежні сторони чотирикутника $A B C D$ рівні ( $A D = C B$ і $A B = C D$ ), то за ознакою паралелограма $A B C D$ є паралелограмом.
За умовою також відомо, що $A B = B D$ . Оскільки $B D = C D$ (за умовою рівності трикутників або прямої в умові $A B = B D = C D$ ), то сусідні сторони ромба $A B$ і $B C$ (де $B C = A D$ , а з рівності трикутників $A D = C B$ ) — тут важливо звернути увагу на умову $A B = B D = C D$ .
Перевіримо сторони: $A B = C D$ (протилежні), $A D = C B$ (з рівності трикутників). Також за умовою $A B = B D$ . Якщо $B D = C D$ , то в ромбі сусідні сторони рівні ( $A B = B C$ ? Ні, умова $A B = B D = C D$ означає $A B = C D$ і $B D = C D$ . Оскільки $A D = C B$ з рівності трикутників, а $B D$ — спільна сторона. Якщо $A B = B D$ , то $A B = B D = C D$ . З рівності трикутників $A D = C B$ . Чотирикутник має дві пари рівних протилежних сторін ( $A B = C D$ і $A D = B C$ ), отже, це паралелограм.
Оскільки в умові зазначено $A B = B D = C D$ , а з рівності трикутників $A D = C B$ , то всі чотири сторони $A B, B C, C D, D A$ не обов'язково рівні одне одному просто так, але якщо $A B = B D$ і $B D = C D$ , то $A B = C D$ . З рівності трикутників $A D = C B$ . Якщо це паралелограм, де одна пара протилежних сторін ( $A B, C D$ ) рівна, а інша ( $A D, C B$ ) теж рівна. Але умова $A B = B D = C D$ вказує на те, що $A B = C D$ і $B D = C D$ . Якщо трикутники рівні, то $A D = C B$ . Отже, ми маємо паралелограм. Чи ромб? Якщо $A B = B D$ , а $B D$ не є стороною чотирикутника, це діагональ. Умова $A B = B D = C D$ означає, що сторона $A B$ дорівнює діагоналі $B D$ і стороні $C D$ . Це не обов'язково ромб, якщо $A D \neq = A B$ . Але зазвичай такі умови в підручниках ведуть до ромба або трапеції. Перевіримо ще раз: $△ A D B ≅ △ C B D \Rightarrow A D = C B$ і $A B = C D$ . Отже, протилежні сторони рівні — це паралелограм.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом (або ромбом, якщо врахувати додаткові властивості рівності діагоналі та сторін, але базовий висновок — паралелограм).

Завдання 13.27

Сторони трикутника за периметром і бісектрисою

Периметр $P = 48 см$ . Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки $m = 5 см$ та $n = 15 см$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони, на яку ділить бісектриса: $c = 5 + 15 = 20 см$ .
За властивістю бісектриси маємо пропорцію $\frac{a}{b} = \frac{15}{5}$ , звідки $a = 3 b$ .
Складіть рівняння для периметру: $a + b + c = 48$ , підставте відомі значення ( $3 b + b + 20 = 48$ ).
Розв'яжіть рівняння щодо $b$ : $4 b = 28 \Rightarrow b = 7 см$ .
Знайдіть $a$ : $a = 3 \cdot 7 = 21 см$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $21 см$ , $7 см$ та $20 см$ .

Завдання 13.28

Можливість вирізання кіл з квадрата

Квадрат зі стороною $10 см$ . Потрібно вирізати кілька кругів, сума діаметрів яких більша за $5 м$ ( $500 см$ ).

Розв’язання

Переведемо одиниці виміру: $5 м = 500 см$ .
Знайдемо площу квадрата: $S_{квадрат} = 10 \cdot 10 = 100 см^{2}$ .
Оцінимо мінімальну площу кіл, сума діаметрів яких $500 см$ . Навіть якщо взяти один круг з діаметром $500 см$ , його радіус $R = 250 см$ , і площа буде $S_{круг} = π R^{2} = π \cdot 25 0^{2} \approx 196350 см^{2}$ .
Порівняй площі: $196350 > 100$ . Навіть найменший круг із такої групи в 1963 рази більший за квадрат.

Відповідь:

Ні, вирізати такі круги неможливо, оскільки площа одного такого круга (або кількох разом) значно перевищує площу квадрата.