Сторінка 151

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора $\overline{AB}$: $x_{AB}=4-3=1$, $y_{AB}=-5-(-7)=2$. Отже, $\overline{AB}(1;2)$.

2. Оскільки $\overline{AB}=\overline{CD}$, то координати вектора $\overline{CD}$ також дорівнюють $(1;2)$. Нехай $D(x;y)$. Тоді $x-5=1$ і $y-8=2$.

3. Знайдемо координати точки $D$: $x=1+5=6$, $y=2+8=10$.

Розв’язання

1. Обчислимо абсцису кінця вектора: $x=4+(-1)=3$.

2. Обчислимо ординату кінця вектора: $y=-3+8=5$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора $\overline{CB}$: $x=-2-(-4)=2$, $y=7-16=-9$. Отже, $\overline{CB}(2;-9)$.

2. Знайдемо координати вектора $\overline{DA}$: $x=3-1=2$, $y=-4-5=-9$. Отже, $\overline{DA}(2;-9)$.

3. Порівнюємо отримані результати: координати векторів збігаються ($2=2$ і $-9=-9$).

Розв’язання

1. Знайдемо модуль вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

2. Знайдемо модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}|=\sqrt{(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

3. Знайдемо модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}|=\sqrt{3^2+(\sqrt{11}{)}^2}=\sqrt{9+11}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

4. Знайдемо модуль вектора $\vec{d}$: $|\vec{d}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

5. Знайдемо модуль вектора $\vec{e}$: $|\vec{e}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-2\sqrt{6}{)}^2}=\sqrt{1+4\cdot 6}=\sqrt{1+24}=\sqrt{25}=5$.

6. Знайдемо модуль вектора $\vec{f}$: $|\vec{f}|=\sqrt{(-4{)}^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину відрізка $AC$ (модуль вектора $\overline{AC}$): $|\overline{AC}|=\sqrt{(4-1{)}^2+(-2-(-4){)}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.

2. Знайдемо довжину відрізка $BD$ (модуль вектора $\overline{BD}$): $|\overline{BD}|=\sqrt{(-4-(-2){)}^2+(2-5{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

Розв’язання

1. Запишемо рівняння для модуля вектора: $\sqrt{x^2+(-8{)}^2}=10$.

2. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: $x^2+64=100$.

3. Знайдемо $x^2$: $x^2=100-64=36$.

4. Знайдемо значення $x$: $x=\pm \sqrt{36}$, тобто $x=6$ або $x=-6$.

Розв’язання

1. Запишемо рівність для модуля вектора $\vec{b}(12;y)$: $\sqrt{12^2+y^2}=13$.

2. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, щоб позбутися кореня: $144+y^2=169$.

3. Знайдемо $y^2$: $y^2=169-144=25$, звідки $y=\pm \sqrt{25}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати середини $M$ відрізка $AC$: $x_M=\frac{3+(-1)}{2}=1$, $y_M=\frac{-5+7}{2}=1$. Точка $M(1;1)$.

2. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{BM}$: $(1-2;1-(-3))=(-1;4)$.

3. Обчислимо модуль вектора $\overrightarrow{BM}$: $|\overrightarrow{BM}|=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$.

Розв’язання

1. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{AB}$: $(2-1;3-(-5))=(1;8)$.

2. Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{DC}$: $(-4-(-3);-7-1)=(-1;-8)$.

3. Порівнюємо отримані вектори: $\overrightarrow{AB}(1;8)$ і $\overrightarrow{DC}(-1;-8)$. Оскільки координати не збігаються ($\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{DC}$), а протилежні сторони рівні за модулем, але різні за напрямком (або потрібно перевірити іншу пару сторін). Перевіримо вектори $\overrightarrow{AD}$ і $\overrightarrow{BC}$.
   * $\overrightarrow{AD}=(-4-1;-7-(-5))=(-5;-2)$.
   * $\overrightarrow{BC}=(-3-2;1-3)=(-5;-2)$.
   Оскільки $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, протилежні сторони рівні як вектори.

Розв’язання

1. Знайдемо координати точки $F$. Оскільки $ABCD$ — прямокутник, сторона $BC$ паралельна осі $Ox$, тому координата $y_F=y_C=-4$. Координата $x_F$ знаходиться за формулою поділу відрізка $BC$ у відношенні $1:2$: $x_F=\frac{1\cdot x_B+2\cdot x_C}{1+2}=\frac{1\cdot 5+2\cdot 3}{3}=\frac{11}{3}$. Отже, $F\left(\frac{11}{3};-4\right)$.

2. Знайдемо координати вектора $\overline{AF}$. Початок $A(5;-4)$, кінець $F\left(\frac{11}{3};-4\right)$. Координати: $x=\frac{11}{3}-5=-\frac{4}{3}$, $y=-4-(-4)=0$.

3. Знайдемо координати вектора $\overline{FD}$. Початок $F\left(\frac{11}{3};-4\right)$, кінець $D(3;0)$. Координати: $x=3-\frac{11}{3}=-\frac{2}{3}$, $y=0-(-4)=4$.