ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 150

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 13.4–13.10 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 4. Вектори

Завдання 13.4

Координати векторів з графіка

Знайти координати векторів $a, b, c, d$ , зображених на рисунку 13.4 (кожен вектор задано від початку координат).

Розв’язання

Вектор $a$ : початок $(0; 0)$ , кінець у точці з координатами $(- 2; 4)$ . Отже, $a = (- 2; 4)$ .
Вектор $b$ : початок $(0; 0)$ , кінець у точці $(3; - 4)$ . Отже, $b = (3; - 4)$ .
Вектор $c$ : початок $(2; 2)$ , кінець $(5; - 1)$ . Різниця координат: $x = 5 - 2 = 3$ , $y = - 1 - 2 = - 3$ . Отже, $c = (3; - 3)$ .
Вектор $d$ : початок $(- 3; - 3)$ , кінець $(0; 0)$ . Різниця координат: $x = 0 - (- 3) = 3$ , $y = 0 - (- 3) = 3$ . Отже, $d = (3; 3)$ .

Відповідь:

$a = (- 2; 4)$ , $b = (3; - 4)$ , $c = (3; - 3)$ , $d = (3; 3)$ .

Завдання 13.5

Координати вектора за точками

Знайти координати вектора $\overline{A B}$ для пар точок: 1) $A (2; 3), B (- 1; 4)$ ; 2) $A (3; 0), B (0; - 3)$ ; 3) $A (0; 0), B (- 2; - 8)$ ; 4) $A (m; n), B (p; k)$ .

Розв’язання

Для $A (2; 3)$ і $B (- 1; 4)$ : $x = - 1 - 2 = - 3$ , $y = 4 - 3 = 1$ . Вектор $(- 3; 1)$ .
Для $A (3; 0)$ і $B (0; - 3)$ : $x = 0 - 3 = - 3$ , $y = - 3 - 0 = - 3$ . Вектор $(- 3; - 3)$ .
Для $A (0; 0)$ і $B (- 2; - 8)$ : $x = - 2 - 0 = - 2$ , $y = - 8 - 0 = - 8$ . Вектор $(- 2; - 8)$ .
Для $A (m; n)$ і $B (p; k)$ : $x = p - m$ , $y = k - n$ . Вектор $(p - m; k - n)$ .

Відповідь:

1) $(- 3; 1)$ , 2) $(- 3; - 3)$ , 3) $(- 2; - 8)$ , 4) $(p - m; k - n)$ .

Завдання 13.6

Координати вектора за точками M і K

Знайти координати вектора $\overline{M K}$ для пар точок: 1) $M (5; 3), K (7; - 1)$ ; 2) $M (9; - 4), K (4; - 10)$ .

Розв’язання

Для $M (5; 3)$ і $K (7; - 1)$ : $x = 7 - 5 = 2$ , $y = - 1 - 3 = - 4$ . Вектор $(2; - 4)$ .
Для $M (9; - 4)$ і $K (4; - 10)$ : $x = 4 - 9 = - 5$ , $y = - 10 - (- 4) = - 6$ . Вектор $(- 5; - 6)$ .

Відповідь:

1) $(2; - 4)$ , 2) $(- 5; - 6)$ .

Завдання 13.7

Знаходження невідомих координат за умовою рівності векторів

Дано два вектори $a (x; - 8)$ та $b (6; y)$ . Потрібно знайти значення $x$ і $y$ , при яких ці вектори рівні.

Розв’язання

За умовою рівності векторів записуємо систему рівностей для їхніх координат: $x = 6$ і $- 8 = y$ .
З першого рівняння одразу отримуємо $x = 6$ .
З другого рівняння одразу отримуємо $y = - 8$ .

Відповідь:

$x = 6, y = - 8$

Завдання 13.8

Обчислення модуля вектора за координатами

Знайти модуль векторів $m (8; - 6)$ та $n (- 3; 1)$ .

Розв’язання

Для вектора $m (8; - 6)$ знаходимо модуль: $∣ m ∣ = 8^{2} + (- 6)^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ .
Для вектора $n (- 3; 1)$ знаходимо модуль: $∣ n ∣ = (- 3)^{2} + 1^{2} = 9 + 1 = 10$ .

Відповідь:

$∣ m ∣ = 10, ∣ n ∣ = 10$

Завдання 13.9

Знаходження модуля вектора та інформація про Паралімпіаду-2024

Дано вектор $a (- 20; 221)$ . Потрібно знайти його модуль. Також потрібно дізнатися кількість золотих медалей України на Паралімпійських іграх 2024 року в Парижі та інформацію про інші види спорту та медалі.

Розв’язання

Обчислюємо модуль вектора $a$ : $∣ a ∣ = (- 20)^{2} + (221)^{2} = 400 + 4 \cdot 21 = 400 + 84 = 484$ .
Знаходимо корінь з числа 484: $484 = 22$ . Отже, кількість золотих медалей дорівнює 22.
Згідно з офіційними звітами Паралімпійських ігор 2024 року в Парижі, українська команда здобула 22 золоті медалі (це число збігається з модулем вектора). Українські спортсмени також отримали срібні та бронзові медалі у таких видах спорту: легкоатлетика, плавання, стрільба, дзюдо, бокс, веслування на байдарках і каное, настільний теніс, сквош, вілінг, гандбол (для зору), фехтування на шпазі, пауерліфтинг, ватерполо, метання списа, керлінг, бадмінтон, параскей-спорт.

Відповідь:

Модуль вектора дорівнює 22. Україна здобула 22 золоті медалі на Паралімпіаді-2024.

Завдання 13.10

Знаходження координат точки за вектором

Дано точку $A (1; 3)$ і вектор $a (- 2; 1)$ . Потрібно знайти координати точки $B (x_{B}; y_{B})$ , для якої виконується рівність $\overline{B A} = a$ .

Розв’язання

Запишемо формулу для координат вектора $\overline{B A}$ , використовуючи координати точок $A (1; 3)$ та $B (x_{B}; y_{B})$ : $\overline{B A} = (1 - x_{B}; 3 - y_{B})$ .
За умовою рівність векторів $\overline{B A}$ і $a$ означає рівність їхніх відповідних координат: $1 - x_{B} = - 2$ та $3 - y_{B} = 1$ .
Розв'яжемо отримані рівняння: $x_{B} = 1 + 2 = 3$ , $y_{B} = 3 - 1 = 2$ .

Відповідь:

Координати точки $B$ дорівнюють $(3; 2)$ .